اولين دانشمندي كه جدول سينوس , كسينوس, شعاع دايره اي و نسبت مثلثاتي را كشف كرد

ابوالوفا محـمد بن يحيي بن اسماعيل بن عباس بوزجاني خراساني، يكي از مفاخر عـلمي ايران و متـولد 328 هـجري قـمري كه در سوم رجب سال 388 هجري قـمري درگـذشته است. وي اهـل بوژگـان كه در هـجده كيلومتري شرق شهـر تربـت جام قرار داد.
ابوالوفا براي اولين بار در تهـيه جداول سينوس و كسينوس و شعـاع دايره، عـدد واحـدي را به كار برد و به اين وسيله توانست در تكـميل جداول مثـلثاتي اقدام كند و اولين بار نسبت ظل معـكوس زاويه به قـطر ظل زاويه را كه جـيب زاويه به شعـاع دايره بود كشف كرد. اين نسبت مثـلثاتي را كه امروزه به نام سكانت مي خوانند و " كـپرنيك " اين نسبت را به نام خود مشهـور كرده است.
فيـبو ناتـچي دانـشمند ايتاليايي قسمت عمدهً مسائل رياضي و جبر خود را از كتاب ابوالوفا استـنساخ كرد و بعـدها معـلوم شد شخـصي كه نام اصلي اش " لئونارد دوپـيز " كه هـمان " فيـبو ناتـچي " بوده به مصر و شام مسافرت كرده و قسمت عمدهً مطالعـات خود را كه در كتاب " اباكوس " آورده است از منابع دانشمندان رياضي دوره اسلام بوده و بويژه از ابوالوفا و كتاب الفـخري " كرجي " بوده است.
بنا به عـقـيده " مارتـين گـاردنر " دانشمند و پـژوهـندهً رياضيدان آمريكايي در نشريه عـلمي معـروف آمريكن سايـنس گـفـته است كه نخستين رساله اي كه دربارهً تـقـسيم و تـبديل اشكـال هـندسي نوشته شده است، توسط ابوالوفا دانشمند ايراني بوده كه متاًسفانه فـقط چـند ورقي از كـتاب پـر ارزش او باقي مانده؛ و اولين بار سه مربع را به 9 جزء تـقـسيم و از آنهـا يك مربع كامل ساخـته و به تـفـضيل به شرح آن پـرداخـته است؛ سپس به مدت ده قرن اين بحـث هـندسي و رياضي به فراموشي سپـرده شد تا اينكه " هـانري ارنست دوني " انگـليسي و " هـاري لين گـرين " استراليايي دنبالهً پـژوهـشهاي ابوالوفا را ادامه دادند.
ابوالوفا نخستين كسي است كه اختلاف سوم حركت ماه را كه به نام وارياسيون است كشف كرد و اين كـشف در سال 1836 توسط لوئي املي سديو به آكادمي عـلوم فرانسه اعـلام گـرديد.

رياضيات محض و كاربردي

رياضيات محض و كاربردي Mathematics ماهيت كار رياضي يكي از قديمي ترين و پايه اي ترين رشته هاي علوم است . رياضي دانان از نظريه هاي رياضي , روشهاي محاسبه , آلگوريتمها و آخرين دستاوردهاي رايانه اي براي حل مسائل اقتصادي , علمي , مهندسي , فيزيك و تجاري استفاده مي كنند.كار رياضي دانان به دو بخش گسترده تقسيم مي شود . رياضي محض و رياضي كار بردي . اين دو گروه كاملا از يكديگر قابل تمايز نبوده و اغلب بايكديگرهمپوشاني دارند. رياضي دانان محض(نظري) با گسترش مباني جديد و تشخيص روابط كشف نشده ميان قوانين موجود رياضي باعث گسترش دانش رياضي مي شوند . اگرچه آنان به دنبال گسترش دانش پايه بوده بي آنكه لزوما موارد كاربردي آنرا بررسي كنند ، چنين دانش مطلقي , نوعي راهبرد مفيد در ايجاد وپيشبرد بسياري از دستاوردهاي مهندسي و علمي بوده است. بسياري از رياضيدانان محض به عنوان استاد در دانشگاه ها استخدام شده و زمان كاري خود را بين تدريس و امور تحقيقي تقسيم مي كنند. از طرف ديگر، رياضي دانان كاربردي با بهره گيري از نظريات و روشهاي رياضي مانند روشهاي محاسبه و مدل سازي رياضي به فرمولبندي وحل مسائل عملي در امور تجاري , دولتي , مهندسي و درعلوم اجتماعي، فيزيك و امور مربوط به زندگي مي پردازند . به عنوان مثال , براي برنامه ريزي درخطوط هوايي ميان شهر ها , بررسي اثر وميزان ايمني داروهاي جديد , خصوصيات آيروديناميكي پيش مدل اتومبيل ها و مقرون به صرفه بودن روشهاي ديگر توليد به تجزيه و تحليل كار آمدترين راه مي پردازند. امكان دارد رياضي دانان كاربردي كه دست اندر كار تحقيق و گسترش صنعتي هستند با حل مسائل مشكل باعث ايجاد يا تقويت روشهاي رياضي شوند .گروهي از رياضي دانان به نام رمزياب به تجزيه و تحليل و كشف سيستمهاي رمزي مي پردازند كه به صورت كد بوده واز طريق آنها اطلاعات نظامي , سياسي , مالي يا اجرايي و قانوني رد و بدل مي شود. رياضي دانان كاربري با يك مساله كاربردي شروع كرده , اجزاي تفكيك شده عمليات مورد نظر را در فكر مجسم مي كنند و سپس اجزا را به متغير هاي رياضي تبديل مي كنند. رياضي دانان غالبا با نمونه سازي توسط راه حلهاي فرعي ، بوسيله رايانه به تجزيه و تحليل روابط ميان متغيرها و حل مسائل پيچيده مي پردازند. قسمت اعظم كار در رياضي كار بردي به وسيله افراد با عنواني غير از رياضي دان انجام مي شود . در حقيقت ، از آنجائيكه رياضي شالوده ايست كه بر اساس آن بسياري ازرشته هاي علمي بنا مي شود شمار افرادي كه از فنون رياضي بهره مي گيرند بيشتر از كسانيست كه رسما" به عنوان رياضي دان شناخته ميشوند . به عنوان مثال , مهندسان , دانشمندان علوم رايانه , فيزك دانان و اقتصاد دانان از جمله كساني هستند كه به شكل وسيعي از علم رياضي بهره مي جويند. گروهي از افراد متخصص مانند آماردانان , آمارگيران , تحليل گران محقق در عمليات , در حقيقت در شاخه خاصي از رياضي متخصص مي باشند . بسيار پيش ميايد كه رياضي دانان كاربردي براي دستيابي به راه حلهايي در مسائل گوناگون با افراد ديگر شاغل در سازمان همكاري كنند . محيط كار رياضي دانان غالبا"در دفاتر راحت كار ميكنند .آنها اغلب جزئي از يك تيم متشكل از متخصصين علوم مختلف كه ممكن است شامل اقتصاددانان , مهندسان , دانشمندان علوم رايانه اي , فيزيك دانان , تكنسين ها و ديگر افراد باشد .تحويل به موقع پروژه ها , اضافه كاري , تقاضاهاي خاص براي اطلاعات يا تجزيه و تحليل و مسافرتهاي طولاني به منظور شركت در سمينارها يا كنفرانسها جزئي از شغل آنان محسوب مي شود . رياضي داناني كه در دانشگاهها مشغول به كارند معمولا"در زمينه تدريس و تحقيق مسئوليتهايي بر عهده دارند. اين افراد اغلب يا به تنهايي امور تحقيقاتي را اداره مي كنند و يا ازهمياري دانشجويان فارغ التحصيل و علاقه مند به موضوعات تحقيقي بهره مند مي شوند. فرصتهاي شغلي بيشترين فرصتهاي شغلي در سرويسهاي تحقيقي و آز مايشي , آموزشي , امنيتي , سيستمهاي تبادل كالا ، مديريتي و روابط عمومي وجود دارد . دربين مراكز توليدي ، صنايع هوا فضا و دارويي اصليترين استخدام كننده ها ميباشند . گروهي از رياضي دانان نيزدر بانكها و يا شركتهاي بيمه مشغول به كارند. آموزش و ادامه تحصيل بسياري از فرصتهاي شغلي كه در كارهاي پژوهشي براي رياضيدانان در نظر گرفته ميشود بصورت عضوي از يك تيم حرفه اي مي باشد . دانشمندان محقق در چنين مشاغلي يا در زمينه تحقيقات پايه و مباني نظري و يا در تحقيقات عملي براي ايجاد يا بهبود فرايند توليد مشغول به كار مي شوند . اكثر افرادي كه داراي مدرك ليسانس يا فوق ليسانس بوده و در صنايع خصوصي كار ميكنند , نه به عنوان رياضي دان بلكه بعنوان برنامه نويس رايانه , تحليل گر سيستم يا مهندس سيستم رايانه اي مشغول به كارند. دوره هاي رياضي مورد نياز اين مدرك شامل حساب ديفرانسيل , معادلات تفاضلي و جبر خطي و انتزاعي مي باشد . دوره هاي اضافي ميتواند نظريه هاي احتمالات و آمار , آناليز رياضي , آناليز عددي , توپولوژي , رياضيات گسسته و منطق رياضي را در برگيرد . بسياري از دانشگاه ها براي دانشجوياني كه در رشته رياضي تحقيق مي كنند , در زمينه رشته هاي مربوط به رياضي مانند علوم رايانه اي , مهندسي , فيزيك و اقتصاد دوره هايي بر گذار مي كنند . براي بسياري از كار فرمايان ,آگاهي همزمان در رياضي و علوم رايانه اي , اقتصاد يا ديگر علوم نوعي مزيت محسوب مي شود . يك محصل رياضي آينده نگر بايد تا جايي كه امكان دارد بسياري از دروس رياضي را در دبيرستان بياموزد . در مورد رياضيات كاربردي آموزش ديدن در زمينه هايي كه قرار است رياضي در آن به كار برده شود بسيار مهم است . رياضي به شكل وسيعي در علوم فيزيك ,آمار , مهندسي مورد استفاده قرار مي گيرد . علوم رايانه اي , تجاري , مديريت صنعتي , اقتصاد , امور مالي , شيمي , زمين شناسي , علوم روزمره و اجتماعي وابسته به رياضي كار بردي مي باشند . رياضي دانان بايد در زمينه برنامه نويسي رايانه اي از اطلاعات جامعي برخوردار باشند چرا كه اكثر محاسبات رياضي پيچيده و مدل سازي رياضي بوسيله رايانه انجام مي شود. رياضي دانان نياز به قدرت استدلال خوب و مداومت براي تشخيص ، آناليز و به كار بردن مباني رياضي در مسائل فني دارند . مهارتهاي ارتباطي مهم مي باشد چرا كه رياضي دانان بايستي در زمينه راه حلهاي مطرح شده با افرادي وارد بحث شوند كه احتمالا" اطلاع كافي ازعلم رياضي ندارند. چشم انداز كار انتظار مي رود كه در آينده از ميزان استخدام افراد به عنوان رياضي دان كاسته شود چرا كه مشاغل اندكي با نام علم رياضي وجود خواهد داشت . هر چند دارندگان مدرك PHD و فوق ليسانس با اطلاعات جامعي در زمينه رياضي و علوم مربوطه مانند مهندسي يا علوم رايانه اي احتمالا از فرصتهاي شغلي مطلوب تري برخوردار خواهند بود . با اين حال , بيشتر اين افراد به جاي عنوان رياضي دان از عنوان كاري بر خوردار مي شوند كه نمايانگر شغل آنان مي باشد . پيشرفت تكنولوژي معمولا باعث گسترش كاربرد علم رياضي مي شود و در آينده به افرادي كه در اين رشته مهارت يابند نياز پيدا خواهيم كرد . با اين وجود افرادي كه در امور صنعتي يا دولتي مشغول به كار مي شوند علاوه بر علم رياضي در علوم مربوطه نيز به دانش پيشرفته اي نياز خواهند داشت رياضي دانان براي يافتن شغل بايد با افرادي رقابت كنند كه در علوم مربوط به رشته رياضي تخصص دارند . موفق ترين جويندگان كاركساني هستند كه مي توانند مباني رياضي را در مسائل واقعي زندگي بكار برده و از مهارتهاي ارتباطي ,گروهي و رايانه اي مطلوبي بهره مند هستند . در صورت نياز سازمان آموزش و پرورش , اكثر دارندگان مدرك ليسانس مي توانند به عنوان دبير در مدارس مشغول بكار شوند. رقابت كاري در ميان دارندگان مدرك فوق ليسانس و در امور تحقيقي و نظري بسيار با لاست . از آنجايي كه اكثر مشاغل دانشگاهي در اختيار دارندگان مدرك PHDاست , لذا بسياري از فارغ التحصيلان رشته رياضي , بدنبال استخدام در مشاغل دولتي يا صنعتي مي باشند. ميزان در آمد در ايالات متحده در سال 2000, ميانگين درآمد سالانه رياضي دانان 68640 دلار بوده است.

