رياضيات محض و كاربردي

رياضيات محض و كاربردي Mathematics ماهيت كار رياضي يكي از قديمي ترين و پايه اي ترين رشته هاي علوم است . رياضي دانان از نظريه هاي رياضي , روشهاي محاسبه , آلگوريتمها و آخرين دستاوردهاي رايانه اي براي حل مسائل اقتصادي , علمي , مهندسي , فيزيك و تجاري استفاده مي كنند.كار رياضي دانان به دو بخش گسترده تقسيم مي شود . رياضي محض و رياضي كار بردي . اين دو گروه كاملا از يكديگر قابل تمايز نبوده و اغلب بايكديگرهمپوشاني دارند. رياضي دانان محض(نظري) با گسترش مباني جديد و تشخيص روابط كشف نشده ميان قوانين موجود رياضي باعث گسترش دانش رياضي مي شوند . اگرچه آنان به دنبال گسترش دانش پايه بوده بي آنكه لزوما موارد كاربردي آنرا بررسي كنند ، چنين دانش مطلقي , نوعي راهبرد مفيد در ايجاد وپيشبرد بسياري از دستاوردهاي مهندسي و علمي بوده است. بسياري از رياضيدانان محض به عنوان استاد در دانشگاه ها استخدام شده و زمان كاري خود را بين تدريس و امور تحقيقي تقسيم مي كنند. از طرف ديگر، رياضي دانان كاربردي با بهره گيري از نظريات و روشهاي رياضي مانند روشهاي محاسبه و مدل سازي رياضي به فرمولبندي وحل مسائل عملي در امور تجاري , دولتي , مهندسي و درعلوم اجتماعي، فيزيك و امور مربوط به زندگي مي پردازند . به عنوان مثال , براي برنامه ريزي درخطوط هوايي ميان شهر ها , بررسي اثر وميزان ايمني داروهاي جديد , خصوصيات آيروديناميكي پيش مدل اتومبيل ها و مقرون به صرفه بودن روشهاي ديگر توليد به تجزيه و تحليل كار آمدترين راه مي پردازند. امكان دارد رياضي دانان كاربردي كه دست اندر كار تحقيق و گسترش صنعتي هستند با حل مسائل مشكل باعث ايجاد يا تقويت روشهاي رياضي شوند .گروهي از رياضي دانان به نام رمزياب به تجزيه و تحليل و كشف سيستمهاي رمزي مي پردازند كه به صورت كد بوده واز طريق آنها اطلاعات نظامي , سياسي , مالي يا اجرايي و قانوني رد و بدل مي شود. رياضي دانان كاربري با يك مساله كاربردي شروع كرده , اجزاي تفكيك شده عمليات مورد نظر را در فكر مجسم مي كنند و سپس اجزا را به متغير هاي رياضي تبديل مي كنند. رياضي دانان غالبا با نمونه سازي توسط راه حلهاي فرعي ، بوسيله رايانه به تجزيه و تحليل روابط ميان متغيرها و حل مسائل پيچيده مي پردازند. قسمت اعظم كار در رياضي كار بردي به وسيله افراد با عنواني غير از رياضي دان انجام مي شود . در حقيقت ، از آنجائيكه رياضي شالوده ايست كه بر اساس آن بسياري ازرشته هاي علمي بنا مي شود شمار افرادي كه از فنون رياضي بهره مي گيرند بيشتر از كسانيست كه رسما" به عنوان رياضي دان شناخته ميشوند . به عنوان مثال , مهندسان , دانشمندان علوم رايانه , فيزك دانان و اقتصاد دانان از جمله كساني هستند كه به شكل وسيعي از علم رياضي بهره مي جويند. گروهي از افراد متخصص مانند آماردانان , آمارگيران , تحليل گران محقق در عمليات , در حقيقت در شاخه خاصي از رياضي متخصص مي باشند . بسيار پيش ميايد كه رياضي دانان كاربردي براي دستيابي به راه حلهايي در مسائل گوناگون با افراد ديگر شاغل در سازمان همكاري كنند . محيط كار رياضي دانان غالبا"در دفاتر راحت كار ميكنند .آنها اغلب جزئي از يك تيم متشكل از متخصصين علوم مختلف كه ممكن است شامل اقتصاددانان , مهندسان , دانشمندان علوم رايانه اي , فيزيك دانان , تكنسين ها و ديگر افراد باشد .تحويل به موقع پروژه ها , اضافه كاري , تقاضاهاي خاص براي اطلاعات يا تجزيه و تحليل و مسافرتهاي طولاني به منظور شركت در سمينارها يا كنفرانسها جزئي از شغل آنان محسوب مي شود . رياضي داناني كه در دانشگاهها مشغول به كارند معمولا"در زمينه تدريس و تحقيق مسئوليتهايي بر عهده دارند. اين افراد اغلب يا به تنهايي امور تحقيقاتي را اداره مي كنند و يا ازهمياري دانشجويان فارغ التحصيل و علاقه مند به موضوعات تحقيقي بهره مند مي شوند. فرصتهاي شغلي بيشترين فرصتهاي شغلي در سرويسهاي تحقيقي و آز مايشي , آموزشي , امنيتي , سيستمهاي تبادل كالا ، مديريتي و روابط عمومي وجود دارد . دربين مراكز توليدي ، صنايع هوا فضا و دارويي اصليترين استخدام كننده ها ميباشند . گروهي از رياضي دانان نيزدر بانكها و يا شركتهاي بيمه مشغول به كارند. آموزش و ادامه تحصيل بسياري از فرصتهاي شغلي كه در كارهاي پژوهشي براي رياضيدانان در نظر گرفته ميشود بصورت عضوي از يك تيم حرفه اي مي باشد . دانشمندان محقق در چنين مشاغلي يا در زمينه تحقيقات پايه و مباني نظري و يا در تحقيقات عملي براي ايجاد يا بهبود فرايند توليد مشغول به كار مي شوند . اكثر افرادي كه داراي مدرك ليسانس يا فوق ليسانس بوده و در صنايع خصوصي كار ميكنند , نه به عنوان رياضي دان بلكه بعنوان برنامه نويس رايانه , تحليل گر سيستم يا مهندس سيستم رايانه اي مشغول به كارند. دوره هاي رياضي مورد نياز اين مدرك شامل حساب ديفرانسيل , معادلات تفاضلي و جبر خطي و انتزاعي مي باشد . دوره هاي اضافي ميتواند نظريه هاي احتمالات و آمار , آناليز رياضي , آناليز عددي , توپولوژي , رياضيات گسسته و منطق رياضي را در برگيرد . بسياري از دانشگاه ها براي دانشجوياني كه در رشته رياضي تحقيق مي كنند , در زمينه رشته هاي مربوط به رياضي مانند علوم رايانه اي , مهندسي , فيزيك و اقتصاد دوره هايي بر گذار مي كنند . براي بسياري از كار فرمايان ,آگاهي همزمان در رياضي و علوم رايانه اي , اقتصاد يا ديگر علوم نوعي مزيت محسوب مي شود . يك محصل رياضي آينده نگر بايد تا جايي كه امكان دارد بسياري از دروس رياضي را در دبيرستان بياموزد . در مورد رياضيات كاربردي آموزش ديدن در زمينه هايي كه قرار است رياضي در آن به كار برده شود بسيار مهم است . رياضي به شكل وسيعي در علوم فيزيك ,آمار , مهندسي مورد استفاده قرار مي گيرد . علوم رايانه اي , تجاري , مديريت صنعتي , اقتصاد , امور مالي , شيمي , زمين شناسي , علوم روزمره و اجتماعي وابسته به رياضي كار بردي مي باشند . رياضي دانان بايد در زمينه برنامه نويسي رايانه اي از اطلاعات جامعي برخوردار باشند چرا كه اكثر محاسبات رياضي پيچيده و مدل سازي رياضي بوسيله رايانه انجام مي شود. رياضي دانان نياز به قدرت استدلال خوب و مداومت براي تشخيص ، آناليز و به كار بردن مباني رياضي در مسائل فني دارند . مهارتهاي ارتباطي مهم مي باشد چرا كه رياضي دانان بايستي در زمينه راه حلهاي مطرح شده با افرادي وارد بحث شوند كه احتمالا" اطلاع كافي ازعلم رياضي ندارند. چشم انداز كار انتظار مي رود كه در آينده از ميزان استخدام افراد به عنوان رياضي دان كاسته شود چرا كه مشاغل اندكي با نام علم رياضي وجود خواهد داشت . هر چند دارندگان مدرك PHD و فوق ليسانس با اطلاعات جامعي در زمينه رياضي و علوم مربوطه مانند مهندسي يا علوم رايانه اي احتمالا از فرصتهاي شغلي مطلوب تري برخوردار خواهند بود . با اين حال , بيشتر اين افراد به جاي عنوان رياضي دان از عنوان كاري بر خوردار مي شوند كه نمايانگر شغل آنان مي باشد . پيشرفت تكنولوژي معمولا باعث گسترش كاربرد علم رياضي مي شود و در آينده به افرادي كه در اين رشته مهارت يابند نياز پيدا خواهيم كرد . با اين وجود افرادي كه در امور صنعتي يا دولتي مشغول به كار مي شوند علاوه بر علم رياضي در علوم مربوطه نيز به دانش پيشرفته اي نياز خواهند داشت رياضي دانان براي يافتن شغل بايد با افرادي رقابت كنند كه در علوم مربوط به رشته رياضي تخصص دارند . موفق ترين جويندگان كاركساني هستند كه مي توانند مباني رياضي را در مسائل واقعي زندگي بكار برده و از مهارتهاي ارتباطي ,گروهي و رايانه اي مطلوبي بهره مند هستند . در صورت نياز سازمان آموزش و پرورش , اكثر دارندگان مدرك ليسانس مي توانند به عنوان دبير در مدارس مشغول بكار شوند. رقابت كاري در ميان دارندگان مدرك فوق ليسانس و در امور تحقيقي و نظري بسيار با لاست . از آنجايي كه اكثر مشاغل دانشگاهي در اختيار دارندگان مدرك PHDاست , لذا بسياري از فارغ التحصيلان رشته رياضي , بدنبال استخدام در مشاغل دولتي يا صنعتي مي باشند. ميزان در آمد در ايالات متحده در سال 2000, ميانگين درآمد سالانه رياضي دانان 68640 دلار بوده است.

