رياضي

رياضيات محض و كاربردي Mathematics ماهيت كار رياضي يكي از قديمي ترين و پايه اي ترين رشته هاي علوم است . رياضي دانان از نظريه هاي رياضي , روشهاي محاسبه , آلگوريتمها و آخرين دستاوردهاي رايانه اي براي حل مسائل اقتصادي , علمي , مهندسي , فيزيك و تجاري استفاده مي كنند.كار رياضي دانان به دو بخش گسترده تقسيم مي شود . رياضي محض و رياضي كار بردي . اين دو گروه كاملا از يكديگر قابل تمايز نبوده و اغلب بايكديگرهمپوشاني دارند. رياضي دانان محض(نظري) با گسترش مباني جديد و تشخيص روابط كشف نشده ميان قوانين موجود رياضي باعث گسترش دانش رياضي مي شوند . اگرچه آنان به دنبال گسترش دانش پايه بوده بي آنكه لزوما موارد كاربردي آنرا بررسي كنند ، چنين دانش مطلقي , نوعي راهبرد مفيد در ايجاد وپيشبرد بسياري از دستاوردهاي مهندسي و علمي بوده است. بسياري از رياضيدانان محض به عنوان استاد در دانشگاه ها استخدام شده و زمان كاري خود را بين تدريس و امور تحقيقي تقسيم مي كنند. از طرف ديگر، رياضي دانان كاربردي با بهره گيري از نظريات و روشهاي رياضي مانند روشهاي محاسبه و مدل سازي رياضي به فرمولبندي وحل مسائل عملي در امور تجاري , دولتي , مهندسي و درعلوم اجتماعي، فيزيك و امور مربوط به زندگي مي پردازند . به عنوان مثال , براي برنامه ريزي درخطوط هوايي ميان شهر ها , بررسي اثر وميزان ايمني داروهاي جديد , خصوصيات آيروديناميكي پيش مدل اتومبيل ها و مقرون به صرفه بودن روشهاي ديگر توليد به تجزيه و تحليل كار آمدترين راه مي پردازند. امكان دارد رياضي دانان كاربردي كه دست اندر كار تحقيق و گسترش صنعتي هستند با حل مسائل مشكل باعث ايجاد يا تقويت روشهاي رياضي شوند .گروهي از رياضي دانان به نام رمزياب به تجزيه و تحليل و كشف سيستمهاي رمزي مي پردازند كه به صورت كد بوده واز طريق آنها اطلاعات نظامي , سياسي , مالي يا اجرايي و قانوني رد و بدل مي شود. رياضي دانان كاربري با يك مساله كاربردي شروع كرده , اجزاي تفكيك شده عمليات مورد نظر را در فكر مجسم مي كنند و سپس اجزا را به متغير هاي رياضي تبديل مي كنند. رياضي دانان غالبا با نمونه سازي توسط راه حلهاي فرعي ، بوسيله رايانه به تجزيه و تحليل روابط ميان متغيرها و حل مسائل پيچيده مي پردازند. قسمت اعظم كار در رياضي كار بردي به وسيله افراد با عنواني غير از رياضي دان انجام مي شود . در حقيقت ، از آنجائيكه رياضي شالوده ايست كه بر اساس آن بسياري ازرشته هاي علمي بنا مي شود شمار افرادي كه از فنون رياضي بهره مي گيرند بيشتر از كسانيست كه رسما" به عنوان رياضي دان شناخته ميشوند . به عنوان مثال , مهندسان , دانشمندان علوم رايانه , فيزك دانان و اقتصاد دانان از جمله كساني هستند كه به شكل وسيعي از علم رياضي بهره مي جويند. گروهي از افراد متخصص مانند آماردانان , آمارگيران , تحليل گران محقق در عمليات , در حقيقت در شاخه خاصي از رياضي متخصص مي باشند . بسيار پيش ميايد كه رياضي دانان كاربردي براي دستيابي به راه حلهايي در مسائل گوناگون با افراد ديگر شاغل در سازمان همكاري كنند . محيط كار رياضي دانان غالبا"در دفاتر راحت كار ميكنند .آنها اغلب جزئي از يك تيم متشكل از متخصصين علوم مختلف كه ممكن است شامل اقتصاددانان , مهندسان , دانشمندان علوم رايانه اي , فيزيك دانان , تكنسين ها و ديگر افراد باشد .تحويل به موقع پروژه ها , اضافه كاري , تقاضاهاي خاص براي اطلاعات يا تجزيه و تحليل و مسافرتهاي طولاني به منظور شركت در سمينارها يا كنفرانسها جزئي از شغل آنان محسوب مي شود . رياضي داناني كه در دانشگاهها مشغول به كارند معمولا"در زمينه تدريس و تحقيق مسئوليتهايي بر عهده دارند. اين افراد اغلب يا به تنهايي امور تحقيقاتي را اداره مي كنند و يا ازهمياري دانشجويان فارغ التحصيل و علاقه مند به موضوعات تحقيقي بهره مند مي شوند. فرصتهاي شغلي بيشترين فرصتهاي شغلي در سرويسهاي تحقيقي و آز مايشي , آموزشي , امنيتي , سيستمهاي تبادل كالا ، مديريتي و روابط عمومي وجود دارد . دربين مراكز توليدي ، صنايع