رياضي

ابوالوفا محـمد بن يحيي بن اسماعيل بن عباس بوزجاني خراساني، يكي از مفاخر عـلمي ايران و متـولد 328 هـجري قـمري كه در سوم رجب سال 388 هجري قـمري درگـذشته است. وي اهـل بوژگـان كه در هـجده كيلومتري شرق شهـر تربـت جام قرار داد.
ابوالوفا براي اولين بار در تهـيه جداول سينوس و كسينوس و شعـاع دايره، عـدد واحـدي را به كار برد و به اين وسيله توانست در تكـميل جداول مثـلثاتي اقدام كند و اولين بار نسبت ظل معـكوس زاويه به قـطر ظل زاويه را كه جـيب زاويه به شعـاع دايره بود كشف كرد. اين نسبت مثـلثاتي را كه امروزه به نام سكانت مي خوانند و " كـپرنيك " اين نسبت را به نام خود مشهـور كرده است.
فيـبو ناتـچي دانـشمند ايتاليايي قسمت عمدهً مسائل رياضي و جبر خود را از كتاب ابوالوفا استـنساخ كرد و بعـدها معـلوم شد شخـصي كه نام اصلي اش " لئونارد دوپـيز " كه هـمان " فيـبو ناتـچي " بوده به مصر و شام مسافرت كرده و قسمت عمدهً مطالعـات خود را كه در كتاب " اباكوس " آورده است از منابع دانشمندان رياضي دوره اسلام بوده و بويژه از ابوالوفا و كتاب الفـخري " كرجي " بوده است.
بنا به عـقـيده " مارتـين گـاردنر " دانشمند و پـژوهـندهً رياضيدان آمريكايي در نشريه عـلمي معـروف آمريكن سايـنس گـفـته است كه نخستين رساله اي كه دربارهً تـقـسيم و تـبديل اشكـال هـندسي نوشته شده است، توسط ابوالوفا دانشمند ايراني بوده كه متاًسفانه فـقط چـند ورقي از كـتاب پـر ارزش او باقي مانده؛ و اولين بار سه مربع را به 9 جزء تـقـسيم و از آنهـا يك مربع كامل ساخـته و به تـفـضيل به شرح آن پـرداخـته است؛ سپس به مدت ده قرن اين بحـث هـندسي و رياضي به فراموشي سپـرده شد تا اينكه " هـانري ارنست دوني " انگـليسي و " هـاري لين گـرين " استراليايي دنبالهً پـژوهـشهاي ابوالوفا را ادامه دادند.
ابوالوفا نخستين كسي است كه اختلاف سوم حركت ماه را كه به نام وارياسيون است كشف كرد و اين كـشف در سال 1836 توسط لوئي املي سديو به آكادمي عـلوم فرانسه اعـلام گـرديد.

در تمام تمدنهاي دنيا , كتابت به صورت ناقص اغاز شد و در طول سير خود,بصورت يكنواخت و تدريجي تكامل پيدا كرد . اما اين امر در مورد ماياها صدق نمي كند, زيرا هنر كتابت انها از همان اغاز تمدنشان به حد كمال رسيده بود . در رياضيات نيز ماياها از وجود صفر باخبر بوده اند , انها صفر را بصورت يك صدف ريز بكار ميبردند . همچنين به سيستم اعشاري,لگاريتم و ديگر محاسبات رياضي اشنا بوده اند پرفسور " انر " در اين باره چنين نوشته است : موقعي كه تصويري در يك كتيبه مثلا 10 مرتبه يا بيشتر تكرار ميشود و يا تعداد پله هاي يك هرم تا انتهاي بصورت دقيق و حساب شده محاسبه ميگردد, اين نشانه يك محاسبه دقيق رياضي ميباشد . تمام هنر ماياها در رياضيات متمركز شده بود كه در نهايت به روي كتيبه هاي سنگي منتقل شده است . علم نجوم نيز در ماياها نسبت به بقيه اقوام ان سرزمين به مراتب پيشرفته تر بوده است, اگاهي انها به سيستم منظومه خورشيدي و صور فلكي تعجب برانگيز است . يك طاق با عظمت به يادبود كنگره ستاره شناسي كه در 2 ماه سپتامبر 503 ميلادي در "كوپان" ان سرزمين برپاگرديد,بنا شده است ( واقعا جاي تعجب دارد كه اين قوم اسرارانگيز اين همه علم و معرفت را از كجا اموخته اند.؟. كتيبه اي كه نشان از گرامي داشتن اين كنگره ستاره شناسي كه در ان بزرگترين عالمان و ستاره شناسان مايا در ان شركت كردند با تاريخ مختص مايا بر طاق يكي از بناها نقش بسته است.!! ) ساختمان رصدخانهي انها بطور شگفت انگيزي مشابه رصدخانه هاي امروزي ما ميباشد,منتهي بدون وجود دستگاه و الات مدرن ستاره شناسي امروز, و جاي تعجب اينجاست كه انها بدون داشتن اين قبيل تجهيزات چگونه توانسته اند اطلاعات دقيقي در مورد اجرام سماوي كسب نمايند.!! ايا براستي انها " اربابان كره زمين " بوده اند.؟ اجازه ديد يك نگاه كلي به شهرهاي مايا بيندازيم . شهرهاي انها با جلال و جبروت, تميز و مرتب بوده است . ميادين و چهارراه هاي انها وسيع و سطح خيابانها يا سنگفرش بوده و يا با ماده سفيد سيمان مانندي پوشيده شده بود . معابد انها مزين به تصاوير عظيم موجودات عجيب و باغچه ها و اب نماهاي زيبا در همه جا بچشم ميخورد. يك سيستم فاضلاب بهداشتي تما شهر را در بر گرفته . جاده هاي انها بخوبي جاده هاي اينكاها نبوده ولي اين چيزي از ارزش جاده هاي انها كم نمي كند . مثلا جادهء به طول 100 كيلومتر از كوبا به ياكزونا كه با سيمان پوشيده شده و طرفين ان نرده كشي شده بود و تماما از يك منطقه صعب العبور باتلاقي گذشته است . سئوال اين است كه " ماياها كه از چرخ استفاده نميكردند و هيچ گاري و يا وسيله چرخداري در شهر انها نبوده اين جاده ها را براي چه احداث كردند.؟" . ماياها انواع مختلف گياهان را پرورش داده و رنگ هاي متنوع گياهي توليد مي كرده اند – مثل ابي , بنفش,نيلي و رنگهاي ديگر . انها همچنين از لاستيك براي ساختن پاي افزار,توپ بازي و ضد اب نمودن لباسهايشان استفاده ميكردند ( البته منظور از لاستيك درختي ميباشد كه از ان ضمغي بدست مي ايد كه خاصيت لاستيك دارد و به همين نام انرا ميشناسند ) انها حتي از برگهاي فندوق وحشي و با استفاده از چسب و صمغ , كاغذ و كتاب درست ميكردند . با وجود اينها تفاوت تكنيك انها غير عادي نبود . اين خلاصه اي بود از تمدني كه "مايا "نام دارد و همچنان اسرار اميز باقي مانده . هنوز كسي نميداند كه انها اين همه علم را از كجا بدست اوردند . چرا مهاجرت ملي كردند . و اين تمدن عظيم چگونه از ميان رفت . اميدوارم توانسته باشم با معرفي اين قوم اسرار انگيز كمكي هر چند كوچك در جهت معرفي اين قوم پر معما كرده باشم . پايان