عدد 666

اگر شما به دقت فيلمهايي با مضامين شيطاني و مرگ و روح را مشاهده كرده باشيد مطمئنا به كارگيري عدد ۶۶۶ در اينگونه فيلمها شما را متعجب ميكند. اين موضوع ما را بر آن داشت تا اين پست را اختصاص دهيم به كاوش در اسرار ۶۶۶.
۶۶۶ را علامت ابليس ناميده اند و اين شهرت را از كتاب وحي(فصل ۱۳، شعر ۱۸، براي كامل بودن) به دست آورده است. مشخصات جالبش همواره مورد توجه رياضيدانان بوده است. اكنون به طور خلاصه چند ويژگي رياضياتي عدد ۶۶۶ را بيان ميكنيم.
عدد
۶۶۶ به سادگي از جمع و تفريق توانهاي ششم سه عدد آغازين به دست مي آيد.
۶۶۶=۱۶-۲۶+۳۶

همچنين اين عدد برابر است با مجموع ارقام خود باضافه جمع توانهاي سوم ارقامش.

۶۶۶=۶+۶+۶+۶۳+۶۳+۶۳

تنها پنج عدد صحيح مثبت با چنين خاصيتي وجود دارند. آنها را پيدا كنيد.
جمع توانهاي دوم
۷ عدد اول برابر است با ۶۶۶.

۶۶۶=۲۲+۳۲+۵۲+۷۲+۱۱۲+۱۳۲+۱۷۲

جمع ۱۴۴ رقم ابتدايي عدد پي برابر ۶۶۶ است. نكته جالب اينجاست كه

۱۴۴=(۶+۶)×(۶+۶)

۶۶۶ يكي از دو عدد صحيحي ميباشد كه برابر مجموع توانهاي سوم از ارقام توان دوم خويش باضافه مجموع ارقام توان سومش است. يعني:

۶۶۶۲=۴۴۳۵۵۶
۶۶۶۳=۲۹۵۴۰۸۲۹۶
۶۶۶=(۴۳+۴۳+۳۳+۵۳+۵۳+۶۳)+(۲+۹+۵+۴+۰+۸+۲+۹+۶)
۲۵۸۳ عدد ديگريست كه داراي اين خاصيت ميباشد.
مجموع
۶۶۶ عدد اول حاوي عدد ۶۶ ميباشد.
[b]۲+۳+۵+۷+۱۱+...+۴۹۶۹+۴۹۷۳=۱۵۳۳۱۵۷=۲۳×۶۶۶۵۹

دقيقا دو راه براي قرار دادن علامت "+" در رشته ۱۲۳۴۵۶۷۸۹ داريم تا ۶۶۶ حاصل شود در صورتيكه تنها يك راه براي رشته ۹۸۷۶۵۴۳۲۱ وجود دارد.

۶۶۶=۱+۲+۳+۴+۵۶۷+۸۹
=
۱۲۳+۴۵۶+۷۸+۹

۶۶۶=۹+۸۷+۶+۵۴۳+۲۱
۶۶۶ مقسوم عليه ۱۲۳۴۵۶۷۸۹+۹۸۷۶۵۴۳۲۱ ميباشد.
عدد اسميت عدد صحيحي است كه مجموع ارقامش برابر است با مجموع ارقام عوامل اول خودش.
۶۶۶ يك عدد اسميت است. زيرا:
[b]۶۶۶=۲×۳×۳×۳۷
۶+۶+۶=۲+۳+۳+۳+۷

تابع (Phi(n در نظريه اعداد عبارت است از تعداد اعداد كوچكتر از n كه نسبت به n اولند. قابل توجه است كه:

Phi(۶۶۶)=۶×۶×۶

رياضيات در سنگ نبشته ها

در تمام تمدنهاي دنيا , كتابت به صورت ناقص اغاز شد و در طول سير خود,بصورت يكنواخت و تدريجي تكامل پيدا كرد . اما اين امر در مورد ماياها صدق نمي كند, زيرا هنر كتابت انها از همان اغاز تمدنشان به حد كمال رسيده بود . در رياضيات نيز ماياها از وجود صفر باخبر بوده اند , انها صفر را بصورت يك صدف ريز بكار ميبردند . همچنين به سيستم اعشاري,لگاريتم و ديگر محاسبات رياضي اشنا بوده اند پرفسور " انر " در اين باره چنين نوشته است : موقعي كه تصويري در يك كتيبه مثلا 10 مرتبه يا بيشتر تكرار ميشود و يا تعداد پله هاي يك هرم تا انتهاي بصورت دقيق و حساب شده محاسبه ميگردد, اين نشانه يك محاسبه دقيق رياضي ميباشد . تمام هنر ماياها در رياضيات متمركز شده بود كه در نهايت به روي كتيبه هاي سنگي منتقل شده است . علم نجوم نيز در ماياها نسبت به بقيه اقوام ان سرزمين به مراتب پيشرفته تر بوده است, اگاهي انها به سيستم منظومه خورشيدي و صور فلكي تعجب برانگيز است . يك طاق با عظمت به يادبود كنگره ستاره شناسي كه در 2 ماه سپتامبر 503 ميلادي در "كوپان" ان سرزمين برپاگرديد,بنا شده است ( واقعا جاي تعجب دارد كه اين قوم اسرارانگيز اين همه علم و معرفت را از كجا اموخته اند.؟. كتيبه اي كه نشان از گرامي داشتن اين كنگره ستاره شناسي كه در ان بزرگترين عالمان و ستاره شناسان مايا در ان شركت كردند با تاريخ مختص مايا بر طاق يكي از بناها نقش بسته است.!! ) ساختمان رصدخانهي انها بطور شگفت انگيزي مشابه رصدخانه هاي امروزي ما ميباشد,منتهي بدون وجود دستگاه و الات مدرن ستاره شناسي امروز, و جاي تعجب اينجاست كه انها بدون داشتن اين قبيل تجهيزات چگونه توانسته اند اطلاعات دقيقي در مورد اجرام سماوي كسب نمايند.!! ايا براستي انها " اربابان كره زمين " بوده اند.؟ اجازه ديد يك نگاه كلي به شهرهاي مايا بيندازيم . شهرهاي انها با جلال و جبروت, تميز و مرتب بوده است . ميادين و چهارراه هاي انها وسيع و سطح خيابانها يا سنگفرش بوده و يا با ماده سفيد سيمان مانندي پوشيده شده بود . معابد انها مزين به تصاوير عظيم موجودات عجيب و باغچه ها و اب نماهاي زيبا در همه جا بچشم ميخورد. يك سيستم فاضلاب بهداشتي تما شهر را در بر گرفته . جاده هاي انها بخوبي جاده هاي اينكاها نبوده ولي اين چيزي از ارزش جاده هاي انها كم نمي كند . مثلا جادهء به طول 100 كيلومتر از كوبا به ياكزونا كه با سيمان پوشيده شده و طرفين ان نرده كشي شده بود و تماما از يك منطقه صعب العبور باتلاقي گذشته است . سئوال اين است كه " ماياها كه از چرخ استفاده نميكردند و هيچ گاري و يا وسيله چرخداري در شهر انها نبوده اين جاده ها را براي چه احداث كردند.؟" . ماياها انواع مختلف گياهان را پرورش داده و رنگ هاي متنوع گياهي توليد مي كرده اند – مثل ابي , بنفش,نيلي و رنگهاي ديگر . انها همچنين از لاستيك براي ساختن پاي افزار,توپ بازي و ضد اب نمودن لباسهايشان استفاده ميكردند ( البته منظور از لاستيك درختي ميباشد كه از ان ضمغي بدست مي ايد كه خاصيت لاستيك دارد و به همين نام انرا ميشناسند ) انها حتي از برگهاي فندوق وحشي و با استفاده از چسب و صمغ , كاغذ و كتاب درست ميكردند . با وجود اينها تفاوت تكنيك انها غير عادي نبود . اين خلاصه اي بود از تمدني كه "مايا "نام دارد و همچنان اسرار اميز باقي مانده . هنوز كسي نميداند كه انها اين همه علم را از كجا بدست اوردند . چرا مهاجرت ملي كردند . و اين تمدن عظيم چگونه از ميان رفت . اميدوارم توانسته باشم با معرفي اين قوم اسرار انگيز كمكي هر چند كوچك در جهت معرفي اين قوم پر معما كرده باشم . پايان


"رياضيات در سنگ نبشته ها "
در تمام تمدنهاي دنيا , كتابت به صورت ناقص اغاز شد و در طول سير خود,بصورت يكنواخت و تدريجي تكامل پيدا كرد . اما اين امر در مورد ماياها صدق نمي كند, زيرا هنر كتابت انها از همان اغاز تمدنشان به حد كمال رسيده بود . در رياضيات نيز ماياها از وجود صفر باخبر بوده اند , انها صفر را بصورت يك صدف ريز بكار ميبردند . همچنين به سيستم اعشاري,لگاريتم و ديگر محاسبات رياضي اشنا بوده اند پرفسور " انر " در اين باره چنين نوشته است : موقعي كه تصويري در يك كتيبه مثلا 10 مرتبه يا بيشتر تكرار ميشود و يا تعداد پله هاي يك هرم تا انتهاي بصورت دقيق و حساب شده محاسبه ميگردد, اين نشانه يك محاسبه دقيق رياضي ميباشد . تمام هنر ماياها در رياضيات متمركز شده بود كه در نهايت به روي كتيبه هاي سنگي منتقل شده است . علم نجوم نيز در ماياها نسبت به بقيه اقوام ان سرزمين به مراتب پيشرفته تر بوده است, اگاهي انها به سيستم منظومه خورشيدي و صور فلكي تعجب برانگيز است . يك طاق با عظمت به يادبود كنگره ستاره شناسي كه در 2 ماه سپتامبر 503 ميلادي در "كوپان" ان سرزمين برپاگرديد,بنا شده است ( واقعا جاي تعجب دارد كه اين قوم اسرارانگيز اين همه علم و معرفت را از كجا اموخته اند.؟. كتيبه اي كه نشان از گرامي داشتن اين كنگره ستاره شناسي كه در ان بزرگترين عالمان و ستاره شناسان مايا در ان شركت كردند با تاريخ مختص مايا بر طاق يكي از بناها نقش بسته است.!! ) ساختمان رصدخانهي انها بطور شگفت انگيزي مشابه رصدخانه هاي امروزي ما ميباشد,منتهي بدون وجود دستگاه و الات مدرن ستاره شناسي امروز, و جاي تعجب اينجاست كه انها بدون داشتن اين قبيل تجهيزات چگونه توانسته اند اطلاعات دقيقي در مورد اجرام سماوي كسب نمايند.!! ايا براستي انها " اربابان كره زمين " بوده اند.؟ اجازه ديد يك نگاه كلي به شهرهاي مايا بيندازيم . شهرهاي انها با جلال و جبروت, تميز و مرتب بوده است . ميادين و چهارراه هاي انها وسيع و سطح خيابانها يا سنگفرش بوده و يا با ماده سفيد سيمان مانندي پوشيده شده بود . معابد انها مزين به تصاوير عظيم موجودات عجيب و باغچه ها و اب نماهاي زيبا در همه جا بچشم ميخورد. يك سيستم فاضلاب بهداشتي تما شهر را در بر گرفته . جاده هاي انها بخوبي جاده هاي اينكاها نبوده ولي اين چيزي از ارزش جاده هاي انها كم نمي كند . مثلا جادهء به طول 100 كيلومتر از كوبا به ياكزونا كه با سيمان پوشيده شده و طرفين ان نرده كشي شده بود و تماما از يك منطقه صعب العبور باتلاقي گذشته است . سئوال اين است كه " ماياها كه از چرخ استفاده نميكردند و هيچ گاري و يا وسيله چرخداري در شهر انها نبوده اين جاده ها را براي چه احداث كردند.؟" . ماياها انواع مختلف گياهان را پرورش داده و رنگ هاي متنوع گياهي توليد مي كرده اند – مثل ابي , بنفش,نيلي و رنگهاي ديگر . انها همچنين از لاستيك براي ساختن پاي افزار,توپ بازي و ضد اب نمودن لباسهايشان استفاده ميكردند ( البته منظور از لاستيك درختي ميباشد كه از ان ضمغي بدست مي ايد كه خاصيت لاستيك دارد و به همين نام انرا ميشناسند ) انها حتي از برگهاي فندوق وحشي و با استفاده از چسب و صمغ , كاغذ و كتاب درست ميكردند . با وجود اينها تفاوت تكنيك انها غير عادي نبود . اين خلاصه اي بود از تمدني كه "مايا "نام دارد و همچنان اسرار اميز باقي مانده . هنوز كسي نميداند كه انها اين همه علم را از كجا بدست اوردند . چرا مهاجرت ملي كردند . و اين تمدن عظيم چگونه از ميان رفت