هوا فضا و دارويي اصليترين استخدام كننده ها ميباشند . گروهي از رياضي دانان نيزدر بانكها و يا شركتهاي بيمه مشغول به كارند. آموزش و ادامه تحصيل بسياري از فرصتهاي شغلي كه در كارهاي پژوهشي براي رياضيدانان در نظر گرفته ميشود بصورت عضوي از يك تيم حرفه اي مي باشد . دانشمندان محقق در چنين مشاغلي يا در زمينه تحقيقات پايه و مباني نظري و يا در تحقيقات عملي براي ايجاد يا بهبود فرايند توليد مشغول به كار مي شوند . اكثر افرادي كه داراي مدرك ليسانس يا فوق ليسانس بوده و در صنايع خصوصي كار ميكنند , نه به عنوان رياضي دان بلكه بعنوان برنامه نويس رايانه , تحليل گر سيستم يا مهندس سيستم رايانه اي مشغول به كارند. دوره هاي رياضي مورد نياز اين مدرك شامل حساب ديفرانسيل , معادلات تفاضلي و جبر خطي و انتزاعي مي باشد . دوره هاي اضافي ميتواند نظريه هاي احتمالات و آمار , آناليز رياضي , آناليز عددي , توپولوژي , رياضيات گسسته و منطق رياضي را در برگيرد . بسياري از دانشگاه ها براي دانشجوياني كه در رشته رياضي تحقيق مي كنند , در زمينه رشته هاي مربوط به رياضي مانند علوم رايانه اي , مهندسي , فيزيك و اقتصاد دوره هايي بر گذار مي كنند . براي بسياري از كار فرمايان ,آگاهي همزمان در رياضي و علوم رايانه اي , اقتصاد يا ديگر علوم نوعي مزيت محسوب مي شود . يك محصل رياضي آينده نگر بايد تا جايي كه امكان دارد بسياري از دروس رياضي را در دبيرستان بياموزد . در مورد رياضيات كاربردي آموزش ديدن در زمينه هايي كه قرار است رياضي در آن به كار برده شود بسيار مهم است . رياضي به شكل وسيعي در علوم فيزيك ,آمار , مهندسي مورد استفاده قرار مي گيرد . علوم رايانه اي , تجاري , مديريت صنعتي , اقتصاد , امور مالي , شيمي , زمين شناسي , علوم روزمره و اجتماعي وابسته به رياضي كار بردي مي باشند . رياضي دانان بايد در زمينه برنامه نويسي رايانه اي از اطلاعات جامعي برخوردار باشند چرا كه اكثر محاسبات رياضي پيچيده و مدل سازي رياضي بوسيله رايانه انجام مي شود. رياضي دانان نياز به قدرت استدلال خوب و مداومت براي تشخيص ، آناليز و به كار بردن مباني رياضي در مسائل فني دارند . مهارتهاي ارتباطي مهم مي باشد چرا كه رياضي دانان بايستي در زمينه راه حلهاي مطرح شده با افرادي وارد بحث شوند كه احتمالا" اطلاع كافي ازعلم رياضي ندارند. چشم انداز كار انتظار مي رود كه در آينده از ميزان استخدام افراد به عنوان رياضي دان كاسته شود چرا كه مشاغل اندكي با نام علم رياضي وجود خواهد داشت . هر چند دارندگان مدرك PHD و فوق ليسانس با اطلاعات جامعي در زمينه رياضي و علوم مربوطه مانند مهندسي يا علوم رايانه اي احتمالا از فرصتهاي شغلي مطلوب تري برخوردار خواهند بود . با اين حال , بيشتر اين افراد به جاي عنوان رياضي دان از عنوان كاري بر خوردار مي شوند كه نمايانگر شغل آنان مي باشد . پيشرفت تكنولوژي معمولا باعث گسترش كاربرد علم رياضي مي شود و در آينده به افرادي كه در اين رشته مهارت يابند نياز پيدا خواهيم كرد . با اين وجود افرادي كه در امور صنعتي يا دولتي مشغول به كار مي شوند علاوه بر علم رياضي در علوم مربوطه نيز به دانش پيشرفته اي نياز خواهند داشت رياضي دانان براي يافتن شغل بايد با افرادي رقابت كنند كه در علوم مربوط به رشته رياضي تخصص دارند . موفق ترين جويندگان كاركساني هستند كه مي توانند مباني رياضي را در مسائل واقعي زندگي بكار برده و از مهارتهاي ارتباطي ,گروهي و رايانه اي مطلوبي بهره مند هستند . در صورت نياز سازمان آموزش و پرورش , اكثر دارندگان مدرك ليسانس مي توانند به عنوان دبير در مدارس مشغول بكار شوند. رقابت كاري در ميان دارندگان مدرك فوق ليسانس و در امور تحقيقي و نظري بسيار با لاست . از آنجايي كه اكثر مشاغل دانشگاهي در اختيار دارندگان مدرك PHDاست , لذا بسياري از فارغ التحصيلان رشته رياضي , بدنبال استخدام در مشاغل دولتي يا صنعتي مي باشند. ميزان در آمد در ايالات متحده در سال 2000, ميانگين درآمد سالانه رياضي دانان 68640 دلار بوده است.