شش عدد بر كل جهان حاكم است كه از زمان انفجار بزرگ شكل گرفته اند. اگر هر كدام از اين اعداد با مقدار فعلي آن كمي فرق داشت، هيچ ستاره، سياره يا انساني در جهان وجود نداشت. قوانين رياضي عامل تحكيم ساختار جهان است.
اين متن خلاصه مقاله پروفسور سرمارتين ريس، يكي از پيشگامان كيهان شناسي در جهان است. وي استاد تحقيقات انجمن سلطنتي در دانشگاه كمبريج و داراي عنوان اخترشناس سلطنتي است. در عين حال وي عضو انجمن سلطنتي، آكادمي ملي علوم ايالات متحده و آكادمي علوم روسيه است. وي ضمن مشاركت با چندين همكار بين المللي ايده هاي بسيار مهمي در مورد سياهچاله ها، تشكيل كهكشان ها و اخترفيزيك انرژي بالا داشته است.
شش عدد بر كل جهان حاكم است كه از زمان انفجار بزرگ شكل گرفته اند. اگر هر كدام از اين اعداد با مقدار فعلي آن كمي فرق داشت، هيچ ستاره، سياره يا انساني در جهان وجود نداشت. قوانين رياضي عامل تحكيم ساختار جهان است.
اين قاعده فقط شامل اتم ها نمي شود، بلكه كهكشان ها، ستاره ها و انسان ها را نيز در برمي گيرد. خواص اتم ها ـ از جمله اندازه و جرمشان، انواع مختلفي كه از آنها وجود دارد و نيروهايي كه آنها را به يكديگر متصل مي كند ـ عامل تعيين كننده ماهيت شيميايي جهاني است كه در آن به سر مي بريم. تعداد بسيار اتم ها به نيروها و ذرات داخل آنها بستگي دارد. اجرامي را كه اخترشناسان مورد بررسي قرار مي دهند ـ سيارات، ستارگان و كهكشان ها ـ توسط نيروي گرانش كنترل مي شوند و همه اين موارد در جهان در حال گسترشي روي مي دهد كه خواصش در لحظه انفجار بزرگ اوليه(Bigbang) در آن تثبيت شده است.
علم با تشخيص نظم و الگوهاي موجود در طبيعت پيشرفت مي كند، بنابراين پديده هاي هر چه بيشتري را مي توان در دسته ها و قوانين عام گنجاند. نظريه پردازان در تلاشند اساس قوانين فيزيكي را در مجموعه هاي منظمي از روابط و چند عدد خلاصه كنند. هنوز هم تا پايان كار راه زيادي باقيمانده است، اما پيشرفت هاي به دست آمده نيز چشمگيرند.
در آغاز قرن بيست و يكم، شش عدد معرفي شدند كه به نظر مي رسد از اهميت فوق العاده اي برخوردارند. دو تا از اين اعداد به نيروهاي اساسي مربوط مي شوند؛ دو تاي ديگر اندازه و «ساختار» نهايي جهان ما را تثبيت مي كند و بيانگر آن هستند كه آيا جهان براي هميشه امتداد مي يابد يا خير؛ و دو عدد باقيمانده بيانگر خواص خود فضا هستند. اين شش عدد با يكديگر« نسخه»اي را براي جهان تشكيل مي دهند.
گذشته از اين جهان نسبت به مقدار اين شش عدد بسيار حساس است: اگر يكي از اين اعداد تنظيم نشده باشد، آن وقت نه ستاره اي در جهان وجود مي داشت و نه حياتي. سه تا از اين اعداد (كه به جهان در مقياس بزرگ وابسته است) به تازگي با دقت زياد اندازه گيري شده است. سر برآوردن حيات انسان در سياره زمين حدود ۵/۴ ۵.۶ ميليارد سال به درازا كشيده است. حتي پيش از آنكه خورشيد ما و سيارات گرداگرد آن تشكيل شوند، ستاره هاي قديمي تر، هيدروژن را به كربن، اكسيژن و ديگر اتم هاي جدول تناوبي تبديل مي كردند. اين فرآيند حدود ده ميليارد سال به درازا كشيده است. اندازه جهان قابل مشاهده تقريباً برابر فاصله اي است كه نور بعد از انفجار بزرگ پيموده است بنابراين اين جهان قابل مشاهده كنوني بايد بيش از ۱۰ ميليارد سال نوري وسعت داشته باشد.(X=Ct ,t=۱*۳۶۰۰*۲۴*۳۶۵,C=۳*۱۰^۸)