تابع عددي

در رياضيات، يك تابع رابطه‌اي است كه هر متغير دريافتي خود را به فقط يك خروجي نسبت مي‌دهد. علامت استاندارد خروجي يك تابع f به همراه ورودي آن، x مي‌باشد يعني‎ f(x)‏. به مجموعه ورودي‌هايي كه يك تابع مي‌تواند داشته باشد دامنه و به مجموعه خروجي‌هايي كه تابع مي‌دهد برد مي‌گويند. براي مثال عبارت f(x) = x2 نشان دهنده يك تابع است، كه در آن f مقدار x را دريافت مي‌كند و x2 را مي‌دهد. در اين صورت براي ورودي 3 مقدار 9 به دست مي‌آيد. براي مثال، براي يك مقدار تعريف شده در تابع f مي‌توانيم بنويسيم، f(4) = 16.
معمولاً در تمارين رياضي براي معرفي كردن يك تابع از كلمه f استفاده مي‌كنيم و در پاراگراف بعد تعريف تابع يعني f(x) = 2x+1 را مي‌نويسم و سپس f(4) = 9. وقتي كه نامي براي تابع نياز نباشد اغلب از عبارت y=x2 استفاده مي‌شود.
وقتي كه يك تابع را تعريف مي‌كنيم، مي‌توانيم خودمان نامي به آن بدهيم، براي مثال:
يكي از خواص تابع اين است كه براي هر مقدار بايد يك جواب وجود داشته باشد، براي مثال عبارت:
يك تابع نمي‌باشد، زيرا ممكن است براي يك مقدار دو جواب وجود داشته باشد. جذر عدد 9 برابر 3 است و در اين رابطه اعداد +3 و -3 به دست مي‌آيند. براي ساختن يك تابع ريشه دوم، بايد فقط يك جواب براي آن وجود داشته باشد، يعني:
كه براي هر متغير غيرمنفي يك جواب غيرمنفي وجود دارد.
در يك تابع لزومي ندارد كه حتماً بر روي عدد علمياتي انجام گيرد. يك مثال كه نشان مي‌دهد كه عملياتي بر روي عدد انجام نمي‌شود، تابعي است كه پايتخت يك كشور را معين مي‌كند. مثلاً Capital(France) = Paris.
حال كمي دقيق‌تر مي‌شويم اما هنوز از مثال‌هاي خودماني استفاده مي‌كنيم. A و B دو مجموعه هستند. يك تابع از A به B با به هم پيوستن مقادير منحصر به فرد درون A معين مي‌شود و مجموعه B به دست مي‌آيد. به مجموعه A دامنه تابع مي‌گويند؛ مجموعه B هم تمام مقاديري را كه تابع مي‌تواند داشته باشد شامل مي‌شود.
در بيشتر زمينه‌هاي رياضي، اصطلاحات تبديل و نگاشت معمولاً با تابع هم معني پنداشته مي‌شوند. در هر حال ممكن است كه در بعضي زمينه‌هاي خصوصيات ديگري داشته باشند. براي مثال در هندسه، يك نگاشت گاهي اوقات يك تابع پيوسته تعريف مي‌شود.
تعاريف رياضي يك تابع
يك تابع f يك رابطه دوتايي است، به طوري كه براي هر x يك و فقط يك y وجود داشته باشد تا x را به y رابطه دهد. مقدار تعريف شده و منحصر به فرد y با عبارت (f(x نشان داده مي‌شود.
به دليل اينكه دو تعريف براي رابطه دوتايي استفاده مي‌شود، ما هم از دوتعريف براي تابع استفاده مي‌كنيم.
تعريف اول
ساده تعريف رابطه دوتايي عبارتست از: «يك رابطه دوتايي يك زوج مرتب مي‌باشد». در اين تعريف اگر رابطه دوتايي دلالت بر «كوچكتر از» داشته باشد آن گاه شامل زوج مرتب‌هايي مانند (2, 5) است، چون 2 از 5 كوچكتر است.
يك تابع مجموعه‌اي از زوج مرتب‌ها است به طوري كه اگر (a,b) و (a,c) عضوي از اين مجموعه باشند آن گاه b با c برابر باشد. در اين صورن تابع مجذور شامل زوج (3, 9) است. رابطه جذر يك تابع نمي‌باشد زيرا اين رابطه شامل زوج‌هاي (9, 3) و (9, -3) است و در اين صورت 3 با -3 برابر نيست.
دامنه تابع مجموعه مقادير x يعني مختص‌هاي اول زوج‌هاي رابطه مورد نظر است. اگر x در دامنه تابع نباشد آن گاه (f(x هم تعريف نشده‌است.
برد تابع مجموعه مقادير y يعني مختص‌هاي دوم زوج‌هاي رابطه مورد نظر است.
تعريف دوم
بعضي از نويسندگان نياز به تعريفي دارند كه فقط از زوج‌هاي مرتب استفاده نكند بلكه از دامنه و برد در تعريف استفاده شود. اين گونه نويسندگان به جاي تعريف زوج مرتب از سه‌تايي مرتب (X,Y,G) استفاده مي‌كنند، كه در آن X و Y مجموعه هستند (كه به آنها دامنه و برد رابطه مي‌گوييم) و G هم زيرمجموعه‌اي از حاصل‌ضرب دكارتي X و Y است (كه به آن گراف رابطه مي‌گويند). در اين صورت تابع رابطه دوتايي است كه در آن مقادير X فقط يك بار در اولين مختص مقادير G اتفاق مي‌افتد. در اين تعريف تابع داراي برد منحصر به فرد است؛ اين خاصيت در تعريف نخست وجود نداشت.
شكل تعريف تابع بستگي به مبحث مورد نظر دارد، براي مثال تعريف يك تابع پوشا بدون مشخص كردن برد آن امكان‌ناپذير است.
پيشينه تابع
«تابع»، به عنوان تعريفي در رياضيات، توسط گاتفريد لايبنيز در سال 1694، با هدف توصيف يك كميت در رابطه با يك منحني به وجود آمد، مانند شيب يك نمودار در يك نقطه خاص. امروزه به توابعي كه توسط لايبنيز تعريف شدند، توابع مشتق‌پذير مي‌گوييم، اغلب افراد اين توابع در هنگام آموختن رياضي با اين گونه توابع برمي خورند. در اين گونه توابع افراد مي‌توانند در مورد حد و مشتق صحبت كنند. چنين توابعي پايه حسابان را مي‌سازند.
واژه تابع بعدها توسط لئونارد اويلر در قرن هجدهم، براي توصيف يك عبارت يا فرمول شامل متغيرهاي گوناگون مورد استفاده قرار گرفت، مانند f(x) = sin(x) + x3.
در طي قرن نوزدهم، رياضي‌دانان شروع به فرموله كردن تمام شاخه‌هاي رياضي كردند. ويرسترس بيشتر خواهان به وجود آمدن حسابان در علم حساب بود تا در هندسه، يعني بيشتر طرفدار تعريف اويلر بود.
در ابتدا، ايده تابع ترجيحاً محدود شد. براي ژوزف فوريه مدعي بود كه تمام توابع از سري فوريه پيروي مي‌كنند در حالي كه امروزه هيچ رياضي‌داني اين مطلب را قبول ندارد. با گسترش تعريف توابع، رياضي‌دانان توانستند به مطالعه «عجايب» در رياضي بپردازند از جمله اين كه يك تابع پيوسته در هيچ مكان گسستني نيست. اين توابع در ابتدا بيان نظريه‌هايي از روي كنجكاوي فرض مي‌شد و آنها از اين توابع براي خود يك «غول» ساخته بودند و اين امر تا قرن بيستم ادامه داشت.
تا انتهاي قرن نوزدهم رياضي‌دانان سعي كردند كه مباحث رياضي را با استفاده از نظريه مجموعه فرموله كنند و آنها در هر موضوع رياضي به دنبال تعريفي بودند كه از مجموعه استفاده كند. ديريكله و لوباچوسكي هر يك به طور مستقل و تصادفاً هم زمان تعريف «رسمي» از تابع دادند.
در اين تعريف، يك تابع حالت خاصي از يك رابطه است كه در آن براي هر مقدار اوليه يك مقدار ثانويه منحصر به فرد وجود دارد.
تعريف تابع در علم رايانه، به عنوان حالت خاصي از يك رابطه، به طور گسترده‌تر در منطق و علم تئوري رايانه مطالعه مي‌شود.