عدد 666

اگر شما به دقت فيلمهايي با مضامين شيطاني و مرگ و روح را مشاهده كرده باشيد مطمئنا به كارگيري عدد ۶۶۶ در اينگونه فيلمها شما را متعجب ميكند. اين موضوع ما را بر آن داشت تا اين پست را اختصاص دهيم به كاوش در اسرار ۶۶۶.
۶۶۶ را علامت ابليس ناميده اند و اين شهرت را از كتاب وحي(فصل ۱۳، شعر ۱۸، براي كامل بودن) به دست آورده است. مشخصات جالبش همواره مورد توجه رياضيدانان بوده است. اكنون به طور خلاصه چند ويژگي رياضياتي عدد ۶۶۶ را بيان ميكنيم.
عدد
۶۶۶ به سادگي از جمع و تفريق توانهاي ششم سه عدد آغازين به دست مي آيد.
۶۶۶=۱۶-۲۶+۳۶

همچنين اين عدد برابر است با مجموع ارقام خود باضافه جمع توانهاي سوم ارقامش.

۶۶۶=۶+۶+۶+۶۳+۶۳+۶۳

تنها پنج عدد صحيح مثبت با چنين خاصيتي وجود دارند. آنها را پيدا كنيد.
جمع توانهاي دوم
۷ عدد اول برابر است با ۶۶۶.

۶۶۶=۲۲+۳۲+۵۲+۷۲+۱۱۲+۱۳۲+۱۷۲

جمع ۱۴۴ رقم ابتدايي عدد پي برابر ۶۶۶ است. نكته جالب اينجاست كه

۱۴۴=(۶+۶)×(۶+۶)

۶۶۶ يكي از دو عدد صحيحي ميباشد كه برابر مجموع توانهاي سوم از ارقام توان دوم خويش باضافه مجموع ارقام توان سومش است. يعني:

۶۶۶۲=۴۴۳۵۵۶
۶۶۶۳=۲۹۵۴۰۸۲۹۶
۶۶۶=(۴۳+۴۳+۳۳+۵۳+۵۳+۶۳)+(۲+۹+۵+۴+۰+۸+۲+۹+۶)
۲۵۸۳ عدد ديگريست كه داراي اين خاصيت ميباشد.
مجموع
۶۶۶ عدد اول حاوي عدد ۶۶ ميباشد.
[b]۲+۳+۵+۷+۱۱+...+۴۹۶۹+۴۹۷۳=۱۵۳۳۱۵۷=۲۳×۶۶۶۵۹

دقيقا دو راه براي قرار دادن علامت "+" در رشته ۱۲۳۴۵۶۷۸۹ داريم تا ۶۶۶ حاصل شود در صورتيكه تنها يك راه براي رشته ۹۸۷۶۵۴۳۲۱ وجود دارد.

۶۶۶=۱+۲+۳+۴+۵۶۷+۸۹
=
۱۲۳+۴۵۶+۷۸+۹

۶۶۶=۹+۸۷+۶+۵۴۳+۲۱
۶۶۶ مقسوم عليه ۱۲۳۴۵۶۷۸۹+۹۸۷۶۵۴۳۲۱ ميباشد.
عدد اسميت عدد صحيحي است كه مجموع ارقامش برابر است با مجموع ارقام عوامل اول خودش.
۶۶۶ يك عدد اسميت است. زيرا:
[b]۶۶۶=۲×۳×۳×۳۷
۶+۶+۶=۲+۳+۳+۳+۷

تابع (Phi(n در نظريه اعداد عبارت است از تعداد اعداد كوچكتر از n كه نسبت به n اولند. قابل توجه است كه:

Phi(۶۶۶)=۶×۶×۶

قضيه اساسي حساب

قضيه اساسي حساب در نظريه اعداد به اين شكل بيان مي‌شود:

هر عدد طبيعي بزرگ‌تر از يك را مي‌توان به طور يكتا به صورت حاصلضربي از اعداد اول نوشت. به عنوان مثال:

172 * 3 * 23 = 6936

حال اگر ترتيب نوشتن عاملها را در نظر نگيريم اين تنها تجزيه از عدد ۶۹۳۶ به عوامل اول است كه مي‌توانيم بنويسيم.



اثبات
اثبات اين قضيه شامل دو قسمت است. ابتدا نشان مي‌دهيم هر عدد را مي‌توان به صورت حاصلضربي از اعداد اول نوشت و سپس ثابت مي‌كنيم اين تجزيه يكتاست.

برهان: فرض مي‌‌كنيم عدد صحيح مثبتي مانند x وجود دارد كه نمي‌توان آن را به حاصلضرب اعداد اول تجزيه كرد. مجموعهٔ A را به اين شكل تعريف مي‌‌كنيم:
«مجموعه n‌هاي عضو اعداد طبيعي به طوريكه 1
A مخالف تهي است زيرا x عضوي از A است. پس بنا به اصل خوش ترتيبي اعداد طبيعي A عضو ابتدا دارد.

فرض مي‌كنيم m ابتداي A باشد (يعني m عضوي از A است و در نتيجه قابل تجزيه به اعداد اول هم نيست). بنابراين m اول نيست پس عددي مركب است يعني:

m = d1 * d2;1 < d1 < m,1 < d2 < m

بديهي است كه d1 و d2 عضو A نيستند زيرا از m كوچك‌ترند لذا هر دو تجزيه‌پذيرند. بنابراين:

d1 = p1 * p2 * ... * pk

d2 = q1 * q2 * ... * qs

به طوري كه p‌ها و q‌ها اول هستند. در نتيجه:

m = p1 * p2 * ... * pk * q1 * q2 * ... * qs

مي‌بينيم كه m تجزيه‌پذير شده و اين با فرض ما در تناقض است.

