تابع عددي

در رياضيات، يك تابع رابطه‌اي است كه هر متغير دريافتي خود را به فقط يك خروجي نسبت مي‌دهد. علامت استاندارد خروجي يك تابع f به همراه ورودي آن، x مي‌باشد يعني‎ f(x)‏. به مجموعه ورودي‌هايي كه يك تابع مي‌تواند داشته باشد دامنه و به مجموعه خروجي‌هايي كه تابع مي‌دهد برد مي‌گويند. براي مثال عبارت f(x) = x2 نشان دهنده يك تابع است، كه در آن f مقدار x را دريافت مي‌كند و x2 را مي‌دهد. در اين صورت براي ورودي 3 مقدار 9 به دست مي‌آيد. براي مثال، براي يك مقدار تعريف شده در تابع f مي‌توانيم بنويسيم، f(4) = 16.
معمولاً در تمارين رياضي براي معرفي كردن يك تابع از كلمه f استفاده مي‌كنيم و در پاراگراف بعد تعريف تابع يعني f(x) = 2x+1 را مي‌نويسم و سپس f(4) = 9. وقتي كه نامي براي تابع نياز نباشد اغلب از عبارت y=x2 استفاده مي‌شود.
وقتي كه يك تابع را تعريف مي‌كنيم، مي‌توانيم خودمان نامي به آن بدهيم، براي مثال:
يكي از خواص تابع اين است كه براي هر مقدار بايد يك جواب وجود داشته باشد، براي مثال عبارت:
يك تابع نمي‌باشد، زيرا ممكن است براي يك مقدار دو جواب وجود داشته باشد. جذر عدد 9 برابر 3 است و در اين رابطه اعداد +3 و -3 به دست مي‌آيند. براي ساختن يك تابع ريشه دوم، بايد فقط يك جواب براي آن وجود داشته باشد، يعني:
كه براي هر متغير غيرمنفي يك جواب غيرمنفي وجود دارد.
در يك تابع لزومي ندارد كه حتماً بر روي عدد علمياتي انجام گيرد. يك مثال كه نشان مي‌دهد كه عملياتي بر روي عدد انجام نمي‌شود، تابعي است كه پايتخت يك كشور را معين مي‌كند. مثلاً Capital(France) = Paris.
حال كمي دقيق‌تر مي‌شويم اما هنوز از مثال‌هاي خودماني استفاده مي‌كنيم. A و B دو مجموعه هستند. يك تابع از A به B با به هم پيوستن مقادير منحصر به فرد درون A معين مي‌شود و مجموعه B به دست مي‌آيد. به مجموعه A دامنه تابع مي‌گويند؛ مجموعه B هم تمام مقاديري را كه تابع مي‌تواند داشته باشد شامل مي‌شود.
در بيشتر زمينه‌هاي رياضي، اصطلاحات تبديل و نگاشت معمولاً با تابع هم معني پنداشته مي‌شوند. در هر حال ممكن است كه در بعضي زمينه‌هاي خصوصيات ديگري داشته باشند. براي مثال در هندسه، يك نگاشت گاهي اوقات يك تابع پيوسته تعريف مي‌شود.
تعاريف رياضي يك تابع
يك تابع f يك رابطه دوتايي است، به طوري كه براي هر x يك و فقط يك y وجود داشته باشد تا x را به y رابطه دهد. مقدار تعريف شده و منحصر به فرد y با عبارت (f(x نشان داده مي‌شود.
به دليل اينكه دو تعريف براي رابطه دوتايي استفاده مي‌شود، ما هم از دوتعريف براي تابع استفاده مي‌كنيم.
تعريف اول
ساده تعريف رابطه دوتايي عبارتست از: «يك رابطه دوتايي يك زوج مرتب مي‌باشد». در اين تعريف اگر رابطه دوتايي دلالت بر «كوچكتر از» داشته باشد آن گاه شامل زوج مرتب‌هايي مانند (2, 5) است، چون 2 از 5 كوچكتر است.
يك تابع مجموعه‌اي از زوج مرتب‌ها است به طوري كه اگر (a,b) و (a,c) عضوي از اين مجموعه باشند آن گاه b با c برابر باشد. در اين صورن تابع مجذور شامل زوج (3, 9) است. رابطه جذر يك تابع نمي‌باشد زيرا اين رابطه شامل زوج‌هاي (9, 3) و (9, -3) است و در اين صورت 3 با -3 برابر نيست.
