رياضي

در اين مقاله سعي داريم نگاهي گذرا به تاريخچه مربع جادويي (وفقي) بيافكنيم و راه حلي كه چكيده انديشه دانشمندان صاحب نام است ارائه دهيم. بشر از گذشته هاي دور مجذوب نيروي شگفت آور اعداد بوده است به طوري كه يكي از سرگرميهاي او بازي با اعداد بود. اعداد بعدها از حالت بازي خارج شد و جنبه سحر و جادو به خود گرفت و مشتي عوام فريب به عنوان رمال و دعا نويس براي پيش برد كار خود از اعداد استفاده مي كردند.

در ميان بازي با عدد –اعداد جادويي همواره مقام والايي داشته است چنانچه امام محمد غزالي فيلسوف و دانشمند بزرگ ايراني رساله اي در اين باب به زبان فارسي دارد.از اسناد و مدارك موجود مي بايد كشور چين را زادگاه مربع جادويي جهان دانست زيرا قديميترين جايي كه از آن نام برده شده است كتابيست چيني كه حدود چهار تا پنج هزار سال پيش از ميلاد مسيح نوشته شده است.

اين مربع جادويي 9 خانه اي است و اعداد فرد به صورت دايره هاي سفيد و اعداد زوج به صورت دايره هاي سياه ترسيم شده است. قديميترين مربع جادويي اروپا در تابلوي « افسردگي » اثر « آلبرشت ديورر » نقاش آلماني نقش شده است كه سال ترسيم آن 1514 ميلادي است اين مربع شبيه مربع جادوي هنديهاست كه دو هزار سال از عمر آن مي  گذرد.

گوته شاعر بزرگ آلماني در شاهكار فنا ناپذير خود « فاوست » صحنه اي را مختص ساختن اكسير جواني مي كند آنهم با فرمول مربع وفقي. او مي نويسد:

تو بايد بفهمي

يك را 10 كن

و از 2 بگذر

و همچنين از 3

تا انجا كه

حذف كني 4 را

جادوگر چنين گويد

5 و 6 را

7 و 8 كن ( و بر عكس )

و 9 و 1

و 10 هيچ است

يك در يك جادوگر اينست.

با كمي دقت معلوم مي شود كه مربع جادويي او كامل نيست. قدر مسلم او با مربعهاي وفقي آشنايي داست زيرا بارها از تابلوي « افسردگي » ديورر سخن گفته و به نكات علمي آن اشاره كرده است ولي در قطعه بالا خواسته است بغض و كينه ديرينه خود را نسبت به رياضيدانان زمان خود ظاهر سازد با اين وجود نمي توان منكر اين حقيقت شد كه گوته مجذوب مربع وفقي بود در غير اينصورت هرگز آن را به شعر در نمي آورد و در شاهكار خود جاوداني نمي كرد.