آشنايي با عدد e

پايه لگاريتم طبيعي (~ 2.71828)، اولين بار توسط لئونارد اولر (Leonhard Euler 1707-83) يكي از باهوشترين رياضي دانان تاريخ رياضيات مورد استفاده قرار گرفت.

در يكي از دست خطهاي اولر كه ظاهرا" بين سالهاي 1727 و 1728 تهيه شده است با تيتر Meditation on experiments made recently on the firing of cannon اولر از عدي بنام e صحبت مي كند. هر چند او رسما" اين نماد را در سال 1736 در رساله اي بنام Euler`s Mechanica معرفي ميكند.


 در واقع بايد اعتراف كرد كه اولر كاشف يا مخترع عدد e نبوده است بلكه سالها قبل فردي بنام جان ناپير (John Napier 1550-1617) در اسكاتلند هنگامي كه روي لگاريتم بررسي مي كرده است بحث مربوط به پايه طبيعي لگاريتم را به ميان كشيده است. فراموش نكنيد كه شواهد نشان ميدهد حتي در قرن هشتم ميلادي هندي ها با محاسبات مربوط به لگاريتم آشنايي داشته اند.
در اينكه چرا عدد ~ 2.71828 بصورت e توسط اولر نمايش داده شده است صحبت هاي بسياري است. برخي e را اختصار exponential مي دانند، برخي آنرا ابتداي اسم اولر (Euler) مي دانند و برخي نيز ميگويند چون حروف a,b,c و d در رياضيات تا آن زمان به كررات استفاده شده بود، اولر از e براي نمايش اين عدد استفاده كرد. هر دليلي داشت به هر حال امروزه اغلب اين عدد را با نام Euler مي شناسند.

اولر هنگامي كه روي برخي مسائل مالي در زمينه بهره مركب در حال كار بود به عدد e علاقه پيدا كرد. در واقع او دريافت كه در مباحث بهره مركب، حد بهره به سمت عددي متناسب (يا مساوي در شرايط خاص) با عدد e ميل ميكند. بعنوان مثال اگر شما 1 ميليون تومان با نرخ بهره 100 درصد در سال بصورت مركب و مداوم سرمايه گذاري كنيد در پايان سال به رقمي حدود 2.71828 ميلون تومان خواهيد رسيد.

در واقع در رابطه بهره مركب داريم :

 
P = C (1 + r/n) nt


كه در آن P مقدار نهايي سرمايه و بهره است، C مقدار اوليه سرمايه گذاري شده،r نرخ بهره، n تعداد دفعاتي است كه در سال به سرمايه بهره تعلق مي گيرد و t تعداد سالهايي است كه سرمايه گذاري مي شود.

در اين رابطه اگر n به سمت بي نهايت ميل كند - حالت بهره مركب - فرمول را مي توان بصورت زير ساده كرد :

 
P = C e rt


اولر همچنين براي محاسبه عدد e سري زير را پيشنهاد داد :

 
e = 1+ 1/2 + 1/(2 x 3) + 1/(2 x 3 x 4) + 1/(2 x 3 x 4 x 5) + . . .


لازم است ذكر شود كه اولر علاقه زيادي به استفاده از نمادهاي رياضي داشت و رياضيات امروز علاوه بر عدد e در ارتباط با مواردي مانند i در بحث اعداد مختلط، f در بحث توابع و بسياري ديگر نمادها مديون بدعت هاي اولر است .