دامنه تابع مجموعه مقادير x يعني مختص‌هاي اول زوج‌هاي رابطه مورد نظر است. اگر x در دامنه تابع نباشد آن گاه (f(x هم تعريف نشده‌است.
برد تابع مجموعه مقادير y يعني مختص‌هاي دوم زوج‌هاي رابطه مورد نظر است.
تعريف دوم
بعضي از نويسندگان نياز به تعريفي دارند كه فقط از زوج‌هاي مرتب استفاده نكند بلكه از دامنه و برد در تعريف استفاده شود. اين گونه نويسندگان به جاي تعريف زوج مرتب از سه‌تايي مرتب (X,Y,G) استفاده مي‌كنند، كه در آن X و Y مجموعه هستند (كه به آنها دامنه و برد رابطه مي‌گوييم) و G هم زيرمجموعه‌اي از حاصل‌ضرب دكارتي X و Y است (كه به آن گراف رابطه مي‌گويند). در اين صورت تابع رابطه دوتايي است كه در آن مقادير X فقط يك بار در اولين مختص مقادير G اتفاق مي‌افتد. در اين تعريف تابع داراي برد منحصر به فرد است؛ اين خاصيت در تعريف نخست وجود نداشت.
شكل تعريف تابع بستگي به مبحث مورد نظر دارد، براي مثال تعريف يك تابع پوشا بدون مشخص كردن برد آن امكان‌ناپذير است.
پيشينه تابع
«تابع»، به عنوان تعريفي در رياضيات، توسط گاتفريد لايبنيز در سال 1694، با هدف توصيف يك كميت در رابطه با يك منحني به وجود آمد، مانند شيب يك نمودار در يك نقطه خاص. امروزه به توابعي كه توسط لايبنيز تعريف شدند، توابع مشتق‌پذير مي‌گوييم، اغلب افراد اين توابع در هنگام آموختن رياضي با اين گونه توابع برمي خورند. در اين گونه توابع افراد مي‌توانند در مورد حد و مشتق صحبت كنند. چنين توابعي پايه حسابان را مي‌سازند.
واژه تابع بعدها توسط لئونارد اويلر در قرن هجدهم، براي توصيف يك عبارت يا فرمول شامل متغيرهاي گوناگون مورد استفاده قرار گرفت، مانند f(x) = sin(x) + x3.
در طي قرن نوزدهم، رياضي‌دانان شروع به فرموله كردن تمام شاخه‌هاي رياضي كردند. ويرسترس بيشتر خواهان به وجود آمدن حسابان در علم حساب بود تا در هندسه، يعني بيشتر طرفدار تعريف اويلر بود.
در ابتدا، ايده تابع ترجيحاً محدود شد. براي ژوزف فوريه مدعي بود كه تمام توابع از سري فوريه پيروي مي‌كنند در حالي كه امروزه هيچ رياضي‌داني اين مطلب را قبول ندارد. با گسترش تعريف توابع، رياضي‌دانان توانستند به مطالعه «عجايب» در رياضي بپردازند از جمله اين كه يك تابع پيوسته در هيچ مكان گسستني نيست. اين توابع در ابتدا بيان نظريه‌هايي از روي كنجكاوي فرض مي‌شد و آنها از اين توابع براي خود يك «غول» ساخته بودند و اين امر تا قرن بيستم ادامه داشت.
تا انتهاي قرن نوزدهم رياضي‌دانان سعي كردند كه مباحث رياضي را با استفاده از نظريه مجموعه فرموله كنند و آنها در هر موضوع رياضي به دنبال تعريفي بودند كه از مجموعه استفاده كند. ديريكله و لوباچوسكي هر يك به طور مستقل و تصادفاً هم زمان تعريف «رسمي» از تابع دادند.
در اين تعريف، يك تابع حالت خاصي از يك رابطه است كه در آن براي هر مقدار اوليه يك مقدار ثانويه منحصر به فرد وجود دارد.
تعريف تابع در علم رايانه، به عنوان حالت خاصي از يك رابطه، به طور گسترده‌تر در منطق و علم تئوري رايانه مطالعه مي‌شود.