بسياري از مناقاشات پردامنه و طولاني مباحث كيهان شناختي امروزه ديگر پايان يافته، و در مورد بسياري از مواردي كه پيش از اين موضوع بحث بودند، ديگر مناظره اي صورت نمي گيرد. اينشتين در يكي از مشهورترين كلمات قصار خود مي گويد: «غيرقابل درك ترين چيز در مورد جهان، قابل درك بودن آن است.» وي در اين عبارت بر شگفتي خود در مورد قوانين فيزيك كه ذهن ما نسبتاً با آنها خو گرفته و تا حدودي با آنها آشناست تاكيد مي كند، قوانيني كه نه فقط در روي زمين بلكه در دوردست ترين كهكشان ها هم مصداق دارد. نيوتن به ما آموخت همان نيرويي كه سيب را به سمت زمين مي كشد، ماه و سيارات را در مدار خود به گردش در مي آورد. هم اكنون مي دانيم همين نيروست كه عامل تشكيل كهكشان ها است و همين نيروست كه باعث مي شود ستاره ها به سياهچاله تبديل شوند.
قوانين فيزيكي و هندسه ممكن است در جهان هاي ديگر متفاوت باشد. چيزي كه جهان ما را از ساير جهان ها متمايز مي كند ممكن است همين شش عدد باشد.
۱- عدد كيهاني امگا نشان دهنده مقدار ماده ـ كهكشان ها، گازهاي پراكنده و «ماده تاريك» ـ در جهان ماست. امگا اهميت نسبي گرانش و انرژي انبساط در جهان را به ما ارائه مي دهد جهاني كه امگاي آن بسيار بزرگ است، بايستي مدت ها پيش از اين درهم فرورفته باشد، و در جهاني كه امگاي آن بسيار كوچك است، هيچ كهكشاني تشكيل نمي شود. تئوري تورم انفجار بزرگ مي گويد، امگا بايد يك باشد؛ هر چند اخترشناسان درصددند مقدار دقيق آن را اندازه بگيرند.
۲- اپسيلون بيانگر آن است كه هسته هاي اتمي با چه شدتي به يكديگر متصل شده اند و چگونه تمامي اتم هاي موجود در زمين شكل گرفته اند. مقدار اپسيلون انرژي ساطع شده از خورشيد را كنترل مي كند و از آن حساس تر اينكه، چگونه ستارگان، هيدروژن را به تمامي اتم هاي جدول تناوبي تبديل مي كنند، به دليل فرآيندهايي كه در ستارگان روي مي دهد، كربن و اكسيژن عناصر مهمي محسوب مي شوند ولي طلا و اورانيوم كمياب هستند. اگر مقدار اپسيلون ۰۰۶/ يا ۰۰۸/ بود ما وجود نداشتيم. عدد كيهاني e توليد عناصري را كه باعث ايجاد حيات مي شوند ـ كربن، اكسيژن، آهن و… يا ساير انواع كه باعث ايجاد جهاني عقيم مي شود را كنترل مي كند.
۳- اولين عدد مهم تعداد ابعاد فضا است. ما در جهاني سه بعدي زندگي مي كنيم. اگر D برابر دو يا چهار بود امكان تشكيل حيات وجود نداشت. البته زمان را مي توان بعد چهارم فرض كرد، اما بايد در نظر داشت بعد چهارم از لحاظ ماهيت با ساير ابعاد تفاوت اساسي دارد چرا كه اين بعد همانند تيري رو به جلو است، ما فقط مي توانيم به سوي آينده حركت كنيم.
۴- چرا جهان پيرامون اين چنين وسيع است كه در طبيعت عدد مهم و بسيار بزرگي وجود دارد. N نشان دهنده نسبت ميان نيروي الكتريكي است كه اتم ها را كنار يكديگر نگاه مي دارد و نيروي گرانشي ميان آنهاست. اگر اين عدد فقط چند صفر كمتر مي داشت، فقط جهان هاي مينياتوري كوچك و با طول عمر كم مي توانست به وجود آيد. هيچ موجود بزرگ تر از حشره نمي توانست به وجود آيد و زمان كافي براي آنكه حيات هوشمند به تكامل برسد در اختيار نبود.
۵- هسته اوليه تمام ساختارهاي كيهاني ـ ستاره ها، كهكشان ها و خوشه هاي كهكشاني ـ در انفجار بزرگ اوليه تثبيت شده است. ساختار يا ماهيت جهان به عدد Q كه نسبت دو انرژي بنيادين است، بستگي دارد. اگر Q كمي كوچك تر از اين عدد بود جهان بدون ساختار بود و اگر Q كمي بزرگ تر بود، جهان جايي بسيار عجيب و غريب به نظر مي رسيد، چرا كه تحت سيطره سياهچاله ها قرار داشت.
۶- اندازه گيري عدد لاندا در بين اين شش عدد، مهم ترين خبر علمي سال ۱۹۹۸ بود، اگرچه مقدار دقيق آن هنوز هم در پرده ابهام قرار دارد. يك نيروي جديد نامشخص ـ نيروي «ضدگرانش» كيهاني ـ ميزان انبساط جهان را كنترل مي كند. خوشبختانه عدد لاندا بسيار كوچك است. در غير اين صورت در اثر اين نيرو از تشكيل ستارگان و كهكشان ها ممانعت به عمل مي آمد و تكامل كيهاني حتي پيش از آنكه بتواند آغاز شود، سركوب مي شد.