رياضيات در سنگ نبشته ها

در تمام تمدنهاي دنيا , كتابت به صورت ناقص اغاز شد و در طول سير خود,بصورت يكنواخت و تدريجي تكامل پيدا كرد . اما اين امر در مورد ماياها صدق نمي كند, زيرا هنر كتابت انها از همان اغاز تمدنشان به حد كمال رسيده بود . در رياضيات نيز ماياها از وجود صفر باخبر بوده اند , انها صفر را بصورت يك صدف ريز بكار ميبردند . همچنين به سيستم اعشاري,لگاريتم و ديگر محاسبات رياضي اشنا بوده اند پرفسور " انر " در اين باره چنين نوشته است : موقعي كه تصويري در يك كتيبه مثلا 10 مرتبه يا بيشتر تكرار ميشود و يا تعداد پله هاي يك هرم تا انتهاي بصورت دقيق و حساب شده محاسبه ميگردد, اين نشانه يك محاسبه دقيق رياضي ميباشد . تمام هنر ماياها در رياضيات متمركز شده بود كه در نهايت به روي كتيبه هاي سنگي منتقل شده است . علم نجوم نيز در ماياها نسبت به بقيه اقوام ان سرزمين به مراتب پيشرفته تر بوده است, اگاهي انها به سيستم منظومه خورشيدي و صور فلكي تعجب برانگيز است . يك طاق با عظمت به يادبود كنگره ستاره شناسي كه در 2 ماه سپتامبر 503 ميلادي در "كوپان" ان سرزمين برپاگرديد,بنا شده است ( واقعا جاي تعجب دارد كه اين قوم اسرارانگيز اين همه علم و معرفت را از كجا اموخته اند.؟. كتيبه اي كه نشان از گرامي داشتن اين كنگره ستاره شناسي كه در ان بزرگترين عالمان و ستاره شناسان مايا در ان شركت كردند با تاريخ مختص مايا بر طاق يكي از بناها نقش بسته است.!! ) ساختمان رصدخانهي انها بطور شگفت انگيزي مشابه رصدخانه هاي امروزي ما ميباشد,منتهي بدون وجود دستگاه و الات مدرن ستاره شناسي امروز, و جاي تعجب اينجاست كه انها بدون داشتن اين قبيل تجهيزات چگونه توانسته اند اطلاعات دقيقي در مورد اجرام سماوي كسب نمايند.!! ايا براستي انها " اربابان كره زمين " بوده اند.؟ اجازه ديد يك نگاه كلي به شهرهاي مايا بيندازيم . شهرهاي انها با جلال و جبروت, تميز و مرتب بوده است . ميادين و چهارراه هاي انها وسيع و سطح خيابانها يا سنگفرش بوده و يا با ماده سفيد سيمان مانندي پوشيده شده بود . معابد انها مزين به تصاوير عظيم موجودات عجيب و باغچه ها و اب نماهاي زيبا در همه جا بچشم ميخورد. يك سيستم فاضلاب بهداشتي تما شهر را در بر گرفته . جاده هاي انها بخوبي جاده هاي اينكاها نبوده ولي اين چيزي از ارزش جاده هاي انها كم نمي كند . مثلا جادهء به طول 100 كيلومتر از كوبا به ياكزونا كه با سيمان پوشيده شده و طرفين ان نرده كشي شده بود و تماما از يك منطقه صعب العبور باتلاقي گذشته است . سئوال اين است كه " ماياها كه از چرخ استفاده نميكردند و هيچ گاري و يا وسيله چرخداري در شهر انها نبوده اين جاده ها را براي چه احداث كردند.؟" . ماياها انواع مختلف گياهان را پرورش داده و رنگ هاي متنوع گياهي توليد مي كرده اند – مثل ابي , بنفش,نيلي و رنگهاي ديگر . انها همچنين از لاستيك براي ساختن پاي افزار,توپ بازي و ضد اب نمودن لباسهايشان استفاده ميكردند ( البته منظور از لاستيك درختي ميباشد كه از ان ضمغي بدست مي ايد كه خاصيت لاستيك دارد و به همين نام انرا ميشناسند ) انها حتي از برگهاي فندوق وحشي و با استفاده از چسب و صمغ , كاغذ و كتاب درست ميكردند . با وجود اينها تفاوت تكنيك انها غير عادي نبود . اين خلاصه اي بود از تمدني كه "مايا "نام دارد و همچنان اسرار اميز باقي مانده . هنوز كسي نميداند كه انها اين همه علم را از كجا بدست اوردند . چرا مهاجرت ملي كردند . و اين تمدن عظيم چگونه از ميان رفت . اميدوارم توانسته باشم با معرفي اين قوم اسرار انگيز كمكي هر چند كوچك در جهت معرفي اين قوم پر معما كرده باشم . پايان


"رياضيات در سنگ نبشته ها "
در تمام تمدنهاي دنيا , كتابت به صورت ناقص اغاز شد و در طول سير خود,بصورت يكنواخت و تدريجي تكامل پيدا كرد . اما اين امر در مورد ماياها صدق نمي كند, زيرا هنر كتابت انها از همان اغاز تمدنشان به حد كمال رسيده بود . در رياضيات نيز ماياها از وجود صفر باخبر بوده اند , انها صفر را بصورت يك صدف ريز بكار ميبردند . همچنين به سيستم اعشاري,لگاريتم و ديگر محاسبات رياضي اشنا بوده اند پرفسور " انر " در اين باره چنين نوشته است : موقعي كه تصويري در يك كتيبه مثلا 10 مرتبه يا بيشتر تكرار ميشود و يا تعداد پله هاي يك هرم تا انتهاي بصورت دقيق و حساب شده محاسبه ميگردد, اين نشانه يك محاسبه دقيق رياضي ميباشد . تمام هنر ماياها در رياضيات متمركز شده بود كه در نهايت به روي كتيبه هاي سنگي منتقل شده است . علم نجوم نيز در ماياها نسبت به بقيه اقوام ان سرزمين به مراتب پيشرفته تر بوده است, اگاهي انها به سيستم منظومه خورشيدي و صور فلكي تعجب برانگيز است . يك طاق با عظمت به يادبود كنگره ستاره شناسي كه در 2 ماه سپتامبر 503 ميلادي در "كوپان" ان سرزمين برپاگرديد,بنا شده است ( واقعا جاي تعجب دارد كه اين قوم اسرارانگيز اين همه علم و معرفت را از كجا اموخته اند.؟. كتيبه اي كه نشان از گرامي داشتن اين كنگره ستاره شناسي كه در ان بزرگترين عالمان و ستاره شناسان مايا در ان شركت كردند با تاريخ مختص مايا بر طاق يكي از بناها نقش بسته است.!! ) ساختمان رصدخانهي انها بطور شگفت انگيزي مشابه رصدخانه هاي امروزي ما ميباشد,منتهي بدون وجود دستگاه و الات مدرن ستاره شناسي امروز, و جاي تعجب اينجاست كه انها بدون داشتن اين قبيل تجهيزات چگونه توانسته اند اطلاعات دقيقي در مورد اجرام سماوي كسب نمايند.!! ايا براستي انها " اربابان كره زمين " بوده اند.؟ اجازه ديد يك نگاه كلي به شهرهاي مايا بيندازيم . شهرهاي انها با جلال و جبروت, تميز و مرتب بوده است . ميادين و چهارراه هاي انها وسيع و سطح خيابانها يا سنگفرش بوده و يا با ماده سفيد سيمان مانندي پوشيده شده بود . معابد انها مزين به تصاوير عظيم موجودات عجيب و باغچه ها و اب نماهاي زيبا در همه جا بچشم ميخورد. يك سيستم فاضلاب بهداشتي تما شهر را در بر گرفته . جاده هاي انها بخوبي جاده هاي اينكاها نبوده ولي اين چيزي از ارزش جاده هاي انها كم نمي كند . مثلا جادهء به طول 100 كيلومتر از كوبا به ياكزونا كه با سيمان پوشيده شده و طرفين ان نرده كشي شده بود و تماما از يك منطقه صعب العبور باتلاقي گذشته است . سئوال اين است كه " ماياها كه از چرخ استفاده نميكردند و هيچ گاري و يا وسيله چرخداري در شهر انها نبوده اين جاده ها را براي چه احداث كردند.؟" . ماياها انواع مختلف گياهان را پرورش داده و رنگ هاي متنوع گياهي توليد مي كرده اند – مثل ابي , بنفش,نيلي و رنگهاي ديگر . انها همچنين از لاستيك براي ساختن پاي افزار,توپ بازي و ضد اب نمودن لباسهايشان استفاده ميكردند ( البته منظور از لاستيك درختي ميباشد كه از ان ضمغي بدست مي ايد كه خاصيت لاستيك دارد و به همين نام انرا ميشناسند ) انها حتي از برگهاي فندوق وحشي و با استفاده از چسب و صمغ , كاغذ و كتاب درست ميكردند . با وجود اينها تفاوت تكنيك انها غير عادي نبود . اين خلاصه اي بود از تمدني كه "مايا "نام دارد و همچنان اسرار اميز باقي مانده . هنوز كسي نميداند كه انها اين همه علم را از كجا بدست اوردند . چرا مهاجرت ملي كردند . و اين تمدن عظيم چگونه از ميان رفت