آشنايي با عدد e

پايه لگاريتم طبيعي (~ 2.71828)، اولين بار توسط لئونارد اولر (Leonhard Euler 1707-83) يكي از باهوشترين رياضي دانان تاريخ رياضيات مورد استفاده قرار گرفت.

در يكي از دست خطهاي اولر كه ظاهرا" بين سالهاي 1727 و 1728 تهيه شده است با تيتر Meditation on experiments made recently on the firing of cannon اولر از عدي بنام e صحبت مي كند. هر چند او رسما" اين نماد را در سال 1736 در رساله اي بنام Euler`s Mechanica معرفي ميكند.


 در واقع بايد اعتراف كرد كه اولر كاشف يا مخترع عدد e نبوده است بلكه سالها قبل فردي بنام جان ناپير (John Napier 1550-1617) در اسكاتلند هنگامي كه روي لگاريتم بررسي مي كرده است بحث مربوط به پايه طبيعي لگاريتم را به ميان كشيده است. فراموش نكنيد كه شواهد نشان ميدهد حتي در قرن هشتم ميلادي هندي ها با محاسبات مربوط به لگاريتم آشنايي داشته اند.
در اينكه چرا عدد ~ 2.71828 بصورت e توسط اولر نمايش داده شده است صحبت هاي بسياري است. برخي e را اختصار exponential مي دانند، برخي آنرا ابتداي اسم اولر (Euler) مي دانند و برخي نيز ميگويند چون حروف a,b,c و d در رياضيات تا آن زمان به كررات استفاده شده بود، اولر از e براي نمايش اين عدد استفاده كرد. هر دليلي داشت به هر حال امروزه اغلب اين عدد را با نام Euler مي شناسند.

اولر هنگامي كه روي برخي مسائل مالي در زمينه بهره مركب در حال كار بود به عدد e علاقه پيدا كرد. در واقع او دريافت كه در مباحث بهره مركب، حد بهره به سمت عددي متناسب (يا مساوي در شرايط خاص) با عدد e ميل ميكند. بعنوان مثال اگر شما 1 ميليون تومان با نرخ بهره 100 درصد در سال بصورت مركب و مداوم سرمايه گذاري كنيد در پايان سال به رقمي حدود 2.71828 ميلون تومان خواهيد رسيد.

در واقع در رابطه بهره مركب داريم :

 
P = C (1 + r/n) nt


كه در آن P مقدار نهايي سرمايه و بهره است، C مقدار اوليه سرمايه گذاري شده،r نرخ بهره، n تعداد دفعاتي است كه در سال به سرمايه بهره تعلق مي گيرد و t تعداد سالهايي است كه سرمايه گذاري مي شود.

در اين رابطه اگر n به سمت بي نهايت ميل كند - حالت بهره مركب - فرمول را مي توان بصورت زير ساده كرد :

 
P = C e rt


اولر همچنين براي محاسبه عدد e سري زير را پيشنهاد داد :

 
e = 1+ 1/2 + 1/(2 x 3) + 1/(2 x 3 x 4) + 1/(2 x 3 x 4 x 5) + . . .


لازم است ذكر شود كه اولر علاقه زيادي به استفاده از نمادهاي رياضي داشت و رياضيات امروز علاوه بر عدد e در ارتباط با مواردي مانند i در بحث اعداد مختلط، f در بحث توابع و بسياري ديگر نمادها مديون بدعت هاي اولر است .

اصول اقليدس

پنج اصل متعارفي ، يا مفهوم عمومي اقليدس

١_چيزهايي كه با يك چيز مساوي اند ، با يكديگر نيز مساوي اند

 ٢_اگر چيزهاي مساوي به چيزهاي مساوي اضافه شوند كلها مساوي اند

 ٣_اگر چيزهاي مساوي از چيزهاي مساوي كم شوند ، باقيمانده ها مساوي اند

 ۴_چيزهايي كه بر يكديگر منطبق شوند با يكديگر مساوي اند

 ۵_كل از جزء بزرگتر است

 و پنج اصل موضوع هندسي از اقليدس

1- از هر نقطه ميتوان خط مستقيمي به هر نقطۀ ديگر كشيد

2- هر خط مستقيم متناهي را مي توان روي همان خط به طور نامحدود امتداد داد

3- ميتوان دايره اي با هر نقطۀ دلخواه به عنوان مركز آن و با شعاعي مساوي هر پاره خط رسم شده از مركز آن ترسيم كرد