كاشي‌هاي پيشنهادي-كاشي پروانه، پنج‌ضلعي، لوزي، شش ضلعي كشيده و يك ده‌ضلعي بزرگ- با خط‌هاي شكل‌هاي ديگري مانند ستاره و مثلث‌ خميده رنگ‌آميزي شده‌اند. هنگامي كه اين كاشي‌ها كنار هم جاي مي‌گيرند، خط‌هاي روي آن‌ها نيز به هم مي‌پيوندند و شكل‌هاي درهم‌قفل شده‌اي را مي‌سازند. لو در اين باره مي‌گويد: "اين كار روش ساده‌اي براي توليد تعداد زيادي از نگاره‌هاي پيچيده را فراهم مي‌كند، فقط با چسباندن اين كاشي‌ها(به مانند قطعه‌هاي جورچين) و توجه ‌داشتن به نقش روي آن‌ها."‌بلورهايي كه متقارن هستند اما به طور منظم تكرار نمي‌شوند.
لو و همكارانش دريافتند كه اين پنج شكل‌ از كاشي‌ها به راستي در نوشته‌‌هاي اسلامي سده‌ي پانزدهم ميلادي، كه تجربه‌هاي معماري در آن‌ها به ثبت رسيده است، پديدار شدند. آن‌ها پي بردندكه اين كاشي‌ها از سده‌ي دوازدهم ميلادي براي ساختن نگاره‌هاي منظم، تكرار شونده يا دوره‌اي به كار مي‌رفتند. اما از سده‌ي پازدهم ميلادي، هنرمندان شايد وادار شدند به شاهكارهاي هنري بسيار پيچيده‌تري روي بياورند و بنابراين به سطح جديدي از ظريف‌‌كاري دست يافتند.
به‌ويژه مسجد امام در اصفهان، كه در سال 1453 ميلادي ساخته شد، با نگاره‌هاي متقارني از پنج‌ضلعي‌ها و ستاره‌هاي ده‌ضلعي پوشيده شده است. اين پژوهشگران مي‌گويند اگر در همه‌ي جهت‌ها به طور نامحدود گسترش يابد، هرگز خودش را تكرار نمي‌كند و اين، ويژگي ‌ بنيادي شبه‌بلور(كويزاي‌كريستال) است. لو در اين باره مي‌گويد: " شما مي‌خواهيد كاشي‌كاري پيچيده‌اي داشته باشيد كه براي هر كسي كه از كنار آن مي‌گذرد، چشمگير و خيره‌كننده باشد. برداشت من اين است كه آن‌ها فقط مي‌خواستند چيزي را بسازند كه به راستي زيبا و دل‌نشين به نظر مي‌رسد."
پژوهشگران دريافتند كه اين نگاره هم‌پايه‌ي مشهورترين مثال از كواسي‌كريستال‌ است كه در دهه‌ي 1970 ميلادي رياضي‌دان و فيزيك‌دان پرآوزاه راجر پنروز(Roger Penrose) كشف كرد. همان دانشمندي كه نشان داد چگونه مي‌توان اين نگاره را با كنار هم گذاشتن دو نوع "كاشي پنروز" بر پايه‌ي قانون‌هاي معين ساخت.
لو مي‌گويد كه معماران اسلامي يكي از دو روشي را كه پنروز كشف كرد به كار مي‌بردند: آن‌ها كاشي‌ها را در نسخه‌هاي بزرگ‌تري از خودشان كنار هم مي‌چيدند. او مي‌گويد نگاره‌ي مسجد امام اصفهان چند خطاي اندك دارد كه شايد به هنگام ساخت يا ترميم رخ داده باشد، زيرا يك نقص در اين نگاره مي‌تواند به خطاي بزرگ تر و نمودار‌تري بينجامد.
جان اوكونر( John O'Conno) از دانشگاه سنت اندرو در اسكاتلند در اين باره مي‌گويد: " هنرمندان دوره‌ي اسلامي مي‌دانستند كه چگونه مي‌توانند اين چيزها را با هم جفت و جور كنند." او مي‌گويد كه پيشگاهي رياضي‌دانان مسلمان بين سده‌هاي نهم و سيزدهم ميلادي رخ داد. در سده‌ي پانزدهم ميلادي، نوزايي در اروپا در جريان بود كه تا اندازه‌اي الهام‌گرفته از وارد شدن مفاهيم رياضي از جهان اسلام از جمله مثلثات و نمادهاي جبري بود. او مي‌گويد: "اگر شبه‌بلورها اين همه مدت در آن‌جا جلو چشم بوده‌اند، خوش به حال آن‌هايي كه هر روز نگاهشان به آن‌ها مي‌افتاده است