 بسيار پيش مي آيد كه دانش آموزان پس از تدريس يك درس ، از ما مي پرسند كه اين درس كه امروز خوانديم ،به چه درد ما مي خورد؟و كجامي توانيم ازآن استفاده كنيم ؟ كاربرد رياضي در زندگي بسيار پيش مي آيد كه دانش آموزان پس از تدريس يك درس ، از ما مي پرسند كه اين درس كه امروز خوانديم ،به چه درد ما مي خورد؟و كجامي توانيم ازآن استفاده كنيم ؟ رياضيات به عنوان يك درس اصلي است كه داشتن درك درست از آن در آينده ي تحصيلي دانش آموزان و طبعاً پيشرفت علمي كشور نقش مهمي دارد . همچنين شامل كليه ارتباطات رياضي با زندگي روزمرّه ، ساير علوم و كاربردهايي در زندگي علمي آينده ي دانش آموزاست .به اين ترتيب دربرنامه درسي و آموزشي ، برقرار كردن پيوند رياضيات با كاربردهايش در زندگي و ساير علوم از قبيل :هنر،علوم طبيعي ،علوم اجتماعي و . . . . بايد مدّ نظر قرار گيرد . در صورتي كه اين موارد در آموزش ديده نشود ، اين سؤ ال هميشه در ذهن دانش آموز باقي مي ماند كه: « به چه دليل بايد رياضي خواند ؟ » و« رياضي به چه درد مي خورد ؟ » دراين مقاله سعي شده است كه ارتباط دروس كتب رياضي راهنمايي با ساير علوم و همچنين كاربرد آنها در دنياي امروز ي تا حدودي بررسي شود و ارائه گردد . بين رشته هاي علمي ، كه بشر در طول هزاران سال به وجود آورده ، رياضيّات جاي مخصوص و ضمناٌ مهمّي را اشغال كرده است . رياضيّات با علوم فيزيك ، زيست شناسي ، اقتصاد و فنون مختلف فرق دارد . با وجود اين به عنوان يكي از روشهاي اصلي در بررسيهاي مربوط به كامپيوتر ، فيزيك ، زيست شناسي ، صنعت واقتصاد بكار مي رود ودرآينده بازهم نقش رياضّيات گسترش بيشتري مي يابد. با وجود اين مطلب ، براي آموزش جوانان هنوز از همان روشي استفاده مي شود كه سقراط و افلاطون ، حقايق عالي اخلاقي را براي شيفتگان منطق و فلسفه و براي علاقمندان سخنوري و علم كلام بيان مي كردند . در حقيقت در درسهاي حساب ، هندسه و جبر ،هرگز لزوم يادگيري آنها براي زندگي عملي خاطر نشان نمي شود. هرگز از تاريخ علم صحبتي به ميان نمي آيد. نظريه هاي سنگين علمي ، ولي هيچ نتيجه اي جز اين ندارد كه دانش آموزان را از علم بري كند و عدّه ي آنها را تقليل دهد . يكي ازراههاي جدي براي حلّ مسئله توجه به تاريخ علم، گفتگو در باره ي مردان علم و ارتباط رياضي با عمل است ، ارتباطي كه در تمام دوران زندگي بشر هرگز قطع نشده است . ● كاربرد ارقام در زمانهاي قديم هر قدمي كه در راه پيشرفت تمدّن برداشته مي شد، بر لزوم استفاده از اعداد مي افزود . اگر شخصي گله اي از گوسفندان داشت ، مي خواست آن را بشمرد ،يا اگر مي خواست معبد يا هرمي بسازد ، بايد مي دانست كه چقدر سنگ براي آن لازم دارد . اگر داراي زمين بود ، مي خواست آن رااندازه گيري كند . اگر قايقش را به دريا مي راند ، مي خواست فاصله ي خود را از ساحل بداند . و بالاخره در تجارت و مبادله ي اجناس در بازارها ، بايد ارزش اجناس حساب مي شد.هنگامي كه آدمي محاسبه با ارقام را آموخت ، توانست زمان ، فاصله مساحت ، حجم را اندازه گيري كند . با بكار بردن ارقام ، انسان بردانش و تسلّط خود بر دنياي پيرامونش افزود . ● كاربرد توابع و روابط بين اعداد كاربرد روابط بين اعداد و توابع و نتيجه گيريهاي منطقي در نوشتن الگوريتمها و برنامه نويسي كامپيوتري است . مفهوم تابع يكي از مهمترين مفاهيم رياضي است و در اصل تابع نوعي خاص از رابطه هاي بين دو مجموعه است . و با توجه به اين كه دنباله ها هم حالت خاصي از تابع است – تابعي كه دامنه آن مجموعه ي اعداد { . . . و ۲ و ۱ و ۰ } است – دنباله هاي عددي در رياضي و كامپيوتر كاربرد فراوان دارند . براي ساخت يك برنامه اساساٌ چهار مرحله را طي مي كنيم : ۱) تعريف مسئله ۲) طراحي حل ۳) نوشتن برنامه ۴) اجراي برنامه لازم به ذكر است كه گردآيه هايي كه در مرحله دوم حاصل مي شود را اصطلاحاٌ الگوريتم مي ناميم .كه اين الگوريتمهابه زبان شبه كد نوشته مي شود ،كه شبيه زبان برنامه نويسي است وتبديل آنها به زبان برنامه نويسي را براي ما بسيار ساده مي كند . « هيچ دانسته ي بشر را نمي توان علم ناميد، مگر اينكه از طريق رياضيّات توضيح داده شده و ثابت شود . » ( لئو ناردو داوينچي ) ● كاربرد معادله و دستگاه معادلات خطي دستگاه هاي معادلات خطي اغلب براي حساب كردن بهره ي ساده ،پيشگويي ، اقتصاد و پيدا كردن نقطه ي سر به سر به كارميرود. معمولاً هدف از حل كردن يك دستگاه معادلات خطي ، پيدا كردن محل تقاطع دو خط مي باشد.در مسائل دخل و خرج كه درمشاغل مختلف وجود دارد ، پيداكردن نقطه تقاطع معادلات خط يعني همان پيدا كردن نقطه ي سر به سر.