4-همۀ زواياي قائمه با هم مساوي اند

5- اگر خط مستقيمي دو خط مستقيم را قطع كند به طوري كه مجموع زاوياي داخلي يك طرف آن كمتر از دو قائمه باشد اين دو خط مستقيم اگر به طور نامحدود امتداد داده شوند ، در طرفي كه دو زاويه مجموعا از دو قائمه كمترند ، همديگر را قطع خواهند كرد

مقايسۀ رياضيات يوناني و هندي

بين رياضيات يوناني و هندي اختلاف زيادي وجود دارد. در وهلۀ اول ، هندياني كه در رياضيات كار مي كردند ، خود را در اصل منجم مي پنداشتند ، و لذا رياضيات هندي عمدتا به صورت ابزاري در خدمت نجوم باقي ماند ؛ اما در يونان ، رياضيات هستي مستقلي يافت و رياضيات به خاطر خود رياضيات مورد مطالعه قرار گرفت . همچنين ، به خاطر وجود نظام كاستي ، رياضيات در هند تقريبا به طور كامل به وسيلۀ روحانيون رشد و نمو يافت؛ در يونان باب رياضيات بر هر كسي كه پرواي مطالعۀ آن را داشت ، مفتوح بود . بعلاوه ، هنديان حسابگراني ممتاز ولي هندسه داناني متوسط بودند ، يونانيان در هندسه تفوق يافتند ولي به كارهاي محاسباتي كمتر توجهي از خود نشان دادند . حتي مثلثات هندي ، كه قابل ستايش بود، ماهيت حسابي داشت ؛ مثلثات يوناني واجد خصيصۀ هندسي بود هنديان به نظم مي نوشتند و آثار خود را اغلب در قالب زباني مبهم و مرموز در مي آوردند، يونانيان سعي در بيان واضح و منطقي داشتند. رياضيات هندي عمدتاً تجربي بود كه براهين و روشهاي استخراج به ندرت در آن عرضه مي شد ، صفت مميزۀ رياضيات يوناني در اصرار آن بر براهين دقيق است . رياضيات هندي از نظر كيفيت اصلا يكدست نيست ، رياضيات پرمايه و ضعيف اغلب در كنار هم ظاهر مي شوند ؛ يونانيان ظاهرا غريزه اي داشتند كه آنها نويسندۀ مسلمان ابوريحان بيروني در كتاب معروفش تحقيق ماللهند، رياضيات هندي ، بر خلاف رياضيات يوناني كه كيفيتي يكدست عالي دارد « مخلوطي است از صدف و خزف ... يا ممزوجي از در پر بها و سنگريزۀ بي بها » . قسمتي از اختلاف بين رياضيات يوناني و هندي ، امروزه در تفاوت بين بسياري از كتابهاي درسي مقدماتي جبر و هندسه ما جنبۀ دائمي يافته است .

تاريخچه عدد صفر

يكي از معمول ترين سئوالهائي كه مطرح مي شود اين است كه: چه كسي صفر را كشف كرد؟ البته براي جواب دادن به اين سئوال بدنبال اين نيستيم كه بگوئيم شخص خاصي صفر را ابداع و ديگران از آن زمان به بعد از آن استفاده مي كردند.

اولين نكته شايان ذكر در مورد عدد صفر اين است كه اين عدد دو كاربرد دارد كه هر دو بسيار مهم تلقي مي شود يكي از كاربردهاي عدد صفر اين است كه به عنوان نشانه اي براي جاي خالي در دستگاه اعداد (جدول ارزش مكاني اعداد) بكار مي رود. بنابراين در عددي مانند 2106 عدد صفر استفاده شده تا جايگاه اعداد در جدول مشخص شود كه بطور قطع اين عدد با عدد 216 كاملاً متفاوت است. دومين كاربرد صفر اين است كه خودش به عنوان عدد بكار مي رود كه ما به شكل عدد صفر از آن استفاده مي كنيم.