يكي از نكات مهمي كه پايه هاي پيشرفت علوم مختلف را شامل مي شود اصول اوليه و فرضياتي است كه بر اساس آن نظريه ها ارائه مي شوند. اقليدس و تني چند از پيشينيان او كه در فلسفه فعال بودند به اين نتيجه رسيده بودند كه هرگز نمي توان همه چيز را ثابت كرد.
آنها معتقد بودند كه در ساخت هر نهاد منطقي بايد يك يا چند گزاره را بعنوان فرض در نظر گرفت و ساير احكام را بر اساس آنها اثبات كرد. آنها تجربه كرده بودند كه اگر سعي كنند تمام گزاره ها را به اثبات برسانند بدون شك به يك دور باطل خواهند رسيد. فرضيات تجربي و رياضي
فرضيات معمولا” از طريق مشاهده و احساس عمومي انسان بعنوان يك مطلب درست و منطقي به شمار مي آيند و دانشمند بر اساس فرضياتي كه ارائه مي كند مي تواند قضايايي را ارائه، اثبات كند و بر اساس اين دو علمي را پايه ريزي نمايد. تفاوت مهم ميان علوم تجربي و علوم رياضي در آن است كه اثبات قضايا در علوم تجربي از راه تجربه و مشاهده بوده در حالي كه در علوم رياضي از طريق استدلال و محاسبه مي باشد.
بعنوان مثال يك زيست شناس پس آنكه توانست قسمت هاي مختلف يك گياه را شناسايي كند از راه آزمايش و تجربه به كشف وظايف هر قسمت مي پردازد. در حالي كه يك رياضي داي دان حتي اگر موضوعي با مشاهده براي او يقين شود مجبور است كه آنرا با استدلال ثابت كند. يعني صرف مشاهده براي به يقين رسيدن كافي نيست يك رياضي دان هرگز نمي تواند بگويد كه : “بنا براين همانطور كه مي بينيد، ديده مي شود كه اين زاويه قائمه مي باشد.”
اصل
استدلال منطقي در وهله اول نياز به همان فرضيات اوليه يا اصول دارد. يك اصل بنا به تعريف عبارت است از حكمي كه نتوان براي صحت آن دليل يا اثباتي ارائه كرد. يعني اصول به اين دليل صحيح هستند كه اصلا” مخالف آنرا عقل نمي پذيرد و آنها كاملا” با واقعيات و تجربيات دنياي ما منطبق مي باشند. بعنوان مثال مي گوييم دو مقدار مساوي با مقدار سوم، خود با هم مساوي هستند و يا در هندسه مي گوييم : “به هر مركز مي توان دايره اي به شعاع دلخواه رسم كرد”. همانطور كه مشاهده مي شود صحت اين دود گزاره بوضوح توسط عقل تاييد مي شوند.
قضيه
قضيه حكمي است كه با استدلال مي توان از اصول پذيرفته شده از قبل به آن رسيد. بعنوان مثال اينكه مي گوييم : “اگر رقم سمت راست عددي زوج باشد آن عدد زوج است” مطلبي نيست كه بتوان آنرا پذيرفت بلكه بايد بر اساس اصولي كه در تئوري اعداد وجود دارد آنرا ثابت كرد.
همانطور كه مي دانيد هر قضيه دو قسمت دارد يكي فرض و يكي حكم. دقت كنيد كه فرض با اصول اوليه حاكم بر علمي كه در آن قضيه مطرح مي شود متفاوت مي باشد. مثلا هنگامي كه مي گوييم : “مجموع دو زاويه مجانب معادل دو قائمه مي باشد” فرض آن است كه دو زاويه مجانب مي باشد و حكم آن است كه ثابت كنيم مجموع آنها دو قائمه مي باشد