اضطراب رياضي

هدف اين مقاله بررسي اثر بخشي حالت هاي عاطفي و هيجاني ، به عنوان مولفه هاي شخصيت يادگيرنده بررفتار رياضي است. امروزه اضطراب رياضي مورد توجه و علاقه بسياري از متخصصان روان شناسي آموزش رياضي و نيز روانشاسان شناختي است تا از اين طريق تأثيرهاي هيجاني و بر انگيختگي هاي رواني شاگردان را در كار رياضي بشناسند و براي كنترل و مهارعلمي آنها راه كارهاي عملي بيابيد . در اين ميان اضطراب و فشار رواني و تعامل آنها با يادگيري رياضيات جايگاه ويژه اي را در امر آموزش و يادگيري رياضيات مدرسه و حتي دانشگاهي به خود اختصاص داده است ؛ هر چند كه در محافل علمي و آموزشي ما كمتر به آن توجه شده است.
پژوهش ها در سال هاي اخير نشان داده اند كه اضطراب رياضي غير معقول ( اضطراب مرضي ) با ايجاد مانع هاي جدي شناختي و آموزشي در فراگيران ضمن ابتلاي آنان به ايست فكري و نقصان قابليت هاي استدلالي موجبات تضعيف خود باوري رياضي را در آنها فراهم مي آورد و با ايجاد نگرش منفي به شدت بر عملكرد پيشرفت رياضي فراگيران موثر مي افتد. نوشتار حاضر با مروري اجمالي بر ادبيات كار در اين عرصه مي كوشد تاضمن ارائه تعريفي از اضطراب رياضي چگونگي تعامل ميان رفتار رياضي افراد و مقوله اضطراب رياضي را نشان دهد. واژگان كليدي : اضطراب ، اضطراب رياضي ، حافظه فعال ، سبك شناختي .
[b]مقدمه نوشتار حاضر بر آن است تا چگونگي اثر بخشي حالات عاطفي و هيجاني را كه از مؤلفه هاي شخصيت فرد است بر رفتار رياضي فرد مورد بررسي قرار دهد. متأسفانه به رغم جدي بودن تأثير عوامل رواني و هيجاني بر عملكرد علمي افراد ، به ويژه در علوم پايه واز جمله رياضيات ، مطالعه در خور توجهي در اين باره به زبان فارسي موجود نيست. در حالي كه شناخت و كنترل عوامل ( دروني و بيروني ) پيش برنده يا بازدارنده فراگيران در ميدان فعاليت هاي رياضي مورد توجه والدين ، مربيان و پژوهشگران است .
تغيير حالت هاي رواني و برانگيختگي ها ي آشكار فراگيران در مقابله با وضعيت هاي مختلف آموزشي و يادگيري رياضيات ، به ويژه پژوهشگران آموزش رياضي را مصمم تر مي سازد تا تأثيرات هيجاني و برانگيختگي هاي رواني را بر رفتار رياضي يادگيرنده ها – خواه دانش آموز يا دانشجو – شناخته و براي كنترل علمي و عملي آن در پي چاره بر آيند.
در اين مقاله نگارنده با بررسي و مرور منابع در دسترس و توجه به واقعيت هاي موجود در امر تعليم و تربيت رياضيات كشور نكاتي را خاطر نشان مي كند. به منظور آشكار شدن ارتباط هاي ساختاري موضوع ابتدا رفتار رياضي تعريف مي شود.
رفتار رياضي 1: ناظر بر چگونگي بروز دانش رياضي فرد در موقعيت هاي مختلف است كه تحت تأثير عوامل دروني و بيروني واقع مي شود. عوامل دروني و عوامل بيروني به ترتيب نقش بردارهاي تسهيل كننده و بازدانده رفتار رياضي را ايفا مي كنند ؛ شكل 1 تا حدودي اين عوامل را ترسيم مي كند. 1.Math behaviour به نظر مي رسد عوامل ارائه شده در شكل 1 مي توانند با اثر گذاري بر عملكرد رياضي فرد موجبات رشد يا بازدارندگي علمي او را فراهم آورند. در اين ميان هيجان ها به مثابه يك عامل دروني و مؤثر در ساختار شخصيتي هر فرد مورد بحث قرار مي گيرند ؛ با توجه به اين كه جداسازي مقوله شناخت از فرآيند هاي عاطفي موجب خلط در بازتابش دقيق تجربه انساني مي شود ( اسكمپ ، 1989).
هيجان خوب است يا بد ؟ هيجان را معمولاً بي قراري فكر ، احساس و يا حالت تحريك شده عقلاني 2" تلقي مي كنند كه مانند بسياري از مؤلفه هاي مربوط به طبيعت انسان و فعاليت هايش تنها در جريان رشد شخصيت و تفكر او شناخته مي شود. هيجان ها ممكن است مخل يا تسهيل گر جريان تفكر و رشد آدمي باشند ؛ كه در صورت مخل بودن بايد اثر بخشي آنها را بر عملكرد فرد به دقت كنترل كرد و آن را كاهش داد ، به طور كه به عاملي سودمند در خدمت پويايي انديشه و شخصيت آدمي در آيد. روان شناسان ( اسكمپ ، 1989) هيجان مؤثر در كارايي و كفايت افراد را به صورت زير تقسيم بندي مي كنند: الف ) فشار رواني ؛ ب)اضطراب ؛ ج) اطمينان د) ناكامي ؛ ه) ايمني – بي هراسي پنج مقوله فوق در نيل به هدف ها تأثير گذارند. در اين ميان اضطراب و فشار رواني جايگاه ويژه اي در آموزش و يادگيري رياضيات مدرسه اي و حتي دانشگاهي به خود اختصاص داده است .
به عبارتي ، دنياي رياضيات نيز از اين مشخصه عمده قرن بيستم ، يعني اضطراب ، بي نصيب نمانده است و به دليل ويژگي هاي خاص و طبيعي اين شاخه از دانش و معرفت بشري ، آسيب پذيري فراگيران را بيش از ساير شاخه ها ي علوم محتمل مي سازد. اينك قبل از پرداختن به اضطراب رياضي ، مناسب است كه ابتدا تصويري روشن از مقوله اضطراب به طور كلي داشته باشيم . اضطراب چيست ؟ در متون روان شناسي اضطراب با معاني گوناگون به كار رفته است. به طور كلي اضطراب بيانگر حالت هيجاني نامطلوبي است كه محصول فشار و كشمكش هاي رواني افراد مي باشد و مشخصه بارز آن ترس از وقوع حوادث آينده است . چنانچه اين ترس و تشويش مبهم و پراكنده بوده و وابسته به چيز معيني نباشد و يا به صورت افراطي در آيد آن را اضطراب نوروتيك گويند ( استات 1، 1990). Skep 2. Oxford Concise Dictionary1- .
هرگاه فرد در وضعيتي قرار گيرد كه در رويارويي با مشكلات وخطرهاي احتمالي از اعمال توانايي هاي خود نامطمئن باشد ، آن گاه او مضطرب قلمداد مي شود. مانند رانندگي روي سطح لغزنده يا شركت در امتحان رياضي و… اصولاً تمايل به انتظار ناخوشايند از نتيجه كارها يكي از ويژگي هاي افراد مضطرب است. به علاوه ، بنابر پژوهش هاي انجام گرفته ( اليس و هانت ، 1993) اضطراب و افسردگي به نحوي به يكديگر مربوطند ؛ به طوري كه افراد افسرده غالباً مضطرب هستند.
نكته قابل توجه اينست كه بسيارند كساني كه به نحوي دچار اضطراب و عوارض ناشي از آن هستند ، در حالي كه شناخت درستي از وضعيت رواني خويش ندارند و طبعاً در صدد بهبود آن بر نمي آيند. حال به طرح پرسش ها و عناوين بحث اصلي يعني فشار رواني واضطراب در آموزش و يادگيري رياضيات پرداخته مي شود.
1- اضطراب رياضي چيست ؟
2- وجود مقوله فشار رواني و اضطراب رياضي و تأثير هاي آن بر رفتار رياضي فراگيران تا چه اندازه اي واقعي و پذيرفتني است ؟
3- دانش رياضي معلمان ، والدين ، چگونه ممكن است ، فراگيران را در معرض ابتلا به پديده اضطراب رياضي قراد دهد ؟
4- اضطراب رياضي و تأثير آن بر فرآيند هاي شناختي و پردازش اطلاعات ، سبك هاي شناختي و يادگيري و طرحواره مفهومي چگونه است ؟
5- اضطراب رياضي و اطمينان رياضي چگونه با يكديگر مربوط هستند ؟
6- اضطراب رياضي و شيوه هاي آموزش در رياضيات .
7- اضطراب رياضي و جنس .
8- آزمون هاي اندازه گيري اضطراب رياضي .
9- شيوه هاي علمي كنترل وكاهش اضطراب رياضي به منظور بهره وري بيشتر و رشد رفتار رياضي .
اضطراب رياضي چيست ؟ اضطراب رياضي وضعيتي رواني است كه به هنگام رويارويي با محتواي رياضي ، چه در موقعيت آموزش و يادگيري ، چه در حل مسائل رياضي و يا سنجش رفتار رياضي در افراد پديد مي آيد. اين وضعيت معمولاً توأم با نگراني زياد ، اختلال و نابساماني فكري ، افكار تحميلي وتنش رواني و در نتيجه ايست تفكر مي باشد.
اضطراب رياضي و تأثير آن بر رفتار رياضي يادگيرنده ها تا چه اندازه اي واقعي و پذيرفتني است ؟
اضطراب به طور كلي واضطراب رياضي به طور ويژه مي تواند ميزان حواس پرتي و هجوم افكار نامربوط را به ذهن افزايش دهد و با ايجاد اختلال در ساختار هاي ذهني و فرآيندهاي پردازش اطلاعات موجب تحريف ادراكات افراد از پديده ها و مقوله هاي رياضي شود. پژوهش هاي انجام گرفته درباره اضطراب وعملكرد افراد گواه نيرومندي بر اين واقعيت است كه اضطراب ، افسردگي و به طور كلي فشارهاي رواني موجب كاهش رفتار مفيد و مؤثر اشخاص در مقابله با واقعيت هاي گوناگون مي شود ، به ويژه هنگامي كه تكاليف خواسته شده داراي گام هاي فكري بيشتري باشند ( دارك ، ) باكستون 3( 1981) وجود اضطراب بالا در كلاس رياضي را به مثابه پديده اي خطرناك و بسيار مهم با تأثيرات دراز مدت مي پذيرد و بحث مي كند كه چگونه هيجان هاي قوي ( از جمله اضطراب رياضي ) مي توانند موجب ايست توانايي و قدرت استدلال و نقصان در عملكرد مفيد فرد بشوند و اورا در دوري باطل گرفتار سازند. شكل زير نمايشگر دورهاي باطلي است كه شخصي مضطرب در آنها گرفتار مي شود.
1- بنابر اين جانستون (1986) پيچيدگي يك تكليف يا گام هاي فكري آن (Z-demands) عبارت است از تعداد گام هايي كه كم توان ترين دانش آموز ، بر اساس آموزش هاي قبلي اش براي حل موفقيت آميز يك تكليف ، طي مي كند.