هيچكدام از اين كاربردها تاريخچه پيدايش واضحي ندارند. در دوره اوليه تاريخ كاربرد اعداد بيشتر بطور واقعي بوده تا عصر حاضر كه اعداد مفهوم انتزاعي دارند. بطور مثال مردم دوران باستان اعداد را براي شمارش تعداد اسبان، ... بكار مي برند و در اينگونه مسائل هيچگاه به مسئله اي برخورد نمي كردند كه جواب آن صفر يا اعداد منفي باشد.

بابليها تا مدتها در جدول ارزش مكاني هيچ نمادي را براي جاي خالي در جدول بكار نمي بردند. مي توان گفت از اولين نمادي كه آنها براي نشان دادن جاي خالي استفاده كردن گيومه (") بود. مثلاً عدد6"21 نمايش دهنده 2106 بود. البته بايد در نظر داشت كه از علائم ديگري نيز براي نشان دادن جاي خالي استفاده مي شد وليكن هيچگاه اين علائم به عنوان آخرين رقم آورده نمي شدندبلكه هميشه بين دو عدد قرار مي گيرند بطور مثال عدد "216 را با اين نحوه علامت گذاري نداريم. به اين ترتيب به اين مطلب پي مي بريم كه كاربرد اوليه عدد صفر براي نشان دادن جاي خالي اصلاً به عنوان يك عدد نبوده است.

البته يونانيان هم خود را از اولين كساني مي دانند كهدرجاي خالي ,صفر استفاده مي كردند اما يونانيان دستگاه اعداد (جدول ارزش مكاني اعداد) مثل بابليان نداشتند. اساساً دستاوردهاي يونانيان در زمينه رياضي بر مبناي هندسه بوده و به عبارت ديگر نيازي نبوده است كه رياضي دانان يوناني از اعداد نام ببرند زير آنها اعداد را بعنوان طول خط مورد استفاده قرار مي دادند.

البته بعضى ازرياضي دانان يوناني ثبت اطلاعات نجومي را بر عهده داشتند. در اين قسمت به اولين كاربرد علامتي اشاره مي كنيم كه امروزه آن را به اين دليل كه ستاره شناسان يوناني براي اولين بار علامت 0 را براي آن اتخاذ كردند، عدد صفر مي ناميم. تعداد معدودي از ستاره شناسان اين علامت را بكار بردند و قبل از اينكه سرانجام عدد صفر جاي خود را بدست آورد، ديگر مورد استفاده قرار نگرفت و سپس در رياضيات هند ظاهر شد.

هنديان كساني بودند كه پيشرفت چشمگيري در اعداد و جدول ارزش مكاني اعداد ايجاد كردند هنديان نيز از صفر براي نشان دادن جاي خالي در جدول استفاده مي كردند.

اكنون اولين حضور صفر را به عنوان يك عدد مورد بررسي قرار مي دهيم اولين نكته اي كه مي توان به آن اشاره كرد اين است كه صفر به هيچ وجه نشان دهنده يك عدد بطور معمول نمي باشد. از زمانهاي پيش اعداد به مجموعه اي از اشياء نسبت داده مي شدند و در حقيقت با گذشت زمان مفهوم صفر و اعداد منفي كه از ويژگيهاي مجموعه اشياء نتيجه نمي شدند، ممكن شد. هنگاميكه فردي تلاش مي كند تا صفر و اعداد منفي را بعنوان عدد در نظر بگيريد با اين مشكل مواجه مي شود كه اين عدد چگونه در عمليات محاسباتي جمع، تفريق، ضرب و تقسيم عمل مي كند. رياضي دانان هندي سعي بر آن داشتند تا به اين سئوالها پاسخ دهندو در اين زمينه نيز تا حدودى موفق بوده اند .

اين نكته نيز قابل ذكر است كه تمدن ماياها كه در آمريكاي مركزي زندگي مي كردند نيز از دستگاه اعداد استفاده مي كردند و براي نشان دادن جاي خالي صفر را بكار مي برند.

بعدها نظريات رياضي دانان هندي علاوه بر غرب، به رياضي دانان اسلامي و عربي نيز انتقال يافت. فيبوناچي، مهمترين رابط بين دستگاه اعداد هندي و عربي و رياضيات اروپا مي باشد.