سه قرن اول رياضيات يوناني كه با تلاشهاي اوليه در هندسه برهاني بوسيله تالس در حدود ۶۰۰ سال قبل از ميلاد شروع شده و با كتاب برجسته اصول اقليدس در حدود ۳۰۰ سال قبل از ميلاد به اوج رسيد، دوره‌اي از دستاوردهاي خارق العاده را تشكيل مي‌دهد. در حدود ۱۲۰۰ سال قبل از ميلاد بود كه قبايل بدوي “دوريايي” با ترك دژهاي كوهستاني شمال براي دستيابي به قلمروهاي مساعدتر در امتداد جنوب راهي شبه جزيره يونان شدند و متعاقب آن قبيله بزرگ آنها يعني اسپارت را بنا كردند. بخش مهمي از سكنه قبلي براي حفظ جان خود ، به آسياي صغير و زاير يوناني و جزاير يوناني درياي اژه گريختند و بعدها در آنجا مهاجرنشنهاي تجاري يوناني را برپا كردند. در اين مهاجرنشينها بود كه در قرن ششم (ق.م) اساس مكتب يوناني نهاده شد و فلسفه يوناني شكوفا شد و هندسه برهاني تولد يافت. در اين ضمن ايران بدل به امپراطوري بزگ نظامي شده بود و به پيروزي از يك برنامه توسعه طلبانه در سال ۵۴۶ (ق.م) شهر يونيا و مهاجرنشينهاي يوناني آسياي صغير را تسخير نمود. در نتيجه عده‌اي از فيلسوفان يوناني مانند فيثاغورث موطن خود را ترك و به مهاجرنشينهاي در حال رونق جنوب ايتاليا كوچ كردند. مدارس فلسفه و رياضيات در “كروتونا” زير نظر فيثاغورث در “اليا” زير نظر كسنوفانس ، زنون و پارميندس پديد آمدند.
در حدود۴۸۰ سال قبل از ميلاد آرامش پنجاه ساله براي آتنيها پيش آمد كه دوره درخشاني براي آنان بود و رياضيدانان زيادي به آتن جذب شدند. در سال ۴۳۱ (ق.م) با آغاز جنگ “پلوپونزي” بين آتنيهاي و آسپارتها ، صلح به پايان رسيد و با شكست آتنيها دوباره ركورد حاصل شد.
 ظهور افلاطون و نقش وي در توليد دانش رياضي
اگرچه با پايان جنگ پلوپرنزي مبادله قدرت ---------- كم اهميت تر شد، اما رهبري فرهنگي خود را دوباره بدست آورد. افلاطون در آتن يا حوالي آن و در سال ۴۲۷ (ق.م) كه در همان سال نيز طاعون بزرگي شيوع يافت و يك چهارم جمعيت آتن را هلاك رد و موجب شكست آنها شد، به دنيا آمد، وي فلسفه را در آنجا زير نظر سقراط خواند و سپس در پي كسب حكم عازم سير و سفرهاي طولاني شد. وي بدين ترتيب رياضيات را زير نظر تيودوروس در ساحل آفريقا تحصيل كرد. در بازگشت به آتن در حدود سال ۳۸۷ (ق.م) آكادمي معروف خود را تاسيس كرد.
تقريبا تمام كارهاي مهم رياضي قرن چهارم (ق.م) بوسيله دوستان يا شاگردان افلاطون انجام شده بود. آكادمي افلاطون به عنوان حلقه ارتباط رياضيات فيثاغورثيان اوليه و رياضيات اسكندريه در آمد. تاثير افلاطون بر رياضيات ، معلول هيچ يك از كشفيات رياضي وي نبود، بلكه به خاطر اين اعتقاد شورانگيز وي بود كه مطالعه رياضيات عاليترين زمينه را براي تعليم ذهن فراهم مي‌آورد و از اينرو در پرورش فيلسوفان و كساني كه مي‌بايست دولت آرماني را اداره كنند، نقش اساسي داشت. اين اعتقاد ، شعار معروف او را بر سر در آكادمي وي توجيه مي‌كند: “كسي كه هندسه نمي‌داند، داخل نشود.” بنابراين به دليل ركن منطقي و نحوه برخورد ذهني نابي كه تصور مي‌كرد مطالعه رياضيات در شخص ايجاد مي‌كند، رياضيات به نظر افلاطون از بيشترين اهميت برخوردار بود، و به همين جهت بود كه جاي پر ارزش را در برنامه درس آكادمي اشغال مي‌كرد. در بيان افلاطون اولين توضيحات درباره فلسفه رياضي موجود هست.
  ادامه دهندگان مسير افلاطون
▪ ايودوكسوس كه هم نزد آرخوتاس و هم نزد افلاطون درس خوانده بود، مدرسه‌اي در سينويكوس در آسياي صغير تاسيس كرد.
▪ منايخموس از معاشرين افلاطون و يكي از شاگردان ايودوكسوس ، مقاطع مخروطي را ابداع كرد.
▪ دينوستراتوس ، برادر منايخموس، هندسه داني ماهر و از شاگردان افلاطون بود.
▪ تياتيتوس ، مردي با استعدادهاي خيلي عادي كه احتمالا قسمت اعظم مطالب مقاله‌هاي دهم و يازدهم اقليدس را نيز به او مديونيم، يكي از شاگردان تيودوروس بود.
▪ ارسطو گرچه ادعاي رياضيداني نداشت ولي سازمان دهنده منطقي قياسي و نويسنده آثاري در باب موضوعات فيزيكي بود. وي تسلط خارق العاده‌اي بر روشهاي رياضي داشت.
�? مسيرهاي تكامل رياضيات در يونان
در تكامل رياضيات طي ۳۰۰ سال اول ، سه خط سير مهم و متمايز را مي‌توان تشخيص داد.
▪ ابتدا ، بسط مطالبي است كه در اصول مدون شد، كه با توانايي توسط فيثاغورثيان شروع شد و بعدها بقرط ، ايودوروس ، تياتيتوس ، ديگران مطالبي به آن اضافه كردند.
▪ خط سير دوم شامل بسط مفاهيمي است در رابطه با بينهايت كوچكها و روندهاي حدي و مجموع يابي كه تا بعد از اختراع حساب ديفرانسيل و انتگرال در دوارن معاصر به وضوح نهايي دست نيافتند. پارادوكسهاي زنون؛ روش افناي آنتيخوان و ايودوكسوس و نظر اتمي بودن جهان كه به نام دموكريتوس مربوط است، به مسير رشد دوم تعلق دارند.
▪ سومين مسير تكاملي مربوط به هندسه عالي يا هندسه منحنيهايي بجز دايره و خط مستقيم و سطوحي غير از كره و صفحه است. شگفت آنكه قسمت عمده اين هندسه عالي در تلاشهاي مستمر براي حل سه مساله ترسيم كه امروزه هم مشهورند عبارتند از: تضعيف مكعب ، تثليث زاويه و تربيع دايره اختصاص دارد