2.Darke 3. Buxton كوتاه سخن ، دانش آموز درانجام فعاليت هاي رياضي دچار اضطراب شده در نتيجه نمي تواند درست بيانديشد و دانسته هاي خود را سازمان دهند ؛ از اين رو غالباً به كار و تلاش بيشتر مي پردازد ؛ در حالي كه اين تلاش زياد يادگيري معنا دار مفاهيم رياضي را براي او به همراه ندارد.
بدين ترتيب با گرفتار شدن در ا ين دور دچار نااميدي وافسردگي مي شود و بيم و نگراني از عدم موفقيت در امتحان ، ميزان اضطراب رياضي او را به گونه اي چشمگير افزايش مي دهد و آنگاه دورهاي باطلي مانند (شكل 2) همزمان و هماهنگ رخ خواهند داد. لئون 1(1992) اضطراب رياضي را به مثابه عاملي مي داند كه موجب اجتناب از رياضي مي شود و معتقد است كه ميزان اضطراب رياضي با زمينه دانش رياضي و پيشرفت رياضي فرد ارتباطي معكوس و با اجتناب از رياضي ارتباطي مستقيم دارد.
به علاوه ، او خاطر نشان مي سازد كه موفقيت در يك درس رياضي لزوماً موجب كاهش اضطراب رياضي در فرد يادگيرنده نخواهد شد. 1.Leon از سوي ديگر در برخي پژوهش ها ( مانند كلوت 1، 1984) ارتباط بين اضطراب رياضي و پيشرفت رياضي نشان داده شده است ؛ به گونه اي كه پيشرفت بالا و مطلوب در رياضيات را مرتبط با اضطراب اندك فراگيران دبيرستاني تا دانشگاهي دانسته اند.
بنابر اين ميزان سطح اضطراب رياضي در افراد مي تواند به عنوان عامل پيش بيني كننده در پيشرفت رياضي آنان به شمار آيد. اصولاً فرد مضطرب ، افسرده و كم انگيزه است و براي انجام تكليف هاي پيچيده تر رياضي كه نيازمند گام هاي فكري بيشتر مي باشد از قابليت هاي كمتري برخوردار است ؛ زيرا بر اساس قانون پذيرفته شده يركز – دادسون 2 " بهترين ميزان انگيزه براي حل يك تكليف ، حد متوسط پيچيدگي در تكليف است " يعني پيچيدگي كم يا پيچيدگي زياد با ميزان انگيزه همبستگي منفي دارند ، اما پيچيدگي در حد متوسط با ميزان انگيزه همبستگي مثبت نشان مي دهند.
دانش رياضي ، معلمان و والدين ، چگونه ممكن است فراگيران را در معرض ابتلا به بيماري اضطراب رياضي قرار دهند ؟ برخي از پژوهشگران ( كلوت ، 1984) نوعي اضطراب معتدل را براي انجام فعاليت هاي مختلف از جمله رفتار رياضي مناسب و ضرور مي دانند ومعتقدند كه افراد با اضطراب پايين در عرصه كار و يادگيري به طور كلي دچار نوعي خونسردي وبي تفاوتي هستند تا جايي كه اين اضطراب ملايم هرگز موجبات پيشرفتشان را فراهم نخواهد آورد.
هر چند كه اضطراب كنترل شده و معتدل لازمه پويايي حيات بشر و مقوله اي طبيعي براي نيل به هدف ها و تكامل بشر است ، اما سخن از اضطراب بالا يا اضطراب مرضي است كه مخل جريان تفكر سالم و رشد يابنده در فرد مي باشد و به صورت مانعي جدي در برابر فعاليت هاي علمي او قرار مي گيرد. چنانچه اضطراب را به مثابه عاملي اجتناب ناپذير در عرصه آموزش و يادگيري رياضيات بدانيم ، بدون ترديد بسياري از فراگيران دچار عجز و ناتواني در عملكرد رياضي خود خواهند شد.
1.Clute 2.Yarkes-Dodson از سوي ديگر طبيعت دانش رياضي و امكان تحقق يادگيري غير معنادار براي فراگيران ، نگرش هاي غير علمي وتعليم و تربيت در رياضيات واعمال فشارهاي ناسازگار با ظرفيت هاي عقلاني فراگيران ، عدم توجه به تفاوت هاي فردي و سبك هاي يادگيري آنها و مشاركت هاي مؤثر در كار ، چگونگي ونوع اقتدار علمي واخلاقي و شخصيتي معلمان در ايجاد روابط متعادل وعدم اعتماد متقابل در كلاس درس رياضي ، هراس هاي ناشي از عدم توفيق در امتحان و انتظارهاي نابجاي والدين از فرزندان ، در شمار عواملي هستند كه مي توانند موجبات بروز پديده اضطراب رياضي را در افراد فراهم آورند و احساس رضايت از فعاليت هاي رياضي را به ناخرسندي و نفرت مبدل كنند. كورنو1( 1991) با طرح ايده موانع شناختي ، به مثابه عوامل شناختي ، به مثابه عوامل بازدارنده در فعاليت هاي رياضي ، معتقد است كه با درك آن موانع مشكلات دانش اندوزان در فرآيند يادگيري بهتر شناسايي و طبعاً راهبردهاي آموزشي لازم فراهم مي آيد . اين موانع عبارتند از :
1- موانع ژنتيكي و روان شناختي كه محصول ساختمان ذهني سني خاص است و با تحول شناختي و تغيير مراحل قابل رفع است.
2- موانع آموزشي كه در نتيجه طبيعت شيوه آموزشي و شخصيت معلم را برنامه هاي درسي رخ مي دهند.
3- موانع معرفت شناسي كه در نتيجه طبيعت خود مفاهيم و مقوله هاي رياضي روي مي دهند. بديهي است كه معلمان و برنامه ريزان رياضي با شناخت عوامل سه گانه پيش گفته و يافتن راه هاي غلبه بر آنها مي توانند به ميزان قابل ملاحظه اي كشمكش هاي شناختي و فكري موجود در ساختار ذهني يادگيرندگان را ، كه گاه در بروز اضطراب رياضي مؤثر مي افتند ، كاهش دهند و بستري مناسب را براي يادگيري معنادار مفاهيم و مهارت هاي رياضي فراهم آورند.
1.Curno 2. didactical 3. epistemological اضطراب رياضي و تأثير آن برفرآيند هاي شناختي و پردازش اطلاعات ، حافظه ، سبك هاي شناختي و يا طرحواره هاي مفهومي. بر اساس پژوهش هاي انجام گرفته ، حالات هيجاني مانند فشارهاي رواني ، اضطراب وافسردگي مي توانند نقشي مهم در فرآيند هاي شناختي و حافظه ايفا كنند. اليس1( 1993) و ولز 2(1994) معتقدند كه در سطح شناختي اضطراب در تقابل با نقش مؤثر حافظه قرار مي گيرد ؛ به طوري كه فراگيران مي كوشد تا يك مفهوم رياضي يا يك ايده كليدي را در حل معادلات درجه دوم و… به خاطر بسپارد . ولي هنگامي كه او دچار اضطراب غير معمول رياضي باشد ، اين يادگيري وبه خاطر سپاري را به مراتب دشوارتر مي يابد. در حقيقت فراگيران در موقعيت هاي آموزشي تحت فشار قرار مي گيرند تا مطالب را بفهمند ( يادگيري معنا دار) يا يادگيري طوطي وار ( غير معنادار ) را دنبال كنند.
بنابر اين افراد مضطرب با مانعي پيچيده تر كه نتيجه اي از اضطراب رياضي و يادگيري طوطي وار است ، روبه رو خواهند بود. فراگيران در يادگيري و آموزش رياضي بيشتر تحت فشار هستند كه بفهمند تا به خاطر بسپارند . اما بايد توجه داشت كه فهم معنادار مفاهيم رياضي به معني رد و نفي به كارگيري حافظه ونقش مؤثر آن در چگونگي پردازش اطلاعات نمي شود ، بلكه فهميدن محصول تلاش مؤثر حافظه فعال 3 يا ظرفيت عقلاني و حافظه دراز مدت در نظريه پردازش خبر 4( IPT) است كه دسترسي فرد را به دانسته هايش در شرايط و موقعيت هاي مختلف بهتر فراهم مي آورد.
در هر حال " فهميدن " جانشيني براي حافظه نيست . در عين حال دسترسي به كدهاي اطلاعاتي قابل ذخيره شده در حافظه دراز مدت نيز موضوعي است كه با نظريه به هر (IPT) تبيين است. حال ممكن است فرد زنجيره اي از ايده هاي به هم پيوسته رياضي را بفهمد ومهارت هايي را نيز بياموزد ، ولي با گذشت زمان آنها را از ياد ببريد.
در اين ميان اضطراب رياضي و شرايط دلهره آور كلاس و امتحان رياضي طبعاً موجب اختلال نظم و انسجام فكري و مختل شدن فرآيند پردازش اطلاعات و نقش مؤثر حافظه در دانش آموز مي شود تا جايي كه وي گاه بديهيات و مسائل ابتدايي را نيز به ياد نمي آورد. 1.Ellis 2.Wells 3.Working memory 4.Information Processing Theory به علاوه به نظر مي رسد ، كه افراد با اضطراب رياضي بالا كمتر قادرند تا از حافظه 7 فعال يا ظرفيت محاسبه مركزي خود كه پردازش 2 قطعه خبري واطلاعاتي را در هر لحظه برعهده دارد ، به نحو مطلوبي بهره گيري كند. در واقع به جاي انديشه هاي سازمان يافته و مربوط افكار مزاحم و نامربوط ناشي از نگراني ها و اضطراب ها ، بخش مهمي از ظرفيت عقلاني و توانايي پردازش اطلاعات را تحت تأثير قرار مي دهند وموجبات نقصان بازدهي و ضعف عملكرد علمي را فراهم مي آورند. در بررسي ارتباط بين سبك هاي شناختي و اضطراب هر چند كار چنداني انجام نشده است ، ولي هادفيلد 1( 1986) معتقد است كه اضطراب بالاتر در ميان افراد ميدان وابسته * بيشتر اتفاق مي افتد تا در ميان گروه هايي با سبك شناختي ميدان ناوابسته . در عين حال مطالعات زيادي لازم است تا بررسي شود كه چگونه اضطراب رياضي با سبك هاي شناختي افراد و نيز فرايند هاي پردازش اطلاعات علمي و استفاده از ظرفيت هاي عقلاني آنان در تعامل قرار مي گيرد. اضطراب رياضي و اطمينان رياضي پژوهش هاي بسياري نشان داده اند كه ارتباط معنا داري بين اعتماد به توانايي يادگيري رياضي ( اطمينان رياضي ) با پيشرفت در رياضيات وجود دارد (ولز، 1994) ، به طوري كه افراد با اطمينان بالاي رفتار رياضي مطلوبي دارند. فنما و شرمن 2( 1976) نشان داده اند كه اضطراب رياضي با اطمينان رياضي ارتباطي نيرومند ولي منفي دارد.