همچنين اين عدد برابر است با مجموع ارقام خود باضافه جمع توانهاي سوم ارقامش.

تنها پنج عدد صحيح مثبت با چنين خاصيتي وجود دارند. آنها را پيدا كنيد.
جمع توانهاي دوم ۷ عدد اول برابر است با ۶۶۶.

جمع ۱۴۴ رقم ابتدايي عدد پي برابر ۶۶۶ است. نكته جالب اينجاست كه

۶۶۶ يكي از دو عدد صحيحي ميباشد كه برابر مجموع توانهاي سوم از ارقام توان دوم خويش باضافه مجموع ارقام توان سومش است. يعني:

دقيقا دو راه براي قرار دادن علامت "+" در رشته ۱۲۳۴۵۶۷۸۹ داريم تا ۶۶۶ حاصل شود در صورتيكه تنها يك راه براي رشته ۹۸۷۶۵۴۳۲۱ وجود دارد.

تابع (Phi(n در نظريه اعداد عبارت است از تعداد اعداد كوچكتر از n كه نسبت به n اولند. قابل توجه است كه:

قضيه اساسي حساب در نظريه اعداد به اين شكل بيان مي‌شود:

هر عدد طبيعي بزرگ‌تر از يك را مي‌توان به طور يكتا به صورت حاصلضربي از اعداد اول نوشت. به عنوان مثال:

172 * 3 * 23 = 6936

حال اگر ترتيب نوشتن عاملها را در نظر نگيريم اين تنها تجزيه از عدد ۶۹۳۶ به عوامل اول است كه مي‌توانيم بنويسيم.



اثبات
اثبات اين قضيه شامل دو قسمت است. ابتدا نشان مي‌دهيم هر عدد را مي‌توان به صورت حاصلضربي از اعداد اول نوشت و سپس ثابت مي‌كنيم اين تجزيه يكتاست.

برهان: فرض مي‌‌كنيم عدد صحيح مثبتي مانند x وجود دارد كه نمي‌توان آن را به حاصلضرب اعداد اول تجزيه كرد. مجموعهٔ A را به اين شكل تعريف مي‌‌كنيم:
«مجموعه n‌هاي عضو اعداد طبيعي به طوريكه 1
A مخالف تهي است زيرا x عضوي از A است. پس بنا به اصل خوش ترتيبي اعداد طبيعي A عضو ابتدا دارد.

فرض مي‌كنيم m ابتداي A باشد (يعني m عضوي از A است و در نتيجه قابل تجزيه به اعداد اول هم نيست). بنابراين m اول نيست پس عددي مركب است يعني:

m = d1 * d2;1 < d1 < m,1 < d2 < m

بديهي است كه d1 و d2 عضو A نيستند زيرا از m كوچك‌ترند لذا هر دو تجزيه‌پذيرند. بنابراين:

d1 = p1 * p2 * ... * pk

d2 = q1 * q2 * ... * qs

به طوري كه p‌ها و q‌ها اول هستند. در نتيجه:

m = p1 * p2 * ... * pk * q1 * q2 * ... * qs

مي‌بينيم كه m تجزيه‌پذير شده و اين با فرض ما در تناقض است.

كاشي‌هاي پيشنهادي-كاشي پروانه، پنج‌ضلعي، لوزي، شش ضلعي كشيده و يك ده‌ضلعي بزرگ- با خط‌هاي شكل‌هاي ديگري مانند ستاره و مثلث‌ خميده رنگ‌آميزي شده‌اند. هنگامي كه اين كاشي‌ها كنار هم جاي مي‌گيرند، خط‌هاي روي آن‌ها نيز به هم مي‌پيوندند و شكل‌هاي درهم‌قفل شده‌اي را مي‌سازند. لو در اين باره مي‌گويد: "اين كار روش ساده‌اي براي توليد تعداد زيادي از نگاره‌هاي پيچيده را فراهم مي‌كند، فقط با چسباندن اين كاشي‌ها(به مانند قطعه‌هاي جورچين) و توجه ‌داشتن به نقش روي آن‌ها."‌بلورهايي كه متقارن هستند اما به طور منظم تكرار نمي‌شوند.
لو و همكارانش دريافتند كه اين پنج شكل‌ از كاشي‌ها به راستي در نوشته‌‌هاي اسلامي سده‌ي پانزدهم ميلادي، كه تجربه‌هاي معماري در آن‌ها به ثبت رسيده است، پديدار شدند. آن‌ها پي بردندكه اين كاشي‌ها از سده‌ي دوازدهم ميلادي براي ساختن نگاره‌هاي منظم، تكرار شونده يا دوره‌اي به كار مي‌رفتند. اما از سده‌ي پازدهم ميلادي، هنرمندان شايد وادار شدند به شاهكارهاي هنري بسيار پيچيده‌تري روي بياورند و بنابراين به سطح جديدي از ظريف‌‌كاري دست يافتند.
به‌ويژه مسجد امام در اصفهان، كه در سال 1453 ميلادي ساخته شد، با نگاره‌هاي متقارني از پنج‌ضلعي‌ها و ستاره‌هاي ده‌ضلعي پوشيده شده است. اين پژوهشگران مي‌گويند اگر در همه‌ي جهت‌ها به طور نامحدود گسترش يابد، هرگز خودش را تكرار نمي‌كند و اين، ويژگي ‌ بنيادي شبه‌بلور(كويزاي‌كريستال) است. لو در اين باره مي‌گويد: " شما مي‌خواهيد كاشي‌كاري پيچيده‌اي داشته باشيد كه براي هر كسي كه از كنار آن مي‌گذرد، چشمگير و خيره‌كننده باشد. برداشت من اين است كه آن‌ها فقط مي‌خواستند چيزي را بسازند كه به راستي زيبا و دل‌نشين به نظر مي‌رسد."
پژوهشگران دريافتند كه اين نگاره هم‌پايه‌ي مشهورترين مثال از كواسي‌كريستال‌ است كه در دهه‌ي 1970 ميلادي رياضي‌دان و فيزيك‌دان پرآوزاه راجر پنروز(Roger Penrose) كشف كرد. همان دانشمندي كه نشان داد چگونه مي‌توان اين نگاره را با كنار هم گذاشتن دو نوع "كاشي پنروز" بر پايه‌ي قانون‌هاي معين ساخت.
لو مي‌گويد كه معماران اسلامي يكي از دو روشي را كه پنروز كشف كرد به كار مي‌بردند: آن‌ها كاشي‌ها را در نسخه‌هاي بزرگ‌تري از خودشان كنار هم مي‌چيدند. او مي‌گويد نگاره‌ي مسجد امام اصفهان چند خطاي اندك دارد كه شايد به هنگام ساخت يا ترميم رخ داده باشد، زيرا يك نقص در اين نگاره مي‌تواند به خطاي بزرگ تر و نمودار‌تري بينجامد.
جان اوكونر( John O'Conno) از دانشگاه سنت اندرو در اسكاتلند در اين باره مي‌گويد: " هنرمندان دوره‌ي اسلامي مي‌دانستند كه چگونه مي‌توانند اين چيزها را با هم جفت و جور كنند." او مي‌گويد كه پيشگاهي رياضي‌دانان مسلمان بين سده‌هاي نهم و سيزدهم ميلادي رخ داد. در سده‌ي پانزدهم ميلادي، نوزايي در اروپا در جريان بود كه تا اندازه‌اي الهام‌گرفته از وارد شدن مفاهيم رياضي از جهان اسلام از جمله مثلثات و نمادهاي جبري بود. او مي‌گويد: "اگر شبه‌بلورها اين همه مدت در آن‌جا جلو چشم بوده‌اند، خوش به حال آن‌هايي كه هر روز نگاهشان به آن‌ها مي‌افتاده است