در رياضيات، يك تابع رابطه‌اي است كه هر متغير دريافتي خود را به فقط يك خروجي نسبت مي‌دهد. علامت استاندارد خروجي يك تابع f به همراه ورودي آن، x مي‌باشد يعني‎ f(x)‏. به مجموعه ورودي‌هايي كه يك تابع مي‌تواند داشته باشد دامنه و به مجموعه خروجي‌هايي كه تابع مي‌دهد برد مي‌گويند. براي مثال عبارت f(x) = x2 نشان دهنده يك تابع است، كه در آن f مقدار x را دريافت مي‌كند و x2 را مي‌دهد. در اين صورت براي ورودي 3 مقدار 9 به دست مي‌آيد. براي مثال، براي يك مقدار تعريف شده در تابع f مي‌توانيم بنويسيم، f(4) = 16.
معمولاً در تمارين رياضي براي معرفي كردن يك تابع از كلمه f استفاده مي‌كنيم و در پاراگراف بعد تعريف تابع يعني f(x) = 2x+1 را مي‌نويسم و سپس f(4) = 9. وقتي كه نامي براي تابع نياز نباشد اغلب از عبارت y=x2 استفاده مي‌شود.
وقتي كه يك تابع را تعريف مي‌كنيم، مي‌توانيم خودمان نامي به آن بدهيم، براي مثال:
يكي از خواص تابع اين است كه براي هر مقدار بايد يك جواب وجود داشته باشد، براي مثال عبارت:
يك تابع نمي‌باشد، زيرا ممكن است براي يك مقدار دو جواب وجود داشته باشد. جذر عدد 9 برابر 3 است و در اين رابطه اعداد +3 و -3 به دست مي‌آيند. براي ساختن يك تابع ريشه دوم، بايد فقط يك جواب براي آن وجود داشته باشد، يعني:
كه براي هر متغير غيرمنفي يك جواب غيرمنفي وجود دارد.
در يك تابع لزومي ندارد كه حتماً بر روي عدد علمياتي انجام گيرد. يك مثال كه نشان مي‌دهد كه عملياتي بر روي عدد انجام نمي‌شود، تابعي است كه پايتخت يك كشور را معين مي‌كند. مثلاً Capital(France) = Paris.
حال كمي دقيق‌تر مي‌شويم اما هنوز از مثال‌هاي خودماني استفاده مي‌كنيم. A و B دو مجموعه هستند. يك تابع از A به B با به هم پيوستن مقادير منحصر به فرد درون A معين مي‌شود و مجموعه B به دست مي‌آيد. به مجموعه A دامنه تابع مي‌گويند؛ مجموعه B هم تمام مقاديري را كه تابع مي‌تواند داشته باشد شامل مي‌شود.
در بيشتر زمينه‌هاي رياضي، اصطلاحات تبديل و نگاشت معمولاً با تابع هم معني پنداشته مي‌شوند. در هر حال ممكن است كه در بعضي زمينه‌هاي خصوصيات ديگري داشته باشند. براي مثال در هندسه، يك نگاشت گاهي اوقات يك تابع پيوسته تعريف مي‌شود.
تعاريف رياضي يك تابع
يك تابع f يك رابطه دوتايي است، به طوري كه براي هر x يك و فقط يك y وجود داشته باشد تا x را به y رابطه دهد. مقدار تعريف شده و منحصر به فرد y با عبارت (f(x نشان داده مي‌شود.
به دليل اينكه دو تعريف براي رابطه دوتايي استفاده مي‌شود، ما هم از دوتعريف براي تابع استفاده مي‌كنيم.
تعريف اول
ساده تعريف رابطه دوتايي عبارتست از: «يك رابطه دوتايي يك زوج مرتب مي‌باشد». در اين تعريف اگر رابطه دوتايي دلالت بر «كوچكتر از» داشته باشد آن گاه شامل زوج مرتب‌هايي مانند (2, 5) است، چون 2 از 5 كوچكتر است.
يك تابع مجموعه‌اي از زوج مرتب‌ها است به طوري كه اگر (a,b) و (a,c) عضوي از اين مجموعه باشند آن گاه b با c برابر باشد. در اين صورن تابع مجذور شامل زوج (3, 9) است. رابطه جذر يك تابع نمي‌باشد زيرا اين رابطه شامل زوج‌هاي (9, 3) و (9, -3) است و در اين صورت 3 با -3 برابر نيست.
دامنه تابع مجموعه مقادير x يعني مختص‌هاي اول زوج‌هاي رابطه مورد نظر است. اگر x در دامنه تابع نباشد آن گاه (f(x هم تعريف نشده‌است.
برد تابع مجموعه مقادير y يعني مختص‌هاي دوم زوج‌هاي رابطه مورد نظر است.
تعريف دوم
بعضي از نويسندگان نياز به تعريفي دارند كه فقط از زوج‌هاي مرتب استفاده نكند بلكه از دامنه و برد در تعريف استفاده شود. اين گونه نويسندگان به جاي تعريف زوج مرتب از سه‌تايي مرتب (X,Y,G) استفاده مي‌كنند، كه در آن X و Y مجموعه هستند (كه به آنها دامنه و برد رابطه مي‌گوييم) و G هم زيرمجموعه‌اي از حاصل‌ضرب دكارتي X و Y است (كه به آن گراف رابطه مي‌گويند). در اين صورت تابع رابطه دوتايي است كه در آن مقادير X فقط يك بار در اولين مختص مقادير G اتفاق مي‌افتد. در اين تعريف تابع داراي برد منحصر به فرد است؛ اين خاصيت در تعريف نخست وجود نداشت.
شكل تعريف تابع بستگي به مبحث مورد نظر دارد، براي مثال تعريف يك تابع پوشا بدون مشخص كردن برد آن امكان‌ناپذير است.
پيشينه تابع
«تابع»، به عنوان تعريفي در رياضيات، توسط گاتفريد لايبنيز در سال 1694، با هدف توصيف يك كميت در رابطه با يك منحني به وجود آمد، مانند شيب يك نمودار در يك نقطه خاص. امروزه به توابعي كه توسط لايبنيز تعريف شدند، توابع مشتق‌پذير مي‌گوييم، اغلب افراد اين توابع در هنگام آموختن رياضي با اين گونه توابع برمي خورند. در اين گونه توابع افراد مي‌توانند در مورد حد و مشتق صحبت كنند. چنين توابعي پايه حسابان را مي‌سازند.
واژه تابع بعدها توسط لئونارد اويلر در قرن هجدهم، براي توصيف يك عبارت يا فرمول شامل متغيرهاي گوناگون مورد استفاده قرار گرفت، مانند f(x) = sin(x) + x3.
در طي قرن نوزدهم، رياضي‌دانان شروع به فرموله كردن تمام شاخه‌هاي رياضي كردند. ويرسترس بيشتر خواهان به وجود آمدن حسابان در علم حساب بود تا در هندسه، يعني بيشتر طرفدار تعريف اويلر بود.
در ابتدا، ايده تابع ترجيحاً محدود شد. براي ژوزف فوريه مدعي بود كه تمام توابع از سري فوريه پيروي مي‌كنند در حالي كه امروزه هيچ رياضي‌داني اين مطلب را قبول ندارد. با گسترش تعريف توابع، رياضي‌دانان توانستند به مطالعه «عجايب» در رياضي بپردازند از جمله اين كه يك تابع پيوسته در هيچ مكان گسستني نيست. اين توابع در ابتدا بيان نظريه‌هايي از روي كنجكاوي فرض مي‌شد و آنها از اين توابع براي خود يك «غول» ساخته بودند و اين امر تا قرن بيستم ادامه داشت.
تا انتهاي قرن نوزدهم رياضي‌دانان سعي كردند كه مباحث رياضي را با استفاده از نظريه مجموعه فرموله كنند و آنها در هر موضوع رياضي به دنبال تعريفي بودند كه از مجموعه استفاده كند. ديريكله و لوباچوسكي هر يك به طور مستقل و تصادفاً هم زمان تعريف «رسمي» از تابع دادند.
در اين تعريف، يك تابع حالت خاصي از يك رابطه است كه در آن براي هر مقدار اوليه يك مقدار ثانويه منحصر به فرد وجود دارد.
تعريف تابع در علم رايانه، به عنوان حالت خاصي از يك رابطه، به طور گسترده‌تر در منطق و علم تئوري رايانه مطالعه مي‌شود.

