قضيه اساسي حساب

قضيه اساسي حساب در نظريه اعداد به اين شكل بيان مي‌شود:

هر عدد طبيعي بزرگ‌تر از يك را مي‌توان به طور يكتا به صورت حاصلضربي از اعداد اول نوشت. به عنوان مثال:

172 * 3 * 23 = 6936

حال اگر ترتيب نوشتن عاملها را در نظر نگيريم اين تنها تجزيه از عدد ۶۹۳۶ به عوامل اول است كه مي‌توانيم بنويسيم.



اثبات
اثبات اين قضيه شامل دو قسمت است. ابتدا نشان مي‌دهيم هر عدد را مي‌توان به صورت حاصلضربي از اعداد اول نوشت و سپس ثابت مي‌كنيم اين تجزيه يكتاست.

برهان: فرض مي‌‌كنيم عدد صحيح مثبتي مانند x وجود دارد كه نمي‌توان آن را به حاصلضرب اعداد اول تجزيه كرد. مجموعهٔ A را به اين شكل تعريف مي‌‌كنيم:
«مجموعه n‌هاي عضو اعداد طبيعي به طوريكه 1
A مخالف تهي است زيرا x عضوي از A است. پس بنا به اصل خوش ترتيبي اعداد طبيعي A عضو ابتدا دارد.

فرض مي‌كنيم m ابتداي A باشد (يعني m عضوي از A است و در نتيجه قابل تجزيه به اعداد اول هم نيست). بنابراين m اول نيست پس عددي مركب است يعني:

m = d1 * d2;1 < d1 < m,1 < d2 < m

بديهي است كه d1 و d2 عضو A نيستند زيرا از m كوچك‌ترند لذا هر دو تجزيه‌پذيرند. بنابراين:

d1 = p1 * p2 * ... * pk

d2 = q1 * q2 * ... * qs

به طوري كه p‌ها و q‌ها اول هستند. در نتيجه:

m = p1 * p2 * ... * pk * q1 * q2 * ... * qs

مي‌بينيم كه m تجزيه‌پذير شده و اين با فرض ما در تناقض است.

X