اعداد پايه

عدد ۱۰به عنوان پايه اي قابل قبول براي شمردن استفاده مي شود .اما طايفه ي«گل»درفرانسه يباستان قبيله ي «مايا»در آمريكاي مركزي ومردم ديگر از عدد ۲۰ به عنوان پايه براي شمارش استفاده مي كردند.

سومري ها،بابلي ها و افراد بعد از آن ها از پايه ي ۶۰ استفاده مي كردند.به اين علت كه عدد ۶۰ مي تواند به۲ ،۳،،۲۰،۱۵،۱۲،۱۰،۶،۵،۴و۳۰تقسيم شود.عدد ۶۰  درتقسيم بندي ساعات به دقايق وثانيه ها ،نيز در تقسيم بندي دايره به ۳۶۰درجه باقي مانده است.

شمارش در مصر باستان

در سيستم شمارش عربي با 10 رقم(از صفر تا 9) مي­توانيم اعدادي هرچقدر بزرگ كه بخواهيم بسازيم. بدين گونه كه همه ارقام را براي شمارش تا 9 بكار مي­بريم و پس از آن براي ساختن اعداد بزرگتر، آنها را با هم تركيب مي­كنيم. به همين خاطر هر اندازه كه جا براي نوشتن داشته باشيم، عدد كم نمي­آوريم.
اما مصريان باستان به گونه­اي ديگر فكر مي­كردند، آنها يك خط ساده به معناي يك داشتند، مثل ما، اما در عوضِ يك نماد جديد براي عدد 2، آنها دو خط بكار مي­بردند. به همين گونه سه خط براي عدد 3، چهار خط براي عدد چهار و تا نُه خط براي عدد 9. تا اينجا تقريبا تعداد زيادي خط وجود دارد! بنابراين مصريان براي عدد 10 يك نماد جديد ابداع كرده­اند.
سپس آنها اضافه كردن خطوط براي واحدها و نماد ده براي دهگانها را ادامه مي­دهند تااينكه به صد برسند. در اينجا نيز باز به يك نماد جديد نياز است.
اينگونه دستگاه شمارش، "يگاني" ناميده مي­شود. در ميان تمدنهاي باستاني اين سيستم متعارف و مشترك است. يك مزيت سيستم يگاني اين است كه تفاوتي در ترتيب نوشتن اعداد وجود ندارد. شما مي­توانيد نمادها را در هم بريزيد و همچنان معناي آنها را پيدا كنيد. اما در سيستم شمارش ما 123 معنائي متفاوت از 321 دارد.
مصريان نيز درست مانند ما 10 را پايه سيستم شمارش خود قرار داده بودند. وجود ده انگشت در دستان، اين مساله را عادي مي­نماياند.
-         نماد يك به احتمال از انگشت گرفته شده است. هركسي شمارش را با انگشتانش آغاز مي­كند.
 
 
 
-         نمادها با بزرگتر شدن اعداد پيچيده­تر مي­شوند. نماد عدد ده تكه­اي از يك ريسمان است.
  
 
-         نماد عدد صد يك ريسمان مارپيچ است.
 
 
 
-         نماد عددهزار يك لوتوس يا نيلوفر آبي است كه برگ، ساقه و ساقه­هاي زيرزميني يا ريشه را نشان مي­دهد.
 
 
     
       -         نماد عدد ده­هزار يك انگشت منفرد بزرگ است . شايد اين انگشت ده­هزار مرتبه بزرگتر از نماد يك است.
 
 
-         نماد صدهزار يك بچه قورباغه است كه به نظر تاحد زيادي به يك قورباغه دگرگون شده است. اگر دليل استفاده اين سمبل براي عددي به اين بزرگي را مي­خواهيد استخري مملو از تخم قورباغه كه همگي در حال دگرديسي به قورباغه­هاي كوچك هستند را در نظر بياوريد.
 
 
 -         نماد يك ميليون الهه­اي به نام "Heh" است.
 
 
مصريها حتي نمادي براي بينهايت نيز داشته­اند كه بزرگتر از هر عددي كه نوشته مي­شده بوده است. اين نماد يك دايره است كه شما مي­توانيد همواره بر روي آن حركت كنيد بدون اينكه به پايان برسيد.
 
Ra (خداي خورشيد) عقابي است كه اين نماد را در هريك از چنگال­هاي خود حمل مي­كند.
 