پايه لگاريتم طبيعي (~ 2.71828)، اولين بار توسط لئونارد اولر (Leonhard Euler 1707-83) يكي از باهوشترين رياضي دانان تاريخ رياضيات مورد استفاده قرار گرفت.

در يكي از دست خطهاي اولر كه ظاهرا" بين سالهاي 1727 و 1728 تهيه شده است با تيتر Meditation on experiments made recently on the firing of cannon اولر از عدي بنام e صحبت مي كند. هر چند او رسما" اين نماد را در سال 1736 در رساله اي بنام Euler`s Mechanica معرفي ميكند.

 در واقع بايد اعتراف كرد كه اولر كاشف يا مخترع عدد e نبوده است بلكه سالها قبل فردي بنام جان ناپير (John Napier 1550-1617) در اسكاتلند هنگامي كه روي لگاريتم بررسي مي كرده است بحث مربوط به پايه طبيعي لگاريتم را به ميان كشيده است. فراموش نكنيد كه شواهد نشان ميدهد حتي در قرن هشتم ميلادي هندي ها با محاسبات مربوط به لگاريتم آشنايي داشته اند.
در اينكه چرا عدد ~ 2.71828 بصورت e توسط اولر نمايش داده شده است صحبت هاي بسياري است. برخي e را اختصار exponential مي دانند، برخي آنرا ابتداي اسم اولر (Euler) مي دانند و برخي نيز ميگويند چون حروف a,b,c و d در رياضيات تا آن زمان به كررات استفاده شده بود، اولر از e براي نمايش اين عدد استفاده كرد. هر دليلي داشت به هر حال امروزه اغلب اين عدد را با نام Euler مي شناسند.

اولر هنگامي كه روي برخي مسائل مالي در زمينه بهره مركب در حال كار بود به عدد e علاقه پيدا كرد. در واقع او دريافت كه در مباحث بهره مركب، حد بهره به سمت عددي متناسب (يا مساوي در شرايط خاص) با عدد e ميل ميكند. بعنوان مثال اگر شما 1 ميليون تومان با نرخ بهره 100 درصد در سال بصورت مركب و مداوم سرمايه گذاري كنيد در پايان سال به رقمي حدود 2.71828 ميلون تومان خواهيد رسيد.

در واقع در رابطه بهره مركب داريم :

 
P = C (1 + r/n) nt

كه در آن P مقدار نهايي سرمايه و بهره است، C مقدار اوليه سرمايه گذاري شده،r نرخ بهره، n تعداد دفعاتي است كه در سال به سرمايه بهره تعلق مي گيرد و t تعداد سالهايي است كه سرمايه گذاري مي شود.

در اين رابطه اگر n به سمت بي نهايت ميل كند - حالت بهره مركب - فرمول را مي توان بصورت زير ساده كرد :

 
P = C e rt

اولر همچنين براي محاسبه عدد e سري زير را پيشنهاد داد :

 
e = 1+ 1/2 + 1/(2 x 3) + 1/(2 x 3 x 4) + 1/(2 x 3 x 4 x 5) + . . .

لازم است ذكر شود كه اولر علاقه زيادي به استفاده از نمادهاي رياضي داشت و رياضيات امروز علاوه بر عدد e در ارتباط با مواردي مانند i در بحث اعداد مختلط، f در بحث توابع و بسياري ديگر نمادها مديون بدعت هاي اولر است .

بين رياضيات يوناني و هندي اختلاف زيادي وجود دارد. در وهلۀ اول ، هندياني كه در رياضيات كار مي كردند ، خود را در اصل منجم مي پنداشتند ، و لذا رياضيات هندي عمدتا به صورت ابزاري در خدمت نجوم باقي ماند ؛ اما در يونان ، رياضيات هستي مستقلي يافت و رياضيات به خاطر خود رياضيات مورد مطالعه قرار گرفت . همچنين ، به خاطر وجود نظام كاستي ، رياضيات در هند تقريبا به طور كامل به وسيلۀ روحانيون رشد و نمو يافت؛ در يونان باب رياضيات بر هر كسي كه پرواي مطالعۀ آن را داشت ، مفتوح بود . بعلاوه ، هنديان حسابگراني ممتاز ولي هندسه داناني متوسط بودند ، يونانيان در هندسه تفوق يافتند ولي به كارهاي محاسباتي كمتر توجهي از خود نشان دادند . حتي مثلثات هندي ، كه قابل ستايش بود، ماهيت حسابي داشت ؛ مثلثات يوناني واجد خصيصۀ هندسي بود هنديان به نظم مي نوشتند و آثار خود را اغلب در قالب زباني مبهم و مرموز در مي آوردند، يونانيان سعي در بيان واضح و منطقي داشتند. رياضيات هندي عمدتاً تجربي بود كه براهين و روشهاي استخراج به ندرت در آن عرضه مي شد ، صفت مميزۀ رياضيات يوناني در اصرار آن بر براهين دقيق است . رياضيات هندي از نظر كيفيت اصلا يكدست نيست ، رياضيات پرمايه و ضعيف اغلب در كنار هم ظاهر مي شوند ؛ يونانيان ظاهرا غريزه اي داشتند كه آنها نويسندۀ مسلمان ابوريحان بيروني در كتاب معروفش تحقيق ماللهند، رياضيات هندي ، بر خلاف رياضيات يوناني كه كيفيتي يكدست عالي دارد « مخلوطي است از صدف و خزف ... يا ممزوجي از در پر بها و سنگريزۀ بي بها » . قسمتي از اختلاف بين رياضيات يوناني و هندي ، امروزه در تفاوت بين بسياري از كتابهاي درسي مقدماتي جبر و هندسه ما جنبۀ دائمي يافته است .