اصول اقليدس

پنج اصل متعارفي ، يا مفهوم عمومي اقليدس

١_چيزهايي كه با يك چيز مساوي اند ، با يكديگر نيز مساوي اند

 ٢_اگر چيزهاي مساوي به چيزهاي مساوي اضافه شوند كلها مساوي اند

 ٣_اگر چيزهاي مساوي از چيزهاي مساوي كم شوند ، باقيمانده ها مساوي اند

 ۴_چيزهايي كه بر يكديگر منطبق شوند با يكديگر مساوي اند

 ۵_كل از جزء بزرگتر است

 و پنج اصل موضوع هندسي از اقليدس

1- از هر نقطه ميتوان خط مستقيمي به هر نقطۀ ديگر كشيد

2- هر خط مستقيم متناهي را مي توان روي همان خط به طور نامحدود امتداد داد

3- ميتوان دايره اي با هر نقطۀ دلخواه به عنوان مركز آن و با شعاعي مساوي هر پاره خط رسم شده از مركز آن ترسيم كرد

4-همۀ زواياي قائمه با هم مساوي اند

5- اگر خط مستقيمي دو خط مستقيم را قطع كند به طوري كه مجموع زاوياي داخلي يك طرف آن كمتر از دو قائمه باشد اين دو خط مستقيم اگر به طور نامحدود امتداد داده شوند ، در طرفي كه دو زاويه مجموعا از دو قائمه كمترند ، همديگر را قطع خواهند كرد

تاريخچه عدد صفر

يكي از معمول ترين سئوالهائي كه مطرح مي شود اين است كه: چه كسي صفر را كشف كرد؟ البته براي جواب دادن به اين سئوال بدنبال اين نيستيم كه بگوئيم شخص خاصي صفر را ابداع و ديگران از آن زمان به بعد از آن استفاده مي كردند.

اولين نكته شايان ذكر در مورد عدد صفر اين است كه اين عدد دو كاربرد دارد كه هر دو بسيار مهم تلقي مي شود يكي از كاربردهاي عدد صفر اين است كه به عنوان نشانه اي براي جاي خالي در دستگاه اعداد (جدول ارزش مكاني اعداد) بكار مي رود. بنابراين در عددي مانند 2106 عدد صفر استفاده شده تا جايگاه اعداد در جدول مشخص شود كه بطور قطع اين عدد با عدد 216 كاملاً متفاوت است. دومين كاربرد صفر اين است كه خودش به عنوان عدد بكار مي رود كه ما به شكل عدد صفر از آن استفاده مي كنيم.

هيچكدام از اين كاربردها تاريخچه پيدايش واضحي ندارند. در دوره اوليه تاريخ كاربرد اعداد بيشتر بطور واقعي بوده تا عصر حاضر كه اعداد مفهوم انتزاعي دارند. بطور مثال مردم دوران باستان اعداد را براي شمارش تعداد اسبان، ... بكار مي برند و در اينگونه مسائل هيچگاه به مسئله اي برخورد نمي كردند كه جواب آن صفر يا اعداد منفي باشد.

بابليها تا مدتها در جدول ارزش مكاني هيچ نمادي را براي جاي خالي در جدول بكار نمي بردند. مي توان گفت از اولين نمادي كه آنها براي نشان دادن جاي خالي استفاده كردن گيومه (") بود. مثلاً عدد6"21 نمايش دهنده 2106 بود. البته بايد در نظر داشت كه از علائم ديگري نيز براي نشان دادن جاي خالي استفاده مي شد وليكن هيچگاه اين علائم به عنوان آخرين رقم آورده نمي شدندبلكه هميشه بين دو عدد قرار مي گيرند بطور مثال عدد "216 را با اين نحوه علامت گذاري نداريم. به اين ترتيب به اين مطلب پي مي بريم كه كاربرد اوليه عدد صفر براي نشان دادن جاي خالي اصلاً به عنوان يك عدد نبوده است.

البته يونانيان هم خود را از اولين كساني مي دانند كهدرجاي خالي ,صفر استفاده مي كردند اما يونانيان دستگاه اعداد (جدول ارزش مكاني اعداد) مثل بابليان نداشتند. اساساً دستاوردهاي يونانيان در زمينه رياضي بر مبناي هندسه بوده و به عبارت ديگر نيازي نبوده است كه رياضي دانان يوناني از اعداد نام ببرند زير آنها اعداد را بعنوان طول خط مورد استفاده قرار مي دادند.

البته بعضى ازرياضي دانان يوناني ثبت اطلاعات نجومي را بر عهده داشتند. در اين قسمت به اولين كاربرد علامتي اشاره مي كنيم كه امروزه آن را به اين دليل كه ستاره شناسان يوناني براي اولين بار علامت 0 را براي آن اتخاذ كردند، عدد صفر مي ناميم. تعداد معدودي از ستاره شناسان اين علامت را بكار بردند و قبل از اينكه سرانجام عدد صفر جاي خود را بدست آورد، ديگر مورد استفاده قرار نگرفت و سپس در رياضيات هند ظاهر شد.

هنديان كساني بودند كه پيشرفت چشمگيري در اعداد و جدول ارزش مكاني اعداد ايجاد كردند هنديان نيز از صفر براي نشان دادن جاي خالي در جدول استفاده مي كردند.

اكنون اولين حضور صفر را به عنوان يك عدد مورد بررسي قرار مي دهيم اولين نكته اي كه مي توان به آن اشاره كرد اين است كه صفر به هيچ وجه نشان دهنده يك عدد بطور معمول نمي باشد. از زمانهاي پيش اعداد به مجموعه اي از اشياء نسبت داده مي شدند و در حقيقت با گذشت زمان مفهوم صفر و اعداد منفي كه از ويژگيهاي مجموعه اشياء نتيجه نمي شدند، ممكن شد. هنگاميكه فردي تلاش مي كند تا صفر و اعداد منفي را بعنوان عدد در نظر بگيريد با اين مشكل مواجه مي شود كه اين عدد چگونه در عمليات محاسباتي جمع، تفريق، ضرب و تقسيم عمل مي كند. رياضي دانان هندي سعي بر آن داشتند تا به اين سئوالها پاسخ دهندو در اين زمينه نيز تا حدودى موفق بوده اند .

اين نكته نيز قابل ذكر است كه تمدن ماياها كه در آمريكاي مركزي زندگي مي كردند نيز از دستگاه اعداد استفاده مي كردند و براي نشان دادن جاي خالي صفر را بكار مي برند.

بعدها نظريات رياضي دانان هندي علاوه بر غرب، به رياضي دانان اسلامي و عربي نيز انتقال يافت. فيبوناچي، مهمترين رابط بين دستگاه اعداد هندي و عربي و رياضيات اروپا مي باشد.

اعداد

يك عدد يك ماهيت مجرد است كه براي توصيف كميت استفاده مي شود. انواع مختلفي از اعداد وجود دارد. مشهورترين اعداد، اعداد طبيعي {... ،3 ،2 ،1} هستند كه براي شمارش بكار رفته و با N، و اگر عدد صفر را نيز در بر داشته باشد اعداد حسابي {... ،3 ،2 ،1 ،0} و با I مشخص مي شوند. اگر تمام اعداد منفي را شامل شود، اعداد صحيح Z بدست مي آيد. نسبت اعداد صحيح اعداد گويا يا كسر نام دارند؛ دسته كامل تمام اعداد گويا با Q نشان داده مي شود. اگر تمام عبارتهايي كه اعشار آنها غير تكراري و نامحدود است را نيز شامل كنيم، اعداد حقيقي R بدست مي آيند. اعداد حقيقي كه گويا نيستند اعداد گنگ ناميده مي شوند. اعداد حقيقي بنوبه خود به اعداد مختلط C تعميم مي يابند تا بتوان معادلات جبري را حل نمود. علامتهاي فوق اغلب با حروف "ضخيم تاكيد" نوشته مي شوند، بنابراين:

:N Z Q R C 

اعداد مختلط بنوبه خود به quaternion تعميم مي يابند، ولي ضرب quaternion ها خاصيت جابجايي ندارد. Octonion ها از تعميم quaternion ها بدست مي آيند، ولي اين بار خاصيت شركت پذيري را از دست ميرود. در حقيقت، تنها شركت پذيران ابعاد محدود جبر تقسيم اعداد حقيقي، مختلط و quaternion هستند.