در رياضيات، يك تابع رابطه‌اي است كه هر متغير دريافتي خود را به فقط يك خروجي نسبت مي‌دهد. علامت استاندارد خروجي يك تابع f به همراه ورودي آن، x مي‌باشد يعني‎ f(x)‏. به مجموعه ورودي‌هايي كه يك تابع مي‌تواند داشته باشد دامنه و به مجموعه خروجي‌هايي كه تابع مي‌دهد برد مي‌گويند. براي مثال عبارت f(x) = x2 نشان دهنده يك تابع است، كه در آن f مقدار x را دريافت مي‌كند و x2 را مي‌دهد. در اين صورت براي ورودي 3 مقدار 9 به دست مي‌آيد. براي مثال، براي يك مقدار تعريف شده در تابع f مي‌توانيم بنويسيم، f(4) = 16.
معمولاً در تمارين رياضي براي معرفي كردن يك تابع از كلمه f استفاده مي‌كنيم و در پاراگراف بعد تعريف تابع يعني f(x) = 2x+1 را مي‌نويسم و سپس f(4) = 9. وقتي كه نامي براي تابع نياز نباشد اغلب از عبارت y=x2 استفاده مي‌شود.
وقتي كه يك تابع را تعريف مي‌كنيم، مي‌توانيم خودمان نامي به آن بدهيم، براي مثال:
يكي از خواص تابع اين است كه براي هر مقدار بايد يك جواب وجود داشته باشد، براي مثال عبارت:
يك تابع نمي‌باشد، زيرا ممكن است براي يك مقدار دو جواب وجود داشته باشد. جذر عدد 9 برابر 3 است و در اين رابطه اعداد +3 و -3 به دست مي‌آيند. براي ساختن يك تابع ريشه دوم، بايد فقط يك جواب براي آن وجود داشته باشد، يعني:
كه براي هر متغير غيرمنفي يك جواب غيرمنفي وجود دارد.
در يك تابع لزومي ندارد كه حتماً بر روي عدد علمياتي انجام گيرد. يك مثال كه نشان مي‌دهد كه عملياتي بر روي عدد انجام نمي‌شود، تابعي است كه پايتخت يك كشور را معين مي‌كند. مثلاً Capital(France) = Paris.
حال كمي دقيق‌تر مي‌شويم اما هنوز از مثال‌هاي خودماني استفاده مي‌كنيم. A و B دو مجموعه هستند. يك تابع از A به B با به هم پيوستن مقادير منحصر به فرد درون A معين مي‌شود و مجموعه B به دست مي‌آيد. به مجموعه A دامنه تابع مي‌گويند؛ مجموعه B هم تمام مقاديري را كه تابع مي‌تواند داشته باشد شامل مي‌شود.
در بيشتر زمينه‌هاي رياضي، اصطلاحات تبديل و نگاشت معمولاً با تابع هم معني پنداشته مي‌شوند. در هر حال ممكن است كه در بعضي زمينه‌هاي خصوصيات ديگري داشته باشند. براي مثال در هندسه، يك نگاشت گاهي اوقات يك تابع پيوسته تعريف مي‌شود.
تعاريف رياضي يك تابع
يك تابع f يك رابطه دوتايي است، به طوري كه براي هر x يك و فقط يك y وجود داشته باشد تا x را به y رابطه دهد. مقدار تعريف شده و منحصر به فرد y با عبارت (f(x نشان داده مي‌شود.
به دليل اينكه دو تعريف براي رابطه دوتايي استفاده مي‌شود، ما هم از دوتعريف براي تابع استفاده مي‌كنيم.
تعريف اول
ساده تعريف رابطه دوتايي عبارتست از: «يك رابطه دوتايي يك زوج مرتب مي‌باشد». در اين تعريف اگر رابطه دوتايي دلالت بر «كوچكتر از» داشته باشد آن گاه شامل زوج مرتب‌هايي مانند (2, 5) است، چون 2 از 5 كوچكتر است.
يك تابع مجموعه‌اي از زوج مرتب‌ها است به طوري كه اگر (a,b) و (a,c) عضوي از اين مجموعه باشند آن گاه b با c برابر باشد. در اين صورن تابع مجذور شامل زوج (3, 9) است. رابطه جذر يك تابع نمي‌باشد زيرا اين رابطه شامل زوج‌هاي (9, 3) و (9, -3) است و در اين صورت 3 با -3 برابر نيست.
دامنه تابع مجموعه مقادير x يعني مختص‌هاي اول زوج‌هاي رابطه مورد نظر است. اگر x در دامنه تابع نباشد آن گاه (f(x هم تعريف نشده‌است.
برد تابع مجموعه مقادير y يعني مختص‌هاي دوم زوج‌هاي رابطه مورد نظر است.
تعريف دوم
بعضي از نويسندگان نياز به تعريفي دارند كه فقط از زوج‌هاي مرتب استفاده نكند بلكه از دامنه و برد در تعريف استفاده شود. اين گونه نويسندگان به جاي تعريف زوج مرتب از سه‌تايي مرتب (X,Y,G) استفاده مي‌كنند، كه در آن X و Y مجموعه هستند (كه به آنها دامنه و برد رابطه مي‌گوييم) و G هم زيرمجموعه‌اي از حاصل‌ضرب دكارتي X و Y است (كه به آن گراف رابطه مي‌گويند). در اين صورت تابع رابطه دوتايي است كه در آن مقادير X فقط يك بار در اولين مختص مقادير G اتفاق مي‌افتد. در اين تعريف تابع داراي برد منحصر به فرد است؛ اين خاصيت در تعريف نخست وجود نداشت.
شكل تعريف تابع بستگي به مبحث مورد نظر دارد، براي مثال تعريف يك تابع پوشا بدون مشخص كردن برد آن امكان‌ناپذير است.
پيشينه تابع
«تابع»، به عنوان تعريفي در رياضيات، توسط گاتفريد لايبنيز در سال 1694، با هدف توصيف يك كميت در رابطه با يك منحني به وجود آمد، مانند شيب يك نمودار در يك نقطه خاص. امروزه به توابعي كه توسط لايبنيز تعريف شدند، توابع مشتق‌پذير مي‌گوييم، اغلب افراد اين توابع در هنگام آموختن رياضي با اين گونه توابع برمي خورند. در اين گونه توابع افراد مي‌توانند در مورد حد و مشتق صحبت كنند. چنين توابعي پايه حسابان را مي‌سازند.
واژه تابع بعدها توسط لئونارد اويلر در قرن هجدهم، براي توصيف يك عبارت يا فرمول شامل متغيرهاي گوناگون مورد استفاده قرار گرفت، مانند f(x) = sin(x) + x3.
در طي قرن نوزدهم، رياضي‌دانان شروع به فرموله كردن تمام شاخه‌هاي رياضي كردند. ويرسترس بيشتر خواهان به وجود آمدن حسابان در علم حساب بود تا در هندسه، يعني بيشتر طرفدار تعريف اويلر بود.
در ابتدا، ايده تابع ترجيحاً محدود شد. براي ژوزف فوريه مدعي بود كه تمام توابع از سري فوريه پيروي مي‌كنند در حالي كه امروزه هيچ رياضي‌داني اين مطلب را قبول ندارد. با گسترش تعريف توابع، رياضي‌دانان توانستند به مطالعه «عجايب» در رياضي بپردازند از جمله اين كه يك تابع پيوسته در هيچ مكان گسستني نيست. اين توابع در ابتدا بيان نظريه‌هايي از روي كنجكاوي فرض مي‌شد و آنها از اين توابع براي خود يك «غول» ساخته بودند و اين امر تا قرن بيستم ادامه داشت.
تا انتهاي قرن نوزدهم رياضي‌دانان سعي كردند كه مباحث رياضي را با استفاده از نظريه مجموعه فرموله كنند و آنها در هر موضوع رياضي به دنبال تعريفي بودند كه از مجموعه استفاده كند. ديريكله و لوباچوسكي هر يك به طور مستقل و تصادفاً هم زمان تعريف «رسمي» از تابع دادند.
در اين تعريف، يك تابع حالت خاصي از يك رابطه است كه در آن براي هر مقدار اوليه يك مقدار ثانويه منحصر به فرد وجود دارد.
تعريف تابع در علم رايانه، به عنوان حالت خاصي از يك رابطه، به طور گسترده‌تر در منطق و علم تئوري رايانه مطالعه مي‌شود.