شش عدد حاكم بر كل جهان كدام است؟

شش عدد بر كل جهان حاكم است كه از زمان انفجار بزرگ شكل گرفته اند. اگر هر كدام از اين اعداد با مقدار فعلي آن كمي فرق داشت، هيچ ستاره، سياره يا انساني در جهان وجود نداشت. قوانين رياضي عامل تحكيم ساختار جهان است.
اين متن خلاصه مقاله پروفسور سرمارتين ريس، يكي از پيشگامان كيهان شناسي در جهان است. وي استاد تحقيقات انجمن سلطنتي در دانشگاه كمبريج و داراي عنوان اخترشناس سلطنتي است. در عين حال وي عضو انجمن سلطنتي، آكادمي ملي علوم ايالات متحده و آكادمي علوم روسيه است. وي ضمن مشاركت با چندين همكار بين المللي ايده هاي بسيار مهمي در مورد سياهچاله ها، تشكيل كهكشان ها و اخترفيزيك انرژي بالا داشته است.
شش عدد بر كل جهان حاكم است كه از زمان انفجار بزرگ شكل گرفته اند. اگر هر كدام از اين اعداد با مقدار فعلي آن كمي فرق داشت، هيچ ستاره، سياره يا انساني در جهان وجود نداشت. قوانين رياضي عامل تحكيم ساختار جهان است.
اين قاعده فقط شامل اتم ها نمي شود، بلكه كهكشان ها، ستاره ها و انسان ها را نيز در برمي گيرد. خواص اتم ها ـ از جمله اندازه و جرمشان، انواع مختلفي كه از آنها وجود دارد و نيروهايي كه آنها را به يكديگر متصل مي كند ـ عامل تعيين كننده ماهيت شيميايي جهاني است كه در آن به سر مي بريم. تعداد بسيار اتم ها به نيروها و ذرات داخل آنها بستگي دارد. اجرامي را كه اخترشناسان مورد بررسي قرار مي دهند ـ سيارات، ستارگان و كهكشان ها ـ توسط نيروي گرانش كنترل مي شوند و همه اين موارد در جهان در حال گسترشي روي مي دهد كه خواصش در لحظه انفجار بزرگ اوليه(Bigbang) در آن تثبيت شده است.
علم با تشخيص نظم و الگوهاي موجود در طبيعت پيشرفت مي كند، بنابراين پديده هاي هر چه بيشتري را مي توان در دسته ها و قوانين عام گنجاند. نظريه پردازان در تلاشند اساس قوانين فيزيكي را در مجموعه هاي منظمي از روابط و چند عدد خلاصه كنند. هنوز هم تا پايان كار راه زيادي باقيمانده است، اما پيشرفت هاي به دست آمده نيز چشمگيرند.
در آغاز قرن بيست و يكم، شش عدد معرفي شدند كه به نظر مي رسد از اهميت فوق العاده اي برخوردارند. دو تا از اين اعداد به نيروهاي اساسي مربوط مي شوند؛ دو تاي ديگر اندازه و «ساختار» نهايي جهان ما را تثبيت مي كند و بيانگر آن هستند كه آيا جهان براي هميشه امتداد مي يابد يا خير؛ و دو عدد باقيمانده بيانگر خواص خود فضا هستند. اين شش عدد با يكديگر« نسخه»اي را براي جهان تشكيل مي دهند.
گذشته از اين جهان نسبت به مقدار اين شش عدد بسيار حساس است: اگر يكي از اين اعداد تنظيم نشده باشد، آن وقت نه ستاره اي در جهان وجود مي داشت و نه حياتي. سه تا از اين اعداد (كه به جهان در مقياس بزرگ وابسته است) به تازگي با دقت زياد اندازه گيري شده است. سر برآوردن حيات انسان در سياره زمين حدود ۵/۴ ۵.۶ ميليارد سال به درازا كشيده است. حتي پيش از آنكه خورشيد ما و سيارات گرداگرد آن تشكيل شوند، ستاره هاي قديمي تر، هيدروژن را به كربن، اكسيژن و ديگر اتم هاي جدول تناوبي تبديل مي كردند. اين فرآيند حدود ده ميليارد سال به درازا كشيده است. اندازه جهان قابل مشاهده تقريباً برابر فاصله اي است كه نور بعد از انفجار بزرگ پيموده است بنابراين اين جهان قابل مشاهده كنوني بايد بيش از ۱۰ ميليارد سال نوري وسعت داشته باشد.(X=Ct ,t=۱*۳۶۰۰*۲۴*۳۶۵,C=۳*۱۰^۸)
بسياري از مناقاشات پردامنه و طولاني مباحث كيهان شناختي امروزه ديگر پايان يافته، و در مورد بسياري از مواردي كه پيش از اين موضوع بحث بودند، ديگر مناظره اي صورت نمي گيرد. اينشتين در يكي از مشهورترين كلمات قصار خود مي گويد: «غيرقابل درك ترين چيز در مورد جهان، قابل درك بودن آن است.» وي در اين عبارت بر شگفتي خود در مورد قوانين فيزيك كه ذهن ما نسبتاً با آنها خو گرفته و تا حدودي با آنها آشناست تاكيد مي كند، قوانيني كه نه فقط در روي زمين بلكه در دوردست ترين كهكشان ها هم مصداق دارد. نيوتن به ما آموخت همان نيرويي كه سيب را به سمت زمين مي كشد، ماه و سيارات را در مدار خود به گردش در مي آورد. هم اكنون مي دانيم همين نيروست كه عامل تشكيل كهكشان ها است و همين نيروست كه باعث مي شود ستاره ها به سياهچاله تبديل شوند.
قوانين فيزيكي و هندسه ممكن است در جهان هاي ديگر متفاوت باشد. چيزي كه جهان ما را از ساير جهان ها متمايز مي كند ممكن است همين شش عدد باشد.
۱- عدد كيهاني امگا نشان دهنده مقدار ماده ـ كهكشان ها، گازهاي پراكنده و «ماده تاريك» ـ در جهان ماست. امگا اهميت نسبي گرانش و انرژي انبساط در جهان را به ما ارائه مي دهد جهاني كه امگاي آن بسيار بزرگ است، بايستي مدت ها پيش از اين درهم فرورفته باشد، و در جهاني كه امگاي آن بسيار كوچك است، هيچ كهكشاني تشكيل نمي شود. تئوري تورم انفجار بزرگ مي گويد، امگا بايد يك باشد؛ هر چند اخترشناسان درصددند مقدار دقيق آن را اندازه بگيرند.
۲- اپسيلون بيانگر آن است كه هسته هاي اتمي با چه شدتي به يكديگر متصل شده اند و چگونه تمامي اتم هاي موجود در زمين شكل گرفته اند. مقدار اپسيلون انرژي ساطع شده از خورشيد را كنترل مي كند و از آن حساس تر اينكه، چگونه ستارگان، هيدروژن را به تمامي اتم هاي جدول تناوبي تبديل مي كنند، به دليل فرآيندهايي كه در ستارگان روي مي دهد، كربن و اكسيژن عناصر مهمي محسوب مي شوند ولي طلا و اورانيوم كمياب هستند. اگر مقدار اپسيلون ۰۰۶/ يا ۰۰۸/ بود ما وجود نداشتيم. عدد كيهاني e توليد عناصري را كه باعث ايجاد حيات مي شوند ـ كربن، اكسيژن، آهن و… يا ساير انواع كه باعث ايجاد جهاني عقيم مي شود را كنترل مي كند.
۳- اولين عدد مهم تعداد ابعاد فضا است. ما در جهاني سه بعدي زندگي مي كنيم. اگر D برابر دو يا چهار بود امكان تشكيل حيات وجود نداشت. البته زمان را مي توان بعد چهارم فرض كرد، اما بايد در نظر داشت بعد چهارم از لحاظ ماهيت با ساير ابعاد تفاوت اساسي دارد چرا كه اين بعد همانند تيري رو به جلو است، ما فقط مي توانيم به سوي آينده حركت كنيم.
۴- چرا جهان پيرامون اين چنين وسيع است كه در طبيعت عدد مهم و بسيار بزرگي وجود دارد. N نشان دهنده نسبت ميان نيروي الكتريكي است كه اتم ها را كنار يكديگر نگاه مي دارد و نيروي گرانشي ميان آنهاست. اگر اين عدد فقط چند صفر كمتر مي داشت، فقط جهان هاي مينياتوري كوچك و با طول عمر كم مي توانست به وجود آيد. هيچ موجود بزرگ تر از حشره نمي توانست به وجود آيد و زمان كافي براي آنكه حيات هوشمند به تكامل برسد در اختيار نبود.
۵- هسته اوليه تمام ساختارهاي كيهاني ـ ستاره ها، كهكشان ها و خوشه هاي كهكشاني ـ در انفجار بزرگ اوليه تثبيت شده است. ساختار يا ماهيت جهان به عدد Q كه نسبت دو انرژي بنيادين است، بستگي دارد. اگر Q كمي كوچك تر از اين عدد بود جهان بدون ساختار بود و اگر Q كمي بزرگ تر بود، جهان جايي بسيار عجيب و غريب به نظر مي رسيد، چرا كه تحت سيطره سياهچاله ها قرار داشت.
۶- اندازه گيري عدد لاندا در بين اين شش عدد، مهم ترين خبر علمي سال ۱۹۹۸ بود، اگرچه مقدار دقيق آن هنوز هم در پرده ابهام قرار دارد. يك نيروي جديد نامشخص ـ نيروي «ضدگرانش» كيهاني ـ ميزان انبساط جهان را كنترل مي كند. خوشبختانه عدد لاندا بسيار كوچك است. در غير اين صورت در اثر اين نيرو از تشكيل ستارگان و كهكشان ها ممانعت به عمل مي آمد و تكامل كيهاني حتي پيش از آنكه بتواند آغاز شود، سركوب مي شد.