اعداد بايد از رقوم كه علامتهايي براي نمايش اعداد هستند، متمايز شوند. علامت گذاري اعداد بصورت سريهايي از ارقام در سيستمهاي رقومي بحث شده است.

مردم دوست دارند تا اعداد را بجاي اسامي يكتا به اشياء بدهند. طرحهاي رقومي
متنوعي براي اينكار وجود دارند.

چگونه رياضي بخوانيم؟

 چرا در رياضيات نمرات بهتر ي نمي گيريد ؟ آيا احساس مي كنيد كه شما هر آنچه كه در توان داريد انجام ميدهيد ولي با وجود اين هنوز نتايج خوبي نمي گيريد؟ يا اينكه تنبلي مي كنيد؟ اگر شما دانشجوي تنبلي هستيد و نمي خواهيد به اندازه ي كافي تلاش كنيد، اين نوشته براي شما در نظر گرفته نشده است. اما اگر شما تلاش كرده ايد ولي نمراتتان هنوز توانايي شما را نشان نمي دهند، يا اينكه نمرات خوبي مي گيريد اما هنوز احساس مي كنيد كه رياضيات را خوب نمي فهميد، به احتمال زياد نمي دانيد كه چگونه مطالعه ي موثري داشته باشيد. اين نوشته سعي و اميد دارد بتواند در مطالعه موثر رياضي مفيد فايده باشد.‎‎‎

برخي از شما ، ممكن است احساس كنيد كه روش هاي مطالعه ي موثر و موفق شما با روشهايي كه در اينجا شرح داده شده اند متفاوت است. در آن صورت ، نبايداحساس كنيد كه لازم است روش خود را تغييردهيد، اگر چه ممكن است با مقايسه روش خود و آنچه كه در اينجا گفته مي شود به نتايج بهتري برسيد.‎‎‎

‎‎‎از سوي ديگر ، برخي از شما ممكن است احساس كنيد كه پيشنهاداتي كه خواهند شد بيش از حد جاه طلبانه هستند، يعني زمان و تلاشي بيش از آنچه كه شما در نظر داريد لازم دارند. ممكن است حق با شما باشد. ما نمي توانيم انتظار داشته باشيم كه همه چيز را به بهترين وجه ممكن انجام دهيم، اما مي توانيم تا حد ممكن در اين راه تلاش كنيم. از پيشنهادات ارائه شده، مي توانيد آنهايي را كه ممكن است بيشترين كمك را داشته باشند انتخاب كرده و با بهبود و پيشرفت‎‎‎ كارتان روشهاي ديگر پيشنهاد شده را آزمايش كنيد. ‎‎اگر خواستيد اين پيشنهادات بلند پروازانه را مسخره كنيد، اما بعد از آن برخي را امتحان كنيد، يك تلاش منصفانه، و نتايج را ببينيد.‎‎‎

تكاليف

‎‎‎

‎‎‎

‎‎‎

اشتباه رايجي كه عمدتا در مورد تكاليف درسي وجود دارد اين است كه اهميت آنها در اين است كه بايد به مدرس تحويل داده شوند. در واقع، تكاليف درسي اولين و مهمترين ابزار يادگيري ايده ها و فرآيندهاي اساسي در رياضيات است. تكاليف درسي كمك مي كنند تا دانشجو دقت خود را افزايش دهد. آنچه كه به مدرس تحويل داده مي شود تنها بايد محصول فرايند يادگيري باشد.‎‎‎ چهار گامي كه دز زير پيشنهاد مي شود براي موثر تر كردن مطالعه در خانه مي باشند:‎‎‎

‎‎‎‎‎

1. آگاهانه مطالعه كنيد. چند دقيقه به عقب برگرديد و به يادداشتهاي خود نگاه كنيد. به كتاب مراجعه كنيد تا بطور واضح بدانيد كه روي چه ايده هايي كار مي كنيد.‎‎‎

‎‎‎

2. ايده ها را بررسي كنيد. به‎‎‎ ايده ها و قوانيني كه در كلاس درس مطرح شده اند فكر كنيد. فراموش نكنيد كه با عبارات و مفاهيم جديد رياضي بيشتر آشنا شويد. سعي كنيد هشدار هايي كه مدرس، در مورد خطاهائي محتمل، متذكر شده اند را به خود ياد آوري كنيد. مثالهاي داده شده را بطور كامل بررسي كنيد تا مطمئن شويد كه مفاهيم نشان داده شده در مثالها را كاملا فهميده ايد.

‎‎‎

‎‎‎

3. تكاليف را انجام دهيد. در باره ايده هائي كه تمرينات نشان ميدهند فكر كنيد.‎‎‎ با حل مسائل، فهم و دانش رياضي خود را به تدريج افزايش خواهيد داد. موارد زير در اين زمينه مفيد هستند:‎‎‎

3.1‎‎‎‎. تكاليف را به دقت يادداشت كنيد.‎‎‎ در دفتر خود بخش به خصوصي را براي نوشتن درس و تمرينهاي آن در نظر بگيريد. اگر تكليفي را بايد انجام دهيد متوجه نشده ايد، حتما بپرسيد.

3.2. از دستورالعمل ها پيروي كنيد.‎‎‎

3.3. با دقت و شفافيت كار كنيد.‎‎‎

3.4. نتيجه ي كار خود را بطور كامل به مدرس نشان دهيد، نه فقط جوابهاي آخر را. اين كار به شما و معلمتان در بررسي اشكالات كمك مي كند.‎‎‎

3.5. هميشه جوابها را از نظر خطاهاي ساده ي محاسبه اي بررسي مجدد كنيد.‎‎‎

3.6‎‎. بلافاصله بعد از كلاس، قبل از فراموش كردن درس، به خواندن درس بپردازيد.‎‎‎

3.7. اگر مشكلي پيش آمد و نتوانستيد مسئله اي را حل كنيد، تسليم نشويد. به ايده هاي مرتبط با مسئله، در جزوه ي درسي و كتاب، رجوع كنيد. اگر آنچه كه در مورد يك مسئله انجام داده ايد گيج كننده است، در اغلب مواقع ، از اول شروع به بررسي كردن مسئله مفيد خواهد بود. اگر هنوز مسئله برايتان واضح نيست، هر چه زودتر از معلم خود بپرسيد.‎‎‎

4. اگر مي توانيد به ديگران كمك كنيد. معمولا تلاش براي ياد دادن يك مطلب بهترين راه براي ياد گيري آن است! گاهي اوقات، درخواست كردن از يك همكلاسي براي كمك به حل يك مسئله مفيد است. آنها معمولا مي توانند به خوبي (اگر نه بهتر از ) معلم مفاهيم را توضيح دهند.