پايه لگاريتم طبيعي (~ 2.71828)، اولين بار توسط لئونارد اولر (Leonhard Euler 1707-83) يكي از باهوشترين رياضي دانان تاريخ رياضيات مورد استفاده قرار گرفت.

در يكي از دست خطهاي اولر كه ظاهرا" بين سالهاي 1727 و 1728 تهيه شده است با تيتر Meditation on experiments made recently on the firing of cannon اولر از عدي بنام e صحبت مي كند. هر چند او رسما" اين نماد را در سال 1736 در رساله اي بنام Euler`s Mechanica معرفي ميكند.

 در واقع بايد اعتراف كرد كه اولر كاشف يا مخترع عدد e نبوده است بلكه سالها قبل فردي بنام جان ناپير (John Napier 1550-1617) در اسكاتلند هنگامي كه روي لگاريتم بررسي مي كرده است بحث مربوط به پايه طبيعي لگاريتم را به ميان كشيده است. فراموش نكنيد كه شواهد نشان ميدهد حتي در قرن هشتم ميلادي هندي ها با محاسبات مربوط به لگاريتم آشنايي داشته اند.
در اينكه چرا عدد ~ 2.71828 بصورت e توسط اولر نمايش داده شده است صحبت هاي بسياري است. برخي e را اختصار exponential مي دانند، برخي آنرا ابتداي اسم اولر (Euler) مي دانند و برخي نيز ميگويند چون حروف a,b,c و d در رياضيات تا آن زمان به كررات استفاده شده بود، اولر از e براي نمايش اين عدد استفاده كرد. هر دليلي داشت به هر حال امروزه اغلب اين عدد را با نام Euler مي شناسند.