* در اقتصاد هم نقطه تقاطع معادلات خطي ، عبارتست از : قيمت بازار يا نقطه اي كه در آن عرضه و تقاضا با هم برابر باشند. ● كاربرد تقارنها (محوري و مركزي ) و دَوَرانها مباحث تقارنها ودورانها كه به تبديلات هندسي معروف هستند،درصنعت و ساختن وسائل و لوازم زندگي استفاده مي شوند . مثلاً در بافتن قالي و براي دادن نقش و نگار به آن از تقارن استفاده مي شود . در كوزه گري و سفالگري از دوران محوري استفاده مي شود . همچنين در معماريهاي اسلامي اغلب از تقارنها كمك گرفته مي شود . چرخ گوشت ، آب ميوه گيري ، پنكه ، ماشين تراش ُ بادوراني كه انجام مي دهند ، تبديل انرژي مي كنند . علاوه بر آن تبديلات هندسي براي آموزش مطالبي از رياضي استفاده مي شوند ،مانند : مفهوم جمع و تفريق اعداد صحيح با استفاده از بردار انتقال موازي محور. ▪ نقطه ي سر به سر : در بسياري از مشاغل ، هزينه ي توليد Cو تعداد X كالاي توليد شده را مي توان به صورت خطي بيان كرد.به همين ترتيب ، در آمد R حاصل از فروش X قلم كالاي توليدشده را نيز مي توان با يك معادله ي خطي نشان داد . وقتي هزينه ي C از در آمد R حاصل از فروش بيشتر باشد،اين توليدضررمي دهد. و وقتي در آمد R از هزينه ي C بيشتر باشد ،توليد سودميدهد . و هر گاه در آمد R و هزينه ي C مساوي باشند ،سود و زياني در بين نيست و نقطه اي كه در آن R=C باشد، نقطه ي سربه سر ناميده مي شود . ● كاربرد مساحت مفهوم مساحت و تكنيك محاسبه مساحت اشكال مختلف ، از اهمّ مطالب هندسه است .به سبب كاربرد فراواني كه در زندگي روزمرّه مثلاً براي محاسبه ي مساحت زمينها با اَشكال مختلف . و همچنين درفيزيك و جغرافياوساير دروس دانستن مساحتهالازم به نظرمي رسد . ● كاربرد چهار ضلعيها شناخت چهارضلعيها و و دانستن خواص آنها ، براي يادگيري مفاهيم ديگر هندسه لازم است و ضمناً در صنعت و ساخت ابزار و وسائل زندگي و همچنين براي ادامه تحصيل وهمينطور در بازار كار نياز به دانستن خواص چهارضلعيها احساس مي شود . ● كاربرد خطوط موازي و تشابهات از خطوط موازي و مخصوصاً متساوي الفاصله ، در نقشه كشي و ترسيمات استفاده مي شود .و در اثبات احكامي نظير قضيه تالس۱ و عكس آن ، همچنين تقسيم پاره خط به قطعات متساوي يامتناسب . تشابهات نيز از مفاهيم مهم هندسه و اساس نقشه برداري ،كوچك و بزرگ كردن نقشه ها و تصاوير و عكسها مي باشد . مبحث تشابهات درهندسه دريچه اي است به توانائيهاي جديدبراي درك و فهم و كشف مطالب تازه ي هندسه ،به همين سبب آموزش خطوطمتوازي و متساوي الفاصله و مثلثهاي متشابه به حد نياز دانش آموز مقطع راهنمايي لازم است . ۱) تالس دانشمند يوناني نشان داد كه به وسيله ي سايه ي يك شيء و مقايسه ي آن با سايه ي يك خط كش مي توان ارتفاع آن شيء را اندازه گرفت . با استفاده از اصولي كه تالس ثابت كرد ،مي توان بلندي هر چيزي را حساب كرد . تنها چيزي كه نياز داريد ، يك وسيله ي ساده اندازه گيري است كه مي توانيد[آن را ] از يك قطعه مقواو تكه اي چوب درست كنيد.( مراجعه شودبه كتاب درجهان رياضيات نوشته ي اريك او بلاكر – صفحه ي ۳۰ ) تالس در زمان خود به كمك قضيه ي خودارتفاع اهرام مصررامحاسبه كرد همچنين وقتي از مصر به يونان بازگشت ، فاصله ي يك كشتي را از ساحل به كمك قضيه خود اندازه گرفت .روش ديگري هم براي محاسبه بلندي وجود دارد وآن استفاده از نسبتهاي مثلثاتي است. ● كاربرد آمار و ميانگين وقتي كسي از مقادير عددي كمك مي گيرد ، تا يك موقعيّت را توضيح دهد ، او وارد قلمرو آمار شده است . آمار معمولاً اثر تعيين كننده اي دارد . اگر چه ممكن است مفيد يا گمراه كننده باشد . ما عادت كرده ايم، كه پديده هاي زيادي نظيرموارد زير را با توجه به آمار ، پيش بيني كنيم : احتمال پيروزي يك كانديداي رياست جمهوري،وضعيت اقتصادي(تورم،در آمد ناخالص ملي ، تعداد بيكاران ،كم وزيادشدن نرخ بهره هاونرخ سهام ، بازار بورس ، ميزان بيمه ، آمار طوفان،جذر و مد) و غيره . قلمرو آمار به طور مرتب درحال بزرگ شدن است.آمار مي توانددر موارد زيادي ، براي قانع كردن مردم و يا انصراف آنهااز يك تصميم موءثّر باشد . به عنوان مثال : اگر افراداحساس كنند كه رأي آنها نتيجه ي انتخابات را تغيير نخواهد داد ، ممكن است ازشركت در انتخابات صرفنظر كنند . در عصر ما آمار ابزار قوي و قانع كننده است،مردم به اعدادمنتشر شده ي حاصل از آمار گيري ،اعتماد زيادي نشان مي دهند. به نظر مي رسد وقتي يك وضعيت وموقعيت باتوسل به مقادير عددي توصيف مي شود ، اعتبار گزارش در نظر مستمعين بالا مي رود . ● مقاطع مخروطي در هواي گرم بستني بسيار خوشمزه ودلچسب است .