هنرمندان ايران پانصد سال جلوتر از رياضي ‌دانان جهان

به نظر مي‌رسد هنرمندان دوره‌ي اسلامي روشي براي آفريدن موزاييك‌هاي جورچين‌مانند پيدا كرده بودند كه سرانجام آن‌ها را به نگاره‌هاي شگفت‌انگيزي رهنمون شد كه رياضيدانان غربي پانصد سال بعد آن را كشف كردند. پژوهشگران گزارش كردند كه ساختمان‌هايي كه در سده‌ي پانزدهم ميلادي در ايران ساخته شدند داراي كاشي‌هايي هستند كه به صورت كويزاي‌‌كريستال(quasicrystal) آرايش يافته‌اند؛ يعني شبه ‌بلورهايي كه متقارن هستند اما به طور منظم تكرار نمي‌شوند.
به نظر مي‌رسد هنرمندان دوره‌ي اسلامي روشي براي آفريدن موزاييك‌هاي جورچين‌مانند پيدا كرده بودند كه سرانجام آن‌ها را به نگاره‌هاي شگفت‌انگيزي رهنمون شد كه رياضيدانان غربي پانصد سال بعد آن را كشف كردند. پژوهشگران گزارش كردند كه ساختمان‌هايي كه در سده‌ي پانزدهم ميلادي در ايران ساخته شدند داراي كاشي‌هايي هستند كه به صورت كويزاي‌‌كريستال(quasicrystal) آرايش يافته‌اند؛ يعني شبه يتر جي. لو(Peter J. Lu) كه دانشجوي دوره‌ي عالي فيزيك در دانشگاه هاروارد است مي‌گويد: "در اين جا روشن است كه اين نگاره را به كار مي‌بردند، حتي اگر آن را نشناخته باشند. آن هم 500 سال پيش از زماني كه ما در غرب پي ببريم كه چه چيزي در اين نگاره نهفته است." لو در سفر به قزاقستان سرنخ‌هايي از اين نگاره به دست آورد و پژوهش خود را با بررسي عكس‌هايي از ايران، عراق، تركيه و افغانستان آغازكرد. بر پايه‌ي گزارشي كه لو و همكارش در مجله‌ي ساينس به چاپ رساندند(SCIENCE 23 Feb 2007)، به نظر مي‌رسد هنرمندان دوره‌ي اسلامي نقش‌هاي متقارن بسيار گوناگوني را از پنج شكل پديد مي‌آوردند.
مسجدها، كاخ‌ها و ديگر بناهاي دوره‌ي اسلامي اغلب با كاشي‌هاي رنگيني به نام گره آرايش مي‌يابند كه ستاره و ديگر شكل‌ها را به نمايش مي‌گذارند. دانش‌پژوهان معتقدند كه كارگران بسياري از اين نگاره‌هاي را با پرگار و خط‌كش رسم مي‌كردند. اما چنان‌كه لو و همكارش در پژوهش خود بيان كرده‌اند، برخي از اين شكل‌ها را فقط با به كار بردن مجموعه‌اي از پنج كاشي گره مي‌توان به درستي پديد آورد.
[/b]

كاشي‌هاي پيشنهادي-كاشي پروانه، پنج‌ضلعي، لوزي، شش ضلعي كشيده و يك ده‌ضلعي بزرگ- با خط‌هاي شكل‌هاي ديگري مانند ستاره و مثلث‌ خميده رنگ‌آميزي شده‌اند. هنگامي كه اين كاشي‌ها كنار هم جاي مي‌گيرند، خط‌هاي روي آن‌ها نيز به هم مي‌پيوندند و شكل‌هاي درهم‌قفل شده‌اي را مي‌سازند. لو در اين باره مي‌گويد: "اين كار روش ساده‌اي براي توليد تعداد زيادي از نگاره‌هاي پيچيده را فراهم مي‌كند، فقط با چسباندن اين كاشي‌ها(به مانند قطعه‌هاي جورچين) و توجه ‌داشتن به نقش روي آن‌ها."‌بلورهايي كه متقارن هستند اما به طور منظم تكرار نمي‌شوند.
لو و همكارانش دريافتند كه اين پنج شكل‌ از كاشي‌ها به راستي در نوشته‌‌هاي اسلامي سده‌ي پانزدهم ميلادي، كه تجربه‌هاي معماري در آن‌ها به ثبت رسيده است، پديدار شدند. آن‌ها پي بردندكه اين كاشي‌ها از سده‌ي دوازدهم ميلادي براي ساختن نگاره‌هاي منظم، تكرار شونده يا دوره‌اي به كار مي‌رفتند. اما از سده‌ي پازدهم ميلادي، هنرمندان شايد وادار شدند به شاهكارهاي هنري بسيار پيچيده‌تري روي بياورند و بنابراين به سطح جديدي از ظريف‌‌كاري دست يافتند.
به‌ويژه مسجد امام در اصفهان، كه در سال 1453 ميلادي ساخته شد، با نگاره‌هاي متقارني از پنج‌ضلعي‌ها و ستاره‌هاي ده‌ضلعي پوشيده شده است. اين پژوهشگران مي‌گويند اگر در همه‌ي جهت‌ها به طور نامحدود گسترش يابد، هرگز خودش را تكرار نمي‌كند و اين، ويژگي ‌ بنيادي شبه‌بلور(كويزاي‌كريستال) است. لو در اين باره مي‌گويد: " شما مي‌خواهيد كاشي‌كاري پيچيده‌اي داشته باشيد كه براي هر كسي كه از كنار آن مي‌گذرد، چشمگير و خيره‌كننده باشد. برداشت من اين است كه آن‌ها فقط مي‌خواستند چيزي را بسازند كه به راستي زيبا و دل‌نشين به نظر مي‌رسد."
پژوهشگران دريافتند كه اين نگاره هم‌پايه‌ي مشهورترين مثال از كواسي‌كريستال‌ است كه در دهه‌ي 1970 ميلادي رياضي‌دان و فيزيك‌دان پرآوزاه راجر پنروز(Roger Penrose) كشف كرد. همان دانشمندي كه نشان داد چگونه مي‌توان اين نگاره را با كنار هم گذاشتن دو نوع "كاشي پنروز" بر پايه‌ي قانون‌هاي معين ساخت.
لو مي‌گويد كه معماران اسلامي يكي از دو روشي را كه پنروز كشف كرد به كار مي‌بردند: آن‌ها كاشي‌ها را در نسخه‌هاي بزرگ‌تري از خودشان كنار هم مي‌چيدند. او مي‌گويد نگاره‌ي مسجد امام اصفهان چند خطاي اندك دارد كه شايد به هنگام ساخت يا ترميم رخ داده باشد، زيرا يك نقص در اين نگاره مي‌تواند به خطاي بزرگ تر و نمودار‌تري بينجامد.
جان اوكونر( John O'Conno) از دانشگاه سنت اندرو در اسكاتلند در اين باره مي‌گويد: " هنرمندان دوره‌ي اسلامي مي‌دانستند كه چگونه مي‌توانند اين چيزها را با هم جفت و جور كنند." او مي‌گويد كه پيشگاهي رياضي‌دانان مسلمان بين سده‌هاي نهم و سيزدهم ميلادي رخ داد. در سده‌ي پانزدهم ميلادي، نوزايي در اروپا در جريان بود كه تا اندازه‌اي الهام‌گرفته از وارد شدن مفاهيم رياضي از جهان اسلام از جمله مثلثات و نمادهاي جبري بود. او مي‌گويد: "اگر شبه‌بلورها اين همه مدت در آن‌جا جلو چشم بوده‌اند، خوش به حال آن‌هايي كه هر روز نگاهشان به آن‌ها مي‌افتاده است