اولر هنگامي كه روي برخي مسائل مالي در زمينه بهره مركب در حال كار بود به عدد e علاقه پيدا كرد. در واقع او دريافت كه در مباحث بهره مركب، حد بهره به سمت عددي متناسب (يا مساوي در شرايط خاص) با عدد e ميل ميكند. بعنوان مثال اگر شما 1 ميليون تومان با نرخ بهره 100 درصد در سال بصورت مركب و مداوم سرمايه گذاري كنيد در پايان سال به رقمي حدود 2.71828 ميلون تومان خواهيد رسيد.

در واقع در رابطه بهره مركب داريم :

 
P = C (1 + r/n) nt

كه در آن P مقدار نهايي سرمايه و بهره است، C مقدار اوليه سرمايه گذاري شده،r نرخ بهره، n تعداد دفعاتي است كه در سال به سرمايه بهره تعلق مي گيرد و t تعداد سالهايي است كه سرمايه گذاري مي شود.

در اين رابطه اگر n به سمت بي نهايت ميل كند - حالت بهره مركب - فرمول را مي توان بصورت زير ساده كرد :

 
P = C e rt

اولر همچنين براي محاسبه عدد e سري زير را پيشنهاد داد :

 
e = 1+ 1/2 + 1/(2 x 3) + 1/(2 x 3 x 4) + 1/(2 x 3 x 4 x 5) + . . .

لازم است ذكر شود كه اولر علاقه زيادي به استفاده از نمادهاي رياضي داشت و رياضيات امروز علاوه بر عدد e در ارتباط با مواردي مانند i در بحث اعداد مختلط، f در بحث توابع و بسياري ديگر نمادها مديون بدعت هاي اولر است .

پنج اصل متعارفي ، يا مفهوم عمومي اقليدس

١_چيزهايي كه با يك چيز مساوي اند ، با يكديگر نيز مساوي اند

 ٢_اگر چيزهاي مساوي به چيزهاي مساوي اضافه شوند كلها مساوي اند

 ٣_اگر چيزهاي مساوي از چيزهاي مساوي كم شوند ، باقيمانده ها مساوي اند

 ۴_چيزهايي كه بر يكديگر منطبق شوند با يكديگر مساوي اند

 ۵_كل از جزء بزرگتر است

 و پنج اصل موضوع هندسي از اقليدس

1- از هر نقطه ميتوان خط مستقيمي به هر نقطۀ ديگر كشيد

2- هر خط مستقيم متناهي را مي توان روي همان خط به طور نامحدود امتداد داد

3- ميتوان دايره اي با هر نقطۀ دلخواه به عنوان مركز آن و با شعاعي مساوي هر پاره خط رسم شده از مركز آن ترسيم كرد

4-همۀ زواياي قائمه با هم مساوي اند

5- اگر خط مستقيمي دو خط مستقيم را قطع كند به طوري كه مجموع زاوياي داخلي يك طرف آن كمتر از دو قائمه باشد اين دو خط مستقيم اگر به طور نامحدود امتداد داده شوند ، در طرفي كه دو زاويه مجموعا از دو قائمه كمترند ، همديگر را قطع خواهند كرد

يكي از معمول ترين سئوالهائي كه مطرح مي شود اين است كه: چه كسي صفر را كشف كرد؟ البته براي جواب دادن به اين سئوال بدنبال اين نيستيم كه بگوئيم شخص خاصي صفر را ابداع و ديگران از آن زمان به بعد از آن استفاده مي كردند.

اولين نكته شايان ذكر در مورد عدد صفر اين است كه اين عدد دو كاربرد دارد كه هر دو بسيار مهم تلقي مي شود يكي از كاربردهاي عدد صفر اين است كه به عنوان نشانه اي براي جاي خالي در دستگاه اعداد (جدول ارزش مكاني اعداد) بكار مي رود. بنابراين در عددي مانند 2106 عدد صفر استفاده شده تا جايگاه اعداد در جدول مشخص شود كه بطور قطع اين عدد با عدد 216 كاملاً متفاوت است. دومين كاربرد صفر اين است كه خودش به عنوان عدد بكار مي رود كه ما به شكل عدد صفر از آن استفاده مي كنيم.

هيچكدام از اين كاربردها تاريخچه پيدايش واضحي ندارند. در دوره اوليه تاريخ كاربرد اعداد بيشتر بطور واقعي بوده تا عصر حاضر كه اعداد مفهوم انتزاعي دارند. بطور مثال مردم دوران باستان اعداد را براي شمارش تعداد اسبان، ... بكار مي برند و در اينگونه مسائل هيچگاه به مسئله اي برخورد نمي كردند كه جواب آن صفر يا اعداد منفي باشد.

بابليها تا مدتها در جدول ارزش مكاني هيچ نمادي را براي جاي خالي در جدول بكار نمي بردند. مي توان گفت از اولين نمادي كه آنها براي نشان دادن جاي خالي استفاده كردن گيومه (") بود. مثلاً عدد6"21 نمايش دهنده 2106 بود. البته بايد در نظر داشت كه از علائم ديگري نيز براي نشان دادن جاي خالي استفاده مي شد وليكن هيچگاه اين علائم به عنوان آخرين رقم آورده نمي شدندبلكه هميشه بين دو عدد قرار مي گيرند بطور مثال عدد "216 را با اين نحوه علامت گذاري نداريم. به اين ترتيب به اين مطلب پي مي بريم كه كاربرد اوليه عدد صفر براي نشان دادن جاي خالي اصلاً به عنوان يك عدد نبوده است.

البته يونانيان هم خود را از اولين كساني مي دانند كهدرجاي خالي ,صفر استفاده مي كردند اما يونانيان دستگاه اعداد (جدول ارزش مكاني اعداد) مثل بابليان نداشتند. اساساً دستاوردهاي يونانيان در زمينه رياضي بر مبناي هندسه بوده و به عبارت ديگر نيازي نبوده است كه رياضي دانان يوناني از اعداد نام ببرند زير آنها اعداد را بعنوان طول خط مورد استفاده قرار مي دادند.