بخصوص اگر بستني قيفي داشته باشيد ودر حالي كه روي يك صندلي و در سايه درختي نشسته باشيد و فارغ از جار و جنجال روزگار ، به خوردن بستني مشغول باشيد. شايد همه چيز از ذهن شما بگذردمگرهمان بستني قيفي كه مشغول خوردن آن هستيد . اين مطلب توجه يك رياضيدان بلژيكي خوش ذوق رابه خودجلب كرد و آن رابراي توضيح يكي ازمطالب مهم رياضي[يعني مقاطع مخروطي]بكار برد . واقعاً جالب است مگه نه ؟ مقاطع مخروطي يكي از مباحث مهم و كاربردي در رياضيات بوده وهست . ● ترسيمات هندسي در ترسيمات و آموزش قسمتهاي ديگر هندسه، نياز فراوان به شناخت دايره و اجزاو خواص آن پيدا مي شود ، لذا در دوره ي راهنمايي ، مفهوم دايره ،وضع نقطه و خط نسبت به دايره،زاويه مركزي ، زاويه محاطي و تقسيم دايره به كمانهاي متساوي آموزش داده مي شود و به اين ترتيب دانش آموز براي يادگيري مطالب بعدي و استفاده ي عملي از آنها آماده مي شود . (همچنين من فكرميكنم از زاويه ي محاطي و اندازه ي آن براي نورپردازي در سالنهااستفاده مي شود . ) ● كاربرد رياضيات در هنر و كامپيوتر تاريخ نشان مي دهد كه در طي قرون ، هنرمندان وآثارشان تحت تأثيررياضيات قرار گرفته اند ،و زيبائي اثرشان به آگاهي آنها از اين دانش بستگي داشته است .ماهم اكنون استفاده ي آگاهانه از مستطيل طلايي ، و نسبت طلايي را در هنر يونان باستان ، به ويژه درآثارپيكرتراش يوناني« فيدياس »دقيقآ مشاهده مي كنيم. مفاهيم رياضي از قبيل نسبتها ، تشابه، پرسپكتيو، خطاي باصره تقارن ، اشكال هندسي ، حدود و بينهايت در آثار هنري موجوداز قديم تا به امروز مكمل زيبايي آنها بوده است . و اكنون نيز « كامپيوتر » به كمك رياضيات هنر را ازابتدايي تامدرن توسعه مي دهد. اگر آگاهي هنرمندان بارياضيات واستفاده ي عملي از ان نبود،برخي از آثار هنري خلق نمي شدند . بهترين نمونه ي آن تصاوير موزائيكي هنرمندن مسلمان وگسترش اين شكلهاي هندسي به وسيله ي « M.S.Esher » جهت نشان دادن اجسام متحرك است .اگر هنرمندان به مطالعات توجهي نداشتندوخصوصيات اشكال را از نظر تطابق،تقارن انعكاس ،دوران ، انتقال و . . . كشف نكرده بودند ، خلق اين همه آثار هنري امكان پذير نبود . « هنر رياضيات ،هنرپرسيدنِِِ پرسشهاي درست است وقطعه ي اصلي كار در رياضيات تخيل است و آن چه كه اين قطعه ي اصلي رابه حركت درمي آوردمنطق مي باشدوامكان استدلال منطقي آن زمان پديد مي آيدكه ما پرسشهاي خود رادرست مطرح كرده باشيم.» (نوربرت ونيز ) ● كاربرد حجم به سبب نيازي كه دانش آموز در زندگي روز مرّه و همين طور در بكار گيري آن در ساير علوم نظير ، شيمي ، فيزيك ،زيست شناسي و مخصوصاً هنر برايش پيش مي آيد،همچنين در شغلهايي كه در جامعه وجود دارد و يا در ادامه تحصيل دانستن دستورهاي محاسبه ي حجماجسام ، يادگيري مبحث حجم ضروري به نظر مي رسد . ● كاربرد رابطه ي فيثاغورس فيثاغورث در باره ي رابطه هاي عددي كه درساختمانهاي هندسي وجود دارد تحقيق مي كرد . او مثلث معروف به مثلث مصري را ، كه ضلعهاي آن با عددهاي ۳و۴و ۵ بيان مي شود ، را مي شناخت . مصريها مي دانستند كه چنين مثلثي قائم الزاويه است .و ازآن براي تعيين زاويه هاي قائمه در تجديد تقسيم بندي زمينهاي اطراف نيل ،كه هر سال بر اثر طغيان آب شسته مي شد ، استفاده مي كردند. يكي از مشكلترين مسائل در ساختن اهرام و معبدها ،طرح شالوده بنا به شكل مربع كامل بود كه هم تراز باسطح افق باشد . جزئي اشتباه به قيمت از شكل افتادن همه ي بنا تمام مي شد . مصريان اين مشكل رابا ساختن شاقول از ميان برداشتند. نخستين شاقول احتمالاً تكه ريسمان يا نخي بود كه وزنه اي به آن آويخته بودند و ان را در برابر بنا مي گرفتند تا وزنه ي آن به زمين صاف برسد . در اين حالت نخ مي بايست كاملاً عموديا شاقول باشد و زاويه ي بين آن و زمين صاف يك زاويه ي قائمه بسازد. همچنين معماران كشف كردندكه چگونه مي توان با ريسمان هاي اندازه گيري كه درفاصله هاي مساوي گره خورده بودند، مثلثهاي قائم الزاويه اي بسازند و اين مثلثها را راهنماي خويش در ساختن گوشه ها ( نبش ها )ي بنا قرار دهند . ● جمع بندي و نتيجه گيري بدون شك مهمترين هدف ما از بيان مطالب بالا اين است كه بتوانيم دانش آموزان را با اهداف كتب رياضي آشنا كنيم و آنها را نسبت به رياضيات علاقمند كنيم . تجربه نشان داده است كه حتي در رشته هاي فني ، مانند خياطي هم اهداف پرورشي رياضي اهميت دارند به همين خاطر دربرنامه ي درسي تمام رشته هاي تحصيلي درس رياضي گنجانده شده است . در كتب جديد رياضي سعي شده است كه مطالب طوري بيان شوند كه دانش آموز نفهميده مطلبي را نپذيرد.هر چند بعضي مطالب شهودي است.ولي دانش آموز از طريق درك مفاهيم درس ياد مي گيرد و به تدريج با فرايندتفكر رياضي آشنا مي شود .معلمين هم بايد به اين نكته توجه داشته باشند و تصور نكنند كه هدف آموزش رياضي فقط در ياد دادن چند قاعده و حل ماشيني مسائل خلاصه مي شود