(ادامه دارد)

كار كلاسي: وقت خود را در كلاس درس چگونه بگذارنيد.

1. آماده باشيد. چند دقيق قبل از شروع كلاس، در مورد اينكه اخيرا روي چه چيزي كار كرده ايد فكر كنيد.
2. تمام چيزهاي را كه لازم است، كتاب، مداد يا خودكار، دفتر تكاليف و ... به همراه داشته باشيد.
3. تكاليفي را كه برايتان تعيين مي شود بلافاصله و با دقت يادداشت كنيد
4. تمركز كنيد. اگر شما جزوه كساني هستيد كه ذهنشان تمايل به انحراف به مسائل غير مرتبط دارد، تلاش  زيادي بايد بكنيد تا بتوانيد مهارت، تمركز كردن روي موضوع خاصي، را بدست آوريد.
5. هر وقت كه مطلبي را متوجه نمي شويد آنرا بپرسيد.
6. به سوالاتي كه بقيه مي پرسند و به پاسخهاي آنها گوش كنيد. وقتي يكي از همكلاسيهايتان سوالي مي پرسد، سعي كنيد در ذهن خود به آن جواب دهيد.
7. در بحثهاي كلاسي شركت كنيد. 8. در زمان نامناسب ننويسيد. وقتي يادداشت بر مي داريد، مطمئن شويد كه حين نوشتن مطلبي را كه توضيح داده مي شود، از دست نمي دهيد.در يادداشت برداري بايد به دو چيز تقريبا متضاد دقت كنيد. يكي اينكه يادداشتهاي شما به اندازه ي كافي كامل و دقيق باشند كه  براي مراجعه ي بعدي مفيد واقع شوند. دوم اينكه يادداشت برداري شما بايد به اندازه ي كافي خلاصه باشد تا بتوانيد به آنچه كه سر كلاس گفته مي شود گوش كنيد.

چگونه از كتاب درسي استفاده كنيد.

1. از نمايه (index) و واژه نامه ي كتاب كه معمولا در صفحات آخر كتاب است استفاده كنيد، بخصوص موقعي كه معني كلمه اي را نمي دانيد.
2. وقتي كتاب مثالي را براي توضيح ايده اي مي آورد، آنرا بطور كامل و با دقت بررسي كنيد تا ايده ي آنرا بفهميد. سعي نكنيد بدون فهميدن ايده ي مثال، تمرينها را، مانند روش مثال، حل كنيد.
3. اگر مسئله اي را نمي توانيد حل كنيد موضوعات مرتبط را، از روي كتاب و يا يادداشتهاي كلاسي، مجددا بخوانيد.
4. توجه داشته باشيد، بيشتر مطالبي كه مطالعه مي كنيد در آخر هر فصل مفيد واقع مي شوند. 
چگونه براي امتحان درس را مرور كنيد
5. چند هفته زودتر از زمان امتحان مرور درس را شروع كنيد تا با عجله كار نكنيد و بتوانيد شب قبل از امتحان به موقع بخوابيد.
6. مطمئن باشيد كه يادداشتهايتان و مثالهايش را بطور كامل مرور كرده ايد. اگر آنها را خوب نمي فهميد، به اندازه ي كافي يادداشت بر نداشته ايد! 
7. اگر برخي از فرمولها را بايد حفظ كنيد، ليستي از آنها تهيه كنيد. با نوشتن يا تكرار سعي كنيد آنها را بخاطر بسپاريد.
8. از مطالب مروري كه در آخر كتاب آورده شده است استفاده كنيد. اگر در فهم آنها مشكل داريد، به مطالب بخش مراجعه كنيد و روي بعضي از مسائل دوباره  كار كنيد.
9. اگر شما مدرس درستان بوديد، جه سوالاتي را براي آزمون در نظر مي گرفتيد؟ خود را براي آن سوالات آماده كنيد.
10. از آنجائي كه گفته مي شود "كار بيشتر نتيجه ي بهتر"، يكي از روشهاي مطالعه براي آزمون انجام تمريناتي است كه قبلا بعنوان تكاليف در نظر گرفته شده بودند. به آنها مراجعه كنيد تا مطمئن شويد ايده و فرايندي كه در هر فصل  استفاده مي شود را خوب فهميده ايد.
11. شب قبل از امتحان يك استراحت خوب شبانه داشته باشيد!
12. نگران نباشيد!!

چطور امتحان بدهيد

1. موقع امتحان نگرش درستي داشته باشيد- سعي كنيد تا آنجا كه مي توانيد به بهترين صورت به سوالها جواب دهيد. سعي نكنيد صرفا براي نمره قبولي گرفتن، حداقل كار را انجام دهيد. به توانائيهاي خود ايمان داشته باشيد.
2. جدي باشيد و به درست جواب دادن به اندازه ي كافي اهميت دهيد، اما آنقدر هم نگران نباشيد كه اهميت دادن به استرس داشتن تبديل شود. "ترس و استرس در امتحان" به تنهائي مي تواند يك دانشجو را، صرفنظر از تواناي و دانش وي، به شخصي ضعيف تبديل كند.
3. تمام وسايل لازم را به همراه داشته باشيد.
4. به توصيه ها عمل كنيد. به دقت سوالها را بخوانيد و به توصيه هاي مانند، محل نوشتن جوابها كجا بايد نوشته شوند، تغيير و يا تصحيح يك سوال و ... به دقت گوش كنيد.
5. در شروع امتحان يك نگاه اجمالي به تمامي سوالها بكنيد و در صورتيكه ترتيب جواب دهي به سوالات مهم نباشد، ابتدا به سوالاتي كه بلد هستيد پاسخ دهيد.
6. اگر پاسخ سوالي را نمي دانيد به سوال بعدي بپردازيد و بعدا به آن سوال برگرديد. غالبا با يك شروع مجدد حل مسئله، بطور ناگهاني ايده ي بهتري به ذهنتان خواهد رسيد.
7. دقت كنيد بطور واضح و روشن آنچه را كه انجام مي دهيد نشان دهيد. بخاطر داشته باشيد كه معلم ذهن شما را نمي خواند، نمره ي شما بستگي به اين دارد كه او بتواند، از روي نوشته هاي شما، بفهمد آنچه را كه انجام داده ايد فهميده ايد.
8. تميز و مرتب بنويسيد. تميز نوشتن احساس خوبي به معلم مي دهد!
9. در حاليكه به سوالات پاسخ مي دهيد خطاها را بررسي كنيد. خطاهاي كه بعلت بي توجهي بوجود مي آيند، ممكن است نمره ي شما را بطور قابل ملاحظه اي كاهش دهند.
10. با نگرشي درست و آمادگي خوب به احتمال زياد امتحان خوبي خواهيد داشت.
11. بخاطر داشته باشيد: يك يا دو ساعت وقت امتحان، لحظاتي كوتاه از چرخه ي زندگي شماست، بنابرين از امتحان هراسي نداشته باشيد.

X