البته بعضى ازرياضي دانان يوناني ثبت اطلاعات نجومي را بر عهده داشتند. در اين قسمت به اولين كاربرد علامتي اشاره مي كنيم كه امروزه آن را به اين دليل كه ستاره شناسان يوناني براي اولين بار علامت 0 را براي آن اتخاذ كردند، عدد صفر مي ناميم. تعداد معدودي از ستاره شناسان اين علامت را بكار بردند و قبل از اينكه سرانجام عدد صفر جاي خود را بدست آورد، ديگر مورد استفاده قرار نگرفت و سپس در رياضيات هند ظاهر شد.

هنديان كساني بودند كه پيشرفت چشمگيري در اعداد و جدول ارزش مكاني اعداد ايجاد كردند هنديان نيز از صفر براي نشان دادن جاي خالي در جدول استفاده مي كردند.

اكنون اولين حضور صفر را به عنوان يك عدد مورد بررسي قرار مي دهيم اولين نكته اي كه مي توان به آن اشاره كرد اين است كه صفر به هيچ وجه نشان دهنده يك عدد بطور معمول نمي باشد. از زمانهاي پيش اعداد به مجموعه اي از اشياء نسبت داده مي شدند و در حقيقت با گذشت زمان مفهوم صفر و اعداد منفي كه از ويژگيهاي مجموعه اشياء نتيجه نمي شدند، ممكن شد. هنگاميكه فردي تلاش مي كند تا صفر و اعداد منفي را بعنوان عدد در نظر بگيريد با اين مشكل مواجه مي شود كه اين عدد چگونه در عمليات محاسباتي جمع، تفريق، ضرب و تقسيم عمل مي كند. رياضي دانان هندي سعي بر آن داشتند تا به اين سئوالها پاسخ دهندو در اين زمينه نيز تا حدودى موفق بوده اند .

اين نكته نيز قابل ذكر است كه تمدن ماياها كه در آمريكاي مركزي زندگي مي كردند نيز از دستگاه اعداد استفاده مي كردند و براي نشان دادن جاي خالي صفر را بكار مي برند.

بعدها نظريات رياضي دانان هندي علاوه بر غرب، به رياضي دانان اسلامي و عربي نيز انتقال يافت. فيبوناچي، مهمترين رابط بين دستگاه اعداد هندي و عربي و رياضيات اروپا مي باشد.

عدد ۱۰به عنوان پايه اي قابل قبول براي شمردن استفاده مي شود .اما طايفه ي«گل»درفرانسه يباستان قبيله ي «مايا»در آمريكاي مركزي ومردم ديگر از عدد ۲۰ به عنوان پايه براي شمارش استفاده مي كردند.

سومري ها،بابلي ها و افراد بعد از آن ها از پايه ي ۶۰ استفاده مي كردند.به اين علت كه عدد ۶۰ مي تواند به۲ ،۳،،۲۰،۱۵،۱۲،۱۰،۶،۵،۴و۳۰تقسيم شود.عدد ۶۰  درتقسيم بندي ساعات به دقايق وثانيه ها ،نيز در تقسيم بندي دايره به ۳۶۰درجه باقي مانده است.

  آيا واقعاً ممكن است جوليوس سزار، امپراتور روم، عدد باشد؟ يعني آيا مي شود كه سزار محمول خواصي باشد كه اصالتاً از آن اعداد است (مثلاً زوج بودن، فرد بودن، اول بودن و غيره)؟ آيا ممكن است شيئي انضمامي مثل سزار يا هر شخص ديگري عدد باشد؟ آيا ممكن است سزار مكاني را در دنباله اعداد طبيعي يا حقيقي اشغال كند؟ آيا اصلاً اين پرسش ها معنايي دارند؟ يعني آيا ارزش صدقي (صدق يا كذب) دارند؟ يا بالكل بي معنا هستند؟ هر نظريه اي در فلسفه رياضي كه نتواند به اين پرسش ها پاسخ دهد با «مشكل جوليوس سزار» روبه رو است.

ريشه اين سوال هاي نسبتاً عجيب و غريب برمي گردد به گوتلوب فرگه. فرگه در شاهكارش، بنيادهاي حساب، سعي مي كند كه حساب را به منطق تحويل دهد، و كار خود را با واقعيت بسيار ملموسي در عمل شمارش شروع مي كند.

 
اصل هيوم (HP) عدد مفهوم F (يعني تعداد شيءهايي كه ذيل مفهوم F درمي آين آيا واقعاً ممكن است جوليوس سزار، امپراتور روم، عدد باشد؟ يعني آيا مي شود كه سزار محمول خواصي باشد كه اصالتاً از آن اعداد است (مثلاً زوج بودن، فرد بودن، اول بودن و غيره)؟ آيا ممكن است شيئي انضمامي مثل سزار يا هر شخص ديگري عدد باشد؟ آيا ممكن است سزار مكاني را در دنباله اعداد طبيعي يا حقيقي اشغال كند؟ آيا اصلاً اين پرسش ها معنايي دارند؟ يعني آيا ارزش صدقي (صدق يا كذب) دارند؟ يا بالكل بي معنا هستند؟ هر نظريه اي در فلسفه رياضي كه نتواند به اين پرسش ها پاسخ دهد با «مشكل جوليوس سزار» روبه رو است.