در اين مقاله مي خواهيم نشان دهيم كه چطور رياضيات واقعي و اصيل فرما و اويلر كه روزگاري حتي در تصور يك رياضيدان طراز اول بي فايده بودند، اين روزها كفيل امنيت اطلاعات روي اينترنت شده اند.

در بخش اول بعضي خواص اعداد اول را كه براي ادامه بحث لازم هستند بررسي مي كنيم.

در بخش دوم مفهوم `رمزنگاري با كليد همگاني را كه كاربردهاي گسترده اي در تضمين امنيت اطلاعات و تاييد هويت افراد و سازمان ها روي اينترنت دارد، شرح مي دهيم.

در بخش سوم جزييات الگوريتم RSA كه يكي از مشهورترين الگوريتم هاي رمزنگاري با كليد باز است را توصيف مي كنيم و در آزمايشگاه رمزنگاري مي توانيد به صورت عملي با الگوريتم RSA كار كنيد.

● شكار اعداد اول

يكي از اولين و در عين حال درخشانترين كارهاي بشر در نظريه اعداد، اثبات اقليدس از نامتناهي بودن اعداد اول در كتاب اصول است كه امروزه مي توان آن را در كتاب هاي درسي دبيرستاني خواند. نمونه اي عالي از زيبايي و سادگي رياضيات. يوناني ها اعداد اول را مي شناختند و از نقش آن ها به عنوان بلوك هاي سازنده ديگر اعداد آگاه بودند. بعد از اين دستاوردهاي بزرگ طبيعي ترين سوالي كه به ذهن بشر رسيد اين بود كه چه نظمي بر دنباله اعداد اول حاكم است، چگونه مي توان اعداد اول را يافت و چطور مي توان اعدادي را كه اول نيستند به عوامل اول شان تجزيه كرد. شايد اولين پاسخ به اين سوال غربال اراتستن بوده باشد. تا امروز تلاش هاي زيادي براي يافتن يك فرمول توليد كننده اعداد اول و يا الگويي براي ظهور اعداد اول در ميان ديگر اعداد انجام شده است كه هر چند كمك هاي زيادي به گسترش نظريه اعداد كرده اند اما ساختار پيچيده اعداد اول همچنان در مقابل اين تلاش ها مقاومت مي كند.

● جستجو براي الگوهايي از نظم در اعداد اول

يك نمونه ساده: ۳۱ ۳۳۱ ۳۳۳۱ ۳۳۳۳۱ ۳۳۳۳۳۱ ۳۳۳۳۳۳۱ ۳۳۳۳۳۳۳۱ همه اولند اما ۳۳۳۳۳۳۳۳۱ حاصلضرب دو عدد اول ۱۷ و ۱۹۶۰۷۸۴۳ است.

▪اعداد اول مرسن: اگر p اول باشد اعدادي به شكل ۲p ۱ را عدد مرسن ميگوييم. اگر اين اعداد اول باشند به آن ها عدد اول مرسن مي گوييم. به ازاي p برابر ۲ و ۳ و ۵ و ۷ عدد مرسن اول است اما اگر p را ۱۱ بگيريم مركب است. تا امروز ۳۹ عدد اول مرسن شناخته شده اند كه آخرينشان به ازاي p=۱۳۴۶۶۹۱۷ به دست مي آيد و ۴۰۵۳۹۴۶ رقم دارد. يعني بين همه اعداد اول كوچكتر از ۱۳۴۶۶۹۱۷ تنها ۳۹ تا عدد اول مرسن توليد مي كنند.

▪ اعداد اول دوقلو: به اعداد اولي كه پشت سر هم هستند اعداد اول دوقلو مي گوييم مثلا ۳ و ۵ و يا ۱۱ و ۱۳. هيچ كس نمي داند كه پراكندگي اين اعداد در ميان ساير اعداد چگونه است و آيا تعداشان متناهي است يا نه بزگترين جفت شناخته شده ۱ ۲۱۶۹۶۹۰×۳۳۲۱۸۹۲۵ و ۱+۲۱۶۹۶۹۰×۳۳۲۱۸۹۲۵ هستند.

براي پيدا كردن اطلاعاتي راجع به جستجوي اعداد اول مي توانيد به سايت پروژه GIMPS سر بزنيد.

در نظر گذشتگان آزمايش اول بودن يك عدد و يافتن عوامل اول آن يك سوال بودند. كافي بودن عدد مورد نظر را به ترتيب به همه اعداد كوچكتر از آن تقسيم كنيم. اگر به هيچ كدام بخشپذير نبود اول است و اگر بخشپذير بود به اين ترتيب عوامل اول آن معلوم مي شوند. كم كم اين فرايند ساده تر شد، مثلا حالا مي دانيم كه تقسيم كردن به همه اعداد كوچكتر از جذر عدد مورد نظر كافيست ( چرا؟ )، همچنين در صورتيكه اعداد اول كوچكتر از عدد مورد نظر شناخته شده باشند، تقسيم كردن به اين اعداد كافيست. اين روش ها براي اعداد نسبتا كوچك كار مي كنند اما وقتي با عددي مثلا ۱۰۰ رقمي طرف باشيم اوضاع فرق مي كند. حتي با سريع ترين كامپيوترها هم تقسيم كردن يك عدد ۱۰۰ رقمي به همه اعداد كوچكتر از آن خيلي بيشتر از عمر عالم طول مي كشد.

● يك محاسبه سرانگشتي

فرض كنيد بخواهيم يك عدد ۱۰۰ رقمي را به همه اعداد كوچكتر از خودش تقسيم كنيم. براي اين كار بايد حدود ۱۰۹۹ تقسيم انجام دهيم اگر كامپيوتر ما بتواند در هر ثانيه ۱۰۰۰ ميليارد يعني ۱۰۱۲ تقسيم انجام دهد براي انجام كل كار ۱۰۸۷ ثانيه وقت لازم است.

يك سال ۲۴×۳۶۰۰×۳۶۵=۳۱۵۳۶۰۰۰ ثانيه است يعني حدود ۱۰۸ ثانيه و اين يعني كار ما ۱۰۷۹ سال طول خواهد كشيد. عمر عالم دست بالا ۱۵ ميليارد سال تخمين زده مي شود. حتي يك دهم يا يك صدم يا يك هزارم اين محاسبه هم غير قابل انجام است.

حوالي قرن هفدهم توجه رياضيدانان به اين نكته جلب شد كه شايد راه هاي ساده تري براي آزمايش اول بودن يا نبودن يك عدد وجود داشته باشد چرا كه روش تقسيم مقدار زيادي اطلاعات اضافي ( ليست عوامل اول، وقتي كه جواب سوال منفي است ) توليد مي كند كه براي پاسخ گفتن به اين سوال نيازي به آن ها نيست. فرما مدتي بعد نشان داد كه اين حدس صحيح بوده است. فرما (۱۶۰۱ ۱۶۶۵) قضيه اي را ثابت كرد كه تا امروز اساس همه روش هاي آزمايش اول بودن اعداد است و ما آن را با نام قضيه كوچك فرما مي شناسيم.