 
 
مصريان به سيستم شمارشي قوي براي ساختن اهرام نياز داشته­اند. آنها بايد مقدار سنگ مورد نياز اهرام، غذاي مورد نياز روزانه كارگران و همچنين براي  انبار كردن و اينكه هيچگاه تمام نشود را محاسبه مي­نموده­اند.
آنان همچنين نمادهائي براي كسرها داشته­اند اما هيچ نمادي براي صفر نداشته­اند.

حايزه آبل

 جايزه آبل سالانه به وسيله پادشاه نروژ به رياضيدانان برجسته اعطا مي شود. آكادمي علوم و دانش نروژ سالانه برنده جايزه آبل را بعد از انتخاب توسط يك كميته پنج نفره از رياضيدانان بين المللي، اعلام مي كند. مبلغ اين جايزه نزديك يك ميليون دلار آمريكا است.
در سال 2001 دولت نروژ اعلام كرد به مناسبت بزرگداشت دويستمين سالگرد تولد رياضيدان نروژ نيلز هنريك آبل(1829-1802) Niels Henrik Abel جايزه ايي جديد براي رياضيدانان در نظر گرفته است.اين جايزه در حقيقت براي تشويق رياضيدانان به خصوص افراد جديد در جهت توليد دانش رياضيات است.
اين جايزه بر اساس طرح پيشنهادي لي Sophus Lie – رياضيدان قرن 19 ، دانشگاه اسلو- شكل گرفت.
 
Ludwig Sylow وCarl Størmer اساسنامه و قوانين را براي اين جايزه تنظيم كرد.
در آوريل 2003 اعلام شد كه Jean-Pierre Serre نخستين كانديداي دريافت جايزه آبل است.در ژوئن همين سال براي نخستين بار اين جايزه وي اعطا گرديد.
 
2004
 
2004
2003
 
 
 
 
 
 
2005

عدد طلائي

عدد طلائي عدديست ، تقريباَ مساوي 1.618 ، كه خواص جالب بسياري دارد ، و بعلت تكرار زياد آن در هندسه ، توسط رياضيدانان كهن مطالعه شده است . اشكال تعريف شده با نسبت طلائي ، از نظر زيبائي شناسي در فرهنگهاي غربي دلپذير شناخته شده، چون بازتابنده خاصيتي بين تقارن و عدم تقارن است.
دنياي اعداد بسيار زيباست و شما مي توانيد در آن شگفتيهاي بسياري را بيابيد. در ميان اعداد برخي از آنها اهميت فوق العاده اي دارند، يكي از اين اعداد كه سابقه آشنايي بشر با آن به هزاران سال پيش از ميلاد ميرسد عددي است بنام "نسبت طلايي" يا Golden Ratio. اين نسبت هنوز هم بارها در هنر و طراحي استفاده مي شود . نسبت طلائي به نامهاي برش طلائي ، عدد طلائي ، نسبت الهي نيز شناخته مي شود و معمولاَ با حرف يوناني ، مشخص مي شود.

تعريف

پاره خطي را در نظر بگيريد و فرض كنيد كه آنرا بگونه اي تقسيم كنيد كه نسبت بزرگ به كوچك معادل نسبت كل پاره خط به قسمت بزرگ باشد. به شكل توجه كنيد. اگر اين معادله ساده يعني را حل كنيم (كافي است بجاي b عدد يك قرار دهيم بعد a را بدست آوريم) به نسبتي معادل تقريبا
1.61803399 يا 1.618 خواهيم رسيد.

كاربردها

شايد باور نكنيد اما بسياري از طراحان و معماران بزرگ براي طراحي محصولات خود امروز از اين نسبت طلايي استفاده مي كنند. چرا كه بنظر ميرسد ذهن انسان با اين نسبت انس دارد و راحت تر آنرا مي پذيرد. اين نسبت نه تنها توسط معماران و مهندسان براي طراحي استفاده مي شود. بلكه در طبيعت نيز كاربردهاي بسياري دارد.
برش اهرام و نسبت طلايي اهرام مصر يكي از قديمي ترين ساخته هاي بشري است كه در آن هندسه و رياضيات بكار رفته شده است. مجموعه اهرام Giza در مصر كه قدمت آنها به بيش از 2500 سال پيش از ميلاد مي رسد يكي از شاهكارهاي بشري است كه در آن نسبت طلايي بكار رفته است. به اين شكل نگاه كنيد كه در آن بزرگترين هرم از مجموعه اهرام Giza خيلي ساده كشيده شده است.