هرگز نمي توان همه چيز را ثابت كرد

يكي از نكات مهمي كه پايه هاي پيشرفت علوم مختلف را شامل مي شود اصول اوليه و فرضياتي است كه بر اساس آن نظريه ها ارائه مي شوند. اقليدس و تني چند از پيشينيان او كه در فلسفه فعال بودند به اين نتيجه رسيده بودند كه هرگز نمي توان همه چيز را ثابت كرد.
آنها معتقد بودند كه در ساخت هر نهاد منطقي بايد يك يا چند گزاره را بعنوان فرض در نظر گرفت و ساير احكام را بر اساس آنها اثبات كرد. آنها تجربه كرده بودند كه اگر سعي كنند تمام گزاره ها را به اثبات برسانند بدون شك به يك دور باطل خواهند رسيد. فرضيات تجربي و رياضي
فرضيات معمولا” از طريق مشاهده و احساس عمومي انسان بعنوان يك مطلب درست و منطقي به شمار مي آيند و دانشمند بر اساس فرضياتي كه ارائه مي كند مي تواند قضايايي را ارائه، اثبات كند و بر اساس اين دو علمي را پايه ريزي نمايد. تفاوت مهم ميان علوم تجربي و علوم رياضي در آن است كه اثبات قضايا در علوم تجربي از راه تجربه و مشاهده بوده در حالي كه در علوم رياضي از طريق استدلال و محاسبه مي باشد.
بعنوان مثال يك زيست شناس پس آنكه توانست قسمت هاي مختلف يك گياه را شناسايي كند از راه آزمايش و تجربه به كشف وظايف هر قسمت مي پردازد. در حالي كه يك رياضي داي دان حتي اگر موضوعي با مشاهده براي او يقين شود مجبور است كه آنرا با استدلال ثابت كند. يعني صرف مشاهده براي به يقين رسيدن كافي نيست يك رياضي دان هرگز نمي تواند بگويد كه : “بنا براين همانطور كه مي بينيد، ديده مي شود كه اين زاويه قائمه مي باشد.”
اصل
استدلال منطقي در وهله اول نياز به همان فرضيات اوليه يا اصول دارد. يك اصل بنا به تعريف عبارت است از حكمي كه نتوان براي صحت آن دليل يا اثباتي ارائه كرد. يعني اصول به اين دليل صحيح هستند كه اصلا” مخالف آنرا عقل نمي پذيرد و آنها كاملا” با واقعيات و تجربيات دنياي ما منطبق مي باشند. بعنوان مثال مي گوييم دو مقدار مساوي با مقدار سوم، خود با هم مساوي هستند و يا در هندسه مي گوييم : “به هر مركز مي توان دايره اي به شعاع دلخواه رسم كرد”. همانطور كه مشاهده مي شود صحت اين دود گزاره بوضوح توسط عقل تاييد مي شوند.
قضيه
قضيه حكمي است كه با استدلال مي توان از اصول پذيرفته شده از قبل به آن رسيد. بعنوان مثال اينكه مي گوييم : “اگر رقم سمت راست عددي زوج باشد آن عدد زوج است” مطلبي نيست كه بتوان آنرا پذيرفت بلكه بايد بر اساس اصولي كه در تئوري اعداد وجود دارد آنرا ثابت كرد.
همانطور كه مي دانيد هر قضيه دو قسمت دارد يكي فرض و يكي حكم. دقت كنيد كه فرض با اصول اوليه حاكم بر علمي كه در آن قضيه مطرح مي شود متفاوت مي باشد. مثلا هنگامي كه مي گوييم : “مجموع دو زاويه مجانب معادل دو قائمه مي باشد” فرض آن است كه دو زاويه مجانب مي باشد و حكم آن است كه ثابت كنيم مجموع آنها دو قائمه مي باشد

تاريخ پيدايش رياضيات

سه قرن اول رياضيات يوناني كه با تلاشهاي اوليه در هندسه برهاني بوسيله تالس در حدود ۶۰۰ سال قبل از ميلاد شروع شده و با كتاب برجسته اصول اقليدس در حدود ۳۰۰ سال قبل از ميلاد به اوج رسيد، دوره‌اي از دستاوردهاي خارق العاده را تشكيل مي‌دهد. در حدود ۱۲۰۰ سال قبل از ميلاد بود كه قبايل بدوي “دوريايي” با ترك دژهاي كوهستاني شمال براي دستيابي به قلمروهاي مساعدتر در امتداد جنوب راهي شبه جزيره يونان شدند و متعاقب آن قبيله بزرگ آنها يعني اسپارت را بنا كردند. بخش مهمي از سكنه قبلي براي حفظ جان خود ، به آسياي صغير و زاير يوناني و جزاير يوناني درياي اژه گريختند و بعدها در آنجا مهاجرنشنهاي تجاري يوناني را برپا كردند. در اين مهاجرنشينها بود كه در قرن ششم (ق.م) اساس مكتب يوناني نهاده شد و فلسفه يوناني شكوفا شد و هندسه برهاني تولد يافت. در اين ضمن ايران بدل به امپراطوري بزگ نظامي شده بود و به پيروزي از يك برنامه توسعه طلبانه در سال ۵۴۶ (ق.م) شهر يونيا و مهاجرنشينهاي يوناني آسياي صغير را تسخير نمود. در نتيجه عده‌اي از فيلسوفان يوناني مانند فيثاغورث موطن خود را ترك و به مهاجرنشينهاي در حال رونق جنوب ايتاليا كوچ كردند. مدارس فلسفه و رياضيات در “كروتونا” زير نظر فيثاغورث در “اليا” زير نظر كسنوفانس ، زنون و پارميندس پديد آمدند.
در حدود۴۸۰ سال قبل از ميلاد آرامش پنجاه ساله براي آتنيها پيش آمد كه دوره درخشاني براي آنان بود و رياضيدانان زيادي به آتن جذب شدند. در سال ۴۳۱ (ق.م) با آغاز جنگ “پلوپونزي” بين آتنيهاي و آسپارتها ، صلح به پايان رسيد و با شكست آتنيها دوباره ركورد حاصل شد.
 ظهور افلاطون و نقش وي در توليد دانش رياضي
اگرچه با پايان جنگ پلوپرنزي مبادله قدرت ---------- كم اهميت تر شد، اما رهبري فرهنگي خود را دوباره بدست آورد. افلاطون در آتن يا حوالي آن و در سال ۴۲۷ (ق.م) كه در همان سال نيز طاعون بزرگي شيوع يافت و يك چهارم جمعيت آتن را هلاك رد و موجب شكست آنها شد، به دنيا آمد، وي فلسفه را در آنجا زير نظر سقراط خواند و سپس در پي كسب حكم عازم سير و سفرهاي طولاني شد. وي بدين ترتيب رياضيات را زير نظر تيودوروس در ساحل آفريقا تحصيل كرد. در بازگشت به آتن در حدود سال ۳۸۷ (ق.م) آكادمي معروف خود را تاسيس كرد.
تقريبا تمام كارهاي مهم رياضي قرن چهارم (ق.م) بوسيله دوستان يا شاگردان افلاطون انجام شده بود. آكادمي افلاطون به عنوان حلقه ارتباط رياضيات فيثاغورثيان اوليه و رياضيات اسكندريه در آمد. تاثير افلاطون بر رياضيات ، معلول هيچ يك از كشفيات رياضي وي نبود، بلكه به خاطر اين اعتقاد شورانگيز وي بود كه مطالعه رياضيات عاليترين زمينه را براي تعليم ذهن فراهم مي‌آورد و از اينرو در پرورش فيلسوفان و كساني كه مي‌بايست دولت آرماني را اداره كنند، نقش اساسي داشت. اين اعتقاد ، شعار معروف او را بر سر در آكادمي وي توجيه مي‌كند: “كسي كه هندسه نمي‌داند، داخل نشود.” بنابراين به دليل ركن منطقي و نحوه برخورد ذهني نابي كه تصور مي‌كرد مطالعه رياضيات در شخص ايجاد مي‌كند، رياضيات به نظر افلاطون از بيشترين اهميت برخوردار بود، و به همين جهت بود كه جاي پر ارزش را در برنامه درس آكادمي اشغال مي‌كرد. در بيان افلاطون اولين توضيحات درباره فلسفه رياضي موجود هست.
  ادامه دهندگان مسير افلاطون
▪ ايودوكسوس كه هم نزد آرخوتاس و هم نزد افلاطون درس خوانده بود، مدرسه‌اي در سينويكوس در آسياي صغير تاسيس كرد.
▪ منايخموس از معاشرين افلاطون و يكي از شاگردان ايودوكسوس ، مقاطع مخروطي را ابداع كرد.
▪ دينوستراتوس ، برادر منايخموس، هندسه داني ماهر و از شاگردان افلاطون بود.
▪ تياتيتوس ، مردي با استعدادهاي خيلي عادي كه احتمالا قسمت اعظم مطالب مقاله‌هاي دهم و يازدهم اقليدس را نيز به او مديونيم، يكي از شاگردان تيودوروس بود.
▪ ارسطو گرچه ادعاي رياضيداني نداشت ولي سازمان دهنده منطقي قياسي و نويسنده آثاري در باب موضوعات فيزيكي بود. وي تسلط خارق العاده‌اي بر روشهاي رياضي داشت.
�? مسيرهاي تكامل رياضيات در يونان
در تكامل رياضيات طي ۳۰۰ سال اول ، سه خط سير مهم و متمايز را مي‌توان تشخيص داد.
▪ ابتدا ، بسط مطالبي است كه در اصول مدون شد، كه با توانايي توسط فيثاغورثيان شروع شد و بعدها بقرط ، ايودوروس ، تياتيتوس ، ديگران مطالبي به آن اضافه كردند.
▪ خط سير دوم شامل بسط مفاهيمي است در رابطه با بينهايت كوچكها و روندهاي حدي و مجموع يابي كه تا بعد از اختراع حساب ديفرانسيل و انتگرال در دوارن معاصر به وضوح نهايي دست نيافتند. پارادوكسهاي زنون؛ روش افناي آنتيخوان و ايودوكسوس و نظر اتمي بودن جهان كه به نام دموكريتوس مربوط است، به مسير رشد دوم تعلق دارند.
▪ سومين مسير تكاملي مربوط به هندسه عالي يا هندسه منحنيهايي بجز دايره و خط مستقيم و سطوحي غير از كره و صفحه است. شگفت آنكه قسمت عمده اين هندسه عالي در تلاشهاي مستمر براي حل سه مساله ترسيم كه امروزه هم مشهورند عبارتند از: تضعيف مكعب ، تثليث زاويه و تربيع دايره اختصاص دارد

X