▪ قضيه كوچك فرما: اگر p عددي اول و b عدد دلخواهي باشد كه p و b نسبت به هم اول باشند، آن گاه باقيمانده تقسيم بر p و باقيمانده تقسيم b بر p هميشه برابرند.

بنابراين براي اينكه بدانيم عددي مثل a اول است يا نه كافيست عدد دلخواهي مثل b كه نسبت به a اول باشد انتخاب كنيم و باقيمانده تقسيم بر a را بيابيم اگر اين باقيمانده برابر b نباشد عدد ما اول نيست.

تنها مشكلي كه وجود دارد اين است كه از آنجا كه عكس قضيه فرما لزوما درست نيست يعني ممكن است بعضي از اعداد مركب هم اين خاصيت را داشته باشند اگر باقيمانده b باشد نمي توان در مورد اول بودن يا نبودن a اظهارنظري كرد. اين مشكل هم ۳۰۰ سال بعد در تابستان ۲۰۰۲ بوسيله سه رياضيدان هندي به نام هاي Agrawal، Kayal و Saxena حل شد و حالا مي توانيم در كسري از ثانيه در مورد اول بودن عددي با ۱۰۰ رقم اظهارنظر كنيم.

▪ قضيه كوچك فرما: اگر p عددي اول و b عدد دلخواهي باشد كه p و b نسبت به هم اول باشند، آن گاه باقيمانده تقسيم بر p و باقيمانده تقسيم b بر p هميشه برابرند.

بنابراين براي اينكه بدانيم عددي مثل a اول است يا نه كافيست عدد دلخواهي مثل b كه نسبت به a اول باشد انتخاب كنيم و باقيمانده تقسيم بر a را بيابيم اگر اين باقيمانده برابر b نباشد عدد ما اول نيست.

تنها مشكلي كه وجود دارد اين است كه از آنجا كه عكس قضيه فرما لزوما درست نيست يعني ممكن است بعضي از اعداد مركب هم اين خاصيت را داشته باشند اگر باقيمانده b باشد نمي توان در مورد اول بودن يا نبودن a اظهارنظري كرد. اين مشكل هم ۳۰۰ سال بعد در تابستان ۲۰۰۲ بوسيله سه رياضيدان هندي به نام هاي Agrawal، Kayal و Saxena حل شد و حالا مي توانيم در كسري از ثانيه در مورد اول بودن عددي با ۱۰۰ رقم اظهارنظر كنيم.

بعد از ۲۰۰۰ سال مساله آزمايش اول بودن اعداد پاسخ خوبي پيدا كرد اما مساله دوقلو يعني يافتن عوامل اول همچنان مقاومت مي كند و كسي نمي داند آيا اين مساله راه حل ساده تري دارد يا نه؟

وقتي تلاش براي ساده تر كردن راه حل اين مساله به جايي نرسيده رياضيدانان تصميم گرفتند از پيچيدگي اين مساله براي ساختن روش هاي رمز نگاري استفاده كنند. حالا، كمتر از ۳۰ سال از آغاز اين تلاش، امنيت پيچيده ترين و امن ترين سيستم هاي رمزنگاري عالم وابسته به سختي تجزيه اعداد بزرگ است و امن تر كردن اين روش ها بخش عمده اي از وقت نظريه اعداد دان هاي دنيا را پر مي كند. جالب است بدانيد بزرگ ترين استخدام كننده رياضيدان ها در دنيا آژانس ملي امنيت ايالات متحده آمريكاست كه بيشتر نظريه اعداددان ها را استخدام مي كند. شايد ديگر كمتر نظريه اعدادداني مايل به حل كردن مساله تجزيه اعداد بزرگ باشد

 چرا در رياضيات نمرات بهتر ي نمي گيريد ؟ آيا احساس مي كنيد كه شما هر آنچه كه در توان داريد انجام ميدهيد ولي با وجود اين هنوز نتايج خوبي نمي گيريد؟ يا اينكه تنبلي مي كنيد؟ اگر شما دانشجوي تنبلي هستيد و نمي خواهيد به اندازه ي كافي تلاش كنيد، اين نوشته براي شما در نظر گرفته نشده است. اما اگر شما تلاش كرده ايد ولي نمراتتان هنوز توانايي شما را نشان نمي دهند، يا اينكه نمرات خوبي مي گيريد اما هنوز احساس مي كنيد كه رياضيات را خوب نمي فهميد، به احتمال زياد نمي دانيد كه چگونه مطالعه ي موثري داشته باشيد. اين نوشته سعي و اميد دارد بتواند در مطالعه موثر رياضي مفيد فايده باشد.‎‎‎

برخي از شما ، ممكن است احساس كنيد كه روش هاي مطالعه ي موثر و موفق شما با روشهايي كه در اينجا شرح داده شده اند متفاوت است. در آن صورت ، نبايداحساس كنيد كه لازم است روش خود را تغييردهيد، اگر چه ممكن است با مقايسه روش خود و آنچه كه در اينجا گفته مي شود به نتايج بهتري برسيد.‎‎‎

‎‎‎از سوي ديگر ، برخي از شما ممكن است احساس كنيد كه پيشنهاداتي كه خواهند شد بيش از حد جاه طلبانه هستند، يعني زمان و تلاشي بيش از آنچه كه شما در نظر داريد لازم دارند. ممكن است حق با شما باشد. ما نمي توانيم انتظار داشته باشيم كه همه چيز را به بهترين وجه ممكن انجام دهيم، اما مي توانيم تا حد ممكن در اين راه تلاش كنيم. از پيشنهادات ارائه شده، مي توانيد آنهايي را كه ممكن است بيشترين كمك را داشته باشند انتخاب كرده و با بهبود و پيشرفت‎‎‎ كارتان روشهاي ديگر پيشنهاد شده را آزمايش كنيد. ‎‎اگر خواستيد اين پيشنهادات بلند پروازانه را مسخره كنيد، اما بعد از آن برخي را امتحان كنيد، يك تلاش منصفانه، و نتايج را ببينيد.‎‎‎