 ريشه اين سوال هاي نسبتاً عجيب و غريب برمي گردد به گوتلوب فرگه. فرگه در شاهكارش، بنيادهاي حساب، سعي مي كند كه حساب را به منطق تحويل دهد، و كار خود را با واقعيت بسيار ملموسي در عمل شمارش شروع مي كند؛

 اصل هيوم (HP) عدد مفهوم F (يعني تعداد شيءهايي كه ذيل مفهوم F درمي آيند) مساوي است با عدد مفهوم G اگر و تنها اگر تناظري يك به يك بين شيءهاي دو مفهوم F و G برقرار باشد.

 HP در واقع معياري براي اينهماني با تفاوت اعداد به دست مي دهد، ولي به هيچ وجه نشان نمي دهد كه اعداد خودشان چه اشيايي هستند. به عبارتي، HP چيزي در مورد تعيين ارزش صدق جمله اي به شكل «عدد مفهوم F = q» (كه q مي تواند هر ثابتي مثل «جوليوس سزار» باشد) به دست نمي دهد. به نظر فرگه، جملاتي مثل HP نمي توانند اينهماني اصيل و دقيق اعداد را نشان دهند. يعني اگر قرار است اينهماني دقيق را به دست دهيم، هم بايد ارزش صدق «عدد F = عدد G» را به دست دهيم و هم ارزش صدق «عدد F = q». و HP فقط ارزش صدق عبارات اول را تعيين مي كند. به اين دليل بود كه فرگه HP را رها كرد و اصل ديگري را به جاي آن نشاند و به پارادوكس راسل اصابت كرد!

 در اين چند سطر، خيلي تند و خلاصه، صرفاً به بعضي از مشكلات نهفته در دل اين مساله اشاره مي كنيم؛

 ما به كمك عقل سليم (common sense) مي دانيم كه سزار عدد نيست و حتي ممكن نيست عدد باشد، ولي اين قطعاً چيزي نيست كه HP به ما مي گويد. اگر بناست ضوابط كافي براي اينهماني اعداد را به دست دهيم، بايد فاعل شناسايي را كه اعداد را مورد شناسايي قرار مي دهد، قادر سازد كه اعداد را از همه انواع ديگر اشيا متمايز كند (discriminate). اما توسل به معيار توانايي تمايز گذاشتن در گرو حل مسائل ديگري دارد؛ كودك مي تواند از طريق تناظر يك به يك به اعداد ارجاع دهد بي آنكه توانايي كاملي براي تمايز گذاشتن ميان اعداد و اشخاص (آنطور كه فرگه داشت) داشته باشد. پس چه بسا HP توانايي اوليه براي ارجاع و معرفي اعداد را به دست دهد. ولي اين مساله به هيچ وجه قطعي نيست. چون به هر حال، هر توانايي اوليه اي براي ارجاع به اعداد و استفاده از آنها در انديشه (thought) و كلام (talk) مستلزم يك درك بنيادين از نوع يا جنس شيءهاي مورد ارجاع يا اشاره دارد. پس شايد به اين راحتي نتوان ادعا كرد كسي كه صرفاًً HP را آموخته مي تواند در مورد اعداد بينديشد يا راجع به آنها صحبت كند؛ چون HP نوع اشياي مورد بحث را مشخص نمي كند (نمي گويد سزار هستند يا مجموعه يا...) از طرفي، فرض كنيم به كودكي صرفاً HP آموخته شده، و كودك، مسلح به تنها همين سلاح، قضاياي بنيادين حساب را مي آموزد و ثابت مي كند و در امتحانات نمرات خوبي هم مي گيرد (چنين چيزي كاملاً ممكن است؛ نگاه كنيد به (Wright۱۹۸۳) و (Boolos۱۹۸۷). اگر او ندانست كه سزار عدد است يا نه ( كه نمي داند)، بايد نتيجه بگيريم كه نمرات او حقه بازي اند؟ يا به صدق قضاياي حساب معرفت ندارد؟ بنابراين، آن كودك توانايي هاي كافي اي براي قضاوت در مورد نسبت هاي عددي دارد ولي انگار فاقد نوعي معرفت متافيزيكي است. پس اجازه دهيد كه كمي راجع به بعد متافيزيكي مساله جوليوس سزار صحبت كنيم؛ در اينجا بايد بگوييم كه چرا محال است كه انواع كاملاً متفاوتي از شيء ها (اعداد و اشخاص) همپوشاني كنند.

 مي توانيم دلايلي بياوريم؛ اعداد انتزاعي اند و اشخاص انضمامي. يك راه اثبات اين خاصيت براي اعداد اين است كه بگوييم اعداد بي نهايت اند و اشخاص متناهي. ولي تنها نتيجه اي كه از اين حرف مي گيريم اين است كه همه اعداد نمي توانند انضمامي باشند، ولي چه بسا بعضي از اعداد انضمامي باشند. استدلال دوم براي اثبات «+» اين است كه بگوييم صدق هاي رياضي صدق هايي ضروري اند، و صدق هاي ضروري مستلزم موجودات ضروري اند. از آنجا كه اشخاص ً انضمامي، از جمله سزار، ممكن هستند، پس شيءهايي كه صدق هاي رياضيات بر آنها دلالت مي كنند ممكن نيست انضمامي باشند. اگر قرار است اين استدلال را به كرسي بنشانيم، بايد ابتدا اين ادعا را اثبات كنيم كه اشياي رياضي، به قول كريپكي، دلالتگر ثابت (rigid designator) اند. پس سوال اصلي «+» اين است كه چرا شيءهاي نوع K۱ نمي توانند خواص شيءهاي نوع K۲ را داشته باشند؟ و اين ما را بلافاصله به مساله سنتي متافيزيك، يعني جوهر(substance)، مي كشاند. و اصلاً معلوم نيست كه دست و پنجه نرم كردن با اين مساله غم انگيزتر از تلاش براي پاسخ به پرسش هاي اول مقاله نباشد.