مثلث قائم الزاويه اي كه با نسبت هاي اين هرم شكل گرفته شده باشد به مثلث قائم مصري يا Egyptian Triangle معروف هست و جالب اينجاست كه بدانيد نسبت وتر به ضلع هم كف هرم معادل با نسبت طلايي يعني دقيقا" 1.61804 مي باشد. اين نسبت با عدد طلايي تنها در رقم پنجم اعشار اختلاف دارد يعني چيزي حدود يك صد هزارم. باز توجه شما را به اين نكته جلب مي كنيم كه اگر معادله فيثاغورث را براي اين مثلث قائم الزاويه بنويسم به معادله اي مانند phi2=phi+b2 خواهيم رسيد كه حاصل جواب آن همان عدد معروف طلايي خواهد بود. (معمولا" عدد طلايي را با phi نمايش مي دهند)

طول وتر براي هرم واقعي حدود 356 متر و طول ضلع مربع قاعده حدودا" معادل 440 متر مي باشد بنابر اين نسبت 356 بر 220 (معادل نيم ضلع مربع) برابر با عدد 1.618 خواهد شد.

عدد طلائي از ديدگاه كپلر

كپلر (Johannes Kepler 1571-1630) منجم معروف نيز علاقه بسياري به نسبت طلايي داشت بگونه اي كه در يكي از كتابهاي خود اينگونه نوشت : "هندسه داراي دو گنج بسيار با اهميت مي باشد كه يكي از آنها قضيه فيثاغورث و دومي رابطه تقسيم يك پاره خط با نسبت طلايي مي باشد. اولين گنج را مي توان به طلا و دومي را به جواهر تشبيه كرد".

تحقيقاتي كه كپلر راجع به مثلثي كه اضلاع آن به نسبت اضلاع مثلث مصري باشد به حدي بود كه امروزه اين مثلث به مثلث كپلر نيز معروف مي باشد.همچنين كپلر پي به روابط بسيار زيبايي ميان اجرام آسماني و اين نسبت طلايي پيدا كرد.

اعداد

يك عدد يك ماهيت مجرد است كه براي توصيف كميت استفاده مي شود. انواع مختلفي از اعداد وجود دارد. مشهورترين اعداد، اعداد طبيعي {... ،3 ،2 ،1} هستند كه براي شمارش بكار رفته و با N، و اگر عدد صفر را نيز در بر داشته باشد اعداد حسابي {... ،3 ،2 ،1 ،0} و با I مشخص مي شوند. اگر تمام اعداد منفي را شامل شود، اعداد صحيح Z بدست مي آيد. نسبت اعداد صحيح اعداد گويا يا كسر نام دارند؛ دسته كامل تمام اعداد گويا با Q نشان داده مي شود. اگر تمام عبارتهايي كه اعشار آنها غير تكراري و نامحدود است را نيز شامل كنيم، اعداد حقيقي R بدست مي آيند. اعداد حقيقي كه گويا نيستند اعداد گنگ ناميده مي شوند. اعداد حقيقي بنوبه خود به اعداد مختلط C تعميم مي يابند تا بتوان معادلات جبري را حل نمود. علامتهاي فوق اغلب با حروف "ضخيم تاكيد" نوشته مي شوند، بنابراين:

:N Z Q R C 

اعداد مختلط بنوبه خود به quaternion تعميم مي يابند، ولي ضرب quaternion ها خاصيت جابجايي ندارد. Octonion ها از تعميم quaternion ها بدست مي آيند، ولي اين بار خاصيت شركت پذيري را از دست ميرود. در حقيقت، تنها شركت پذيران ابعاد محدود جبر تقسيم اعداد حقيقي، مختلط و quaternion هستند.

اعداد بايد از رقوم كه علامتهايي براي نمايش اعداد هستند، متمايز شوند. علامت گذاري اعداد بصورت سريهايي از ارقام در سيستمهاي رقومي بحث شده است.

مردم دوست دارند تا اعداد را بجاي اسامي يكتا به اشياء بدهند. طرحهاي رقومي
متنوعي براي اينكار وجود دارند.

X