تكاليف

‎‎‎

‎‎‎

‎‎‎

اشتباه رايجي كه عمدتا در مورد تكاليف درسي وجود دارد اين است كه اهميت آنها در اين است كه بايد به مدرس تحويل داده شوند. در واقع، تكاليف درسي اولين و مهمترين ابزار يادگيري ايده ها و فرآيندهاي اساسي در رياضيات است. تكاليف درسي كمك مي كنند تا دانشجو دقت خود را افزايش دهد. آنچه كه به مدرس تحويل داده مي شود تنها بايد محصول فرايند يادگيري باشد.‎‎‎ چهار گامي كه دز زير پيشنهاد مي شود براي موثر تر كردن مطالعه در خانه مي باشند:‎‎‎

‎‎‎‎‎

‎1‎. آگاهانه مطالعه كنيد. چند دقيقه به عقب برگرديد و به يادداشتهاي خود نگاه كنيد. به كتاب مراجعه كنيد تا بطور واضح بدانيد كه روي چه ايده هايي كار مي كنيد.‎‎‎

‎‎‎

2.‎ ايده ها را بررسي كنيد. به‎‎‎ ايده ها و قوانيني كه در كلاس درس مطرح شده اند فكر كنيد. فراموش نكنيد كه با عبارات و مفاهيم جديد رياضي بيشتر آشنا شويد. سعي كنيد هشدار هايي كه مدرس، در مورد خطاهائي محتمل، متذكر شده اند را به خود ياد آوري كنيد. مثالهاي داده شده را بطور كامل بررسي كنيد تا مطمئن شويد كه مفاهيم نشان داده شده در مثالها را كاملا فهميده ايد.

‎‎‎

‎‎‎

‎3‎. تكاليف را انجام دهيد. در باره ايده هائي كه تمرينات نشان ميدهند فكر كنيد.‎‎‎ با حل مسائل، فهم و دانش رياضي خود را به تدريج افزايش خواهيد داد. موارد زير در اين زمينه مفيد هستند:‎‎‎

‎3‎.‎1‎‎‎‎. تكاليف را به دقت يادداشت كنيد.‎‎‎ در دفتر خود بخش به خصوصي را براي نوشتن درس و تمرينهاي آن در نظر بگيريد. اگر تكليفي را بايد انجام دهيد متوجه نشده ايد، حتما بپرسيد.

‎3‎.‎2‎. از دستورالعمل ها پيروي كنيد.‎‎‎

‎3‎.‎3‎. با دقت و شفافيت كار كنيد.‎‎‎

‎3‎.‎4‎. نتيجه ي كار خود را بطور كامل به مدرس نشان دهيد، نه فقط جوابهاي آخر را. اين كار به شما و معلمتان در بررسي اشكالات كمك مي كند.‎‎‎

‎3‎.‎5‎. هميشه جوابها را از نظر خطاهاي ساده ي محاسبه اي بررسي مجدد كنيد.‎‎‎

‎3‎.‎6‎‎. بلافاصله بعد از كلاس، قبل از فراموش كردن درس، به خواندن درس بپردازيد.‎‎‎

‎3‎.‎7‎. اگر مشكلي پيش آمد و نتوانستيد مسئله اي را حل كنيد، تسليم نشويد. به ايده هاي مرتبط با مسئله، در جزوه ي درسي و كتاب، رجوع كنيد. اگر آنچه كه در مورد يك مسئله انجام داده ايد گيج كننده است، در اغلب مواقع ، از اول شروع به بررسي كردن مسئله مفيد خواهد بود. اگر هنوز مسئله برايتان واضح نيست، هر چه زودتر از معلم خود بپرسيد.‎‎‎

‎4‎. اگر مي توانيد به ديگران كمك كنيد. معمولا تلاش براي ياد دادن يك مطلب بهترين راه براي ياد گيري آن است! گاهي اوقات، درخواست كردن از يك همكلاسي براي كمك به حل يك مسئله مفيد است. آنها معمولا مي توانند به خوبي (اگر نه بهتر از ) معلم مفاهيم را توضيح دهند.

(ادامه دارد)

كار كلاسي: وقت خود را در كلاس درس چگونه بگذارنيد.

1. آماده باشيد. چند دقيق قبل از شروع كلاس، در مورد اينكه اخيرا روي چه چيزي كار كرده ايد فكر كنيد.
2. تمام چيزهاي را كه لازم است، كتاب، مداد يا خودكار، دفتر تكاليف و ... به همراه داشته باشيد.
3. تكاليفي را كه برايتان تعيين مي شود بلافاصله و با دقت يادداشت كنيد
4. تمركز كنيد. اگر شما جزوه كساني هستيد كه ذهنشان تمايل به انحراف به مسائل غير مرتبط دارد، تلاش  زيادي بايد بكنيد تا بتوانيد مهارت، تمركز كردن روي موضوع خاصي، را بدست آوريد.
5. هر وقت كه مطلبي را متوجه نمي شويد آنرا بپرسيد.
6. به سوالاتي كه بقيه مي پرسند و به پاسخهاي آنها گوش كنيد. وقتي يكي از همكلاسيهايتان سوالي مي پرسد، سعي كنيد در ذهن خود به آن جواب دهيد.
7. در بحثهاي كلاسي شركت كنيد. 8. در زمان نامناسب ننويسيد. وقتي يادداشت بر مي داريد، مطمئن شويد كه حين نوشتن مطلبي را كه توضيح داده مي شود، از دست نمي دهيد.در يادداشت برداري بايد به دو چيز تقريبا متضاد دقت كنيد. يكي اينكه يادداشتهاي شما به اندازه ي كافي كامل و دقيق باشند كه  براي مراجعه ي بعدي مفيد واقع شوند. دوم اينكه يادداشت برداري شما بايد به اندازه ي كافي خلاصه باشد تا بتوانيد به آنچه كه سر كلاس گفته مي شود گوش كنيد.

چگونه از كتاب درسي استفاده كنيد.

1. از نمايه (index) و واژه نامه ي كتاب كه معمولا در صفحات آخر كتاب است استفاده كنيد، بخصوص موقعي كه معني كلمه اي را نمي دانيد.
2. وقتي كتاب مثالي را براي توضيح ايده اي مي آورد، آنرا بطور كامل و با دقت بررسي كنيد تا ايده ي آنرا بفهميد. سعي نكنيد بدون فهميدن ايده ي مثال، تمرينها را، مانند روش مثال، حل كنيد.
3. اگر مسئله اي را نمي توانيد حل كنيد موضوعات مرتبط را، از روي كتاب و يا يادداشتهاي كلاسي، مجددا بخوانيد.
4. توجه داشته باشيد، بيشتر مطالبي كه مطالعه مي كنيد در آخر هر فصل مفيد واقع مي شوند. 
چگونه براي امتحان درس را مرور كنيد
5. چند هفته زودتر از زمان امتحان مرور درس را شروع كنيد تا با عجله كار نكنيد و بتوانيد شب قبل از امتحان به موقع بخوابيد.
6. مطمئن باشيد كه يادداشتهايتان و مثالهايش را بطور كامل مرور كرده ايد. اگر آنها را خوب نمي فهميد، به اندازه ي كافي يادداشت بر نداشته ايد! 
7. اگر برخي از فرمولها را بايد حفظ كنيد، ليستي از آنها تهيه كنيد. با نوشتن يا تكرار سعي كنيد آنها را بخاطر بسپاريد.
8. از مطالب مروري كه در آخر كتاب آورده شده است استفاده كنيد. اگر در فهم آنها مشكل داريد، به مطالب بخش مراجعه كنيد و روي بعضي از مسائل دوباره  كار كنيد.
9. اگر شما مدرس درستان بوديد، جه سوالاتي را براي آزمون در نظر مي گرفتيد؟ خود را براي آن سوالات آماده كنيد.
10. از آنجائي كه گفته مي شود "كار بيشتر نتيجه ي بهتر"، يكي از روشهاي مطالعه براي آزمون انجام تمريناتي است كه قبلا بعنوان تكاليف در نظر گرفته شده بودند. به آنها مراجعه كنيد تا مطمئن شويد ايده و فرايندي كه در هر فصل  استفاده مي شود را خوب فهميده ايد.
11. شب قبل از امتحان يك استراحت خوب شبانه داشته باشيد!
12. نگران نباشيد!!

چطور امتحان بدهيد

1. موقع امتحان نگرش درستي داشته باشيد- سعي كنيد تا آنجا كه مي توانيد به بهترين صورت به سوالها جواب دهيد. سعي نكنيد صرفا براي نمره قبولي گرفتن، حداقل كار را انجام دهيد. به توانائيهاي خود ايمان داشته باشيد.
2. جدي باشيد و به درست جواب دادن به اندازه ي كافي اهميت دهيد، اما آنقدر هم نگران نباشيد كه اهميت دادن به استرس داشتن تبديل شود. "ترس و استرس در امتحان" به تنهائي مي تواند يك دانشجو را، صرفنظر از تواناي و دانش وي، به شخصي ضعيف تبديل كند.
3. تمام وسايل لازم را به همراه داشته باشيد.
4. به توصيه ها عمل كنيد. به دقت سوالها را بخوانيد و به توصيه هاي مانند، محل نوشتن جوابها كجا بايد نوشته شوند، تغيير و يا تصحيح يك سوال و ... به دقت گوش كنيد.
5. در شروع امتحان يك نگاه اجمالي به تمامي سوالها بكنيد و در صورتيكه ترتيب جواب دهي به سوالات مهم نباشد، ابتدا به سوالاتي كه بلد هستيد پاسخ دهيد.
6. اگر پاسخ سوالي را نمي دانيد به سوال بعدي بپردازيد و بعدا به آن سوال برگرديد. غالبا با يك شروع مجدد حل مسئله، بطور ناگهاني ايده ي بهتري به ذهنتان خواهد رسيد.
7. دقت كنيد بطور واضح و روشن آنچه را كه انجام مي دهيد نشان دهيد. بخاطر داشته باشيد كه معلم ذهن شما را نمي خواند، نمره ي شما بستگي به اين دارد كه او بتواند، از روي نوشته هاي شما، بفهمد آنچه را كه انجام داده ايد فهميده ايد.
8. تميز و مرتب بنويسيد. تميز نوشتن احساس خوبي به معلم مي دهد!
9. در حاليكه به سوالات پاسخ مي دهيد خطاها را بررسي كنيد. خطاهاي كه بعلت بي توجهي بوجود مي آيند، ممكن است نمره ي شما را بطور قابل ملاحظه اي كاهش دهند.
10. با نگرشي درست و آمادگي خوب به احتمال زياد امتحان خوبي خواهيد داشت.
11. بخاطر داشته باشيد: يك يا دو ساعت وقت امتحان، لحظاتي كوتاه از چرخه ي زندگي شماست، بنابرين از امتحان هراسي نداشته باشيد.