قوانين جادويي اعداد

سياري از رياضيدانان قديم عقيده داشتند كه قوانين جادويي بر اعداد حكمفرماست . ان ها سعي مي كردند به اين قوانين دست يابند و به اين ترتيب بر ديگران برتري پيدا كنند. هنوز هم عده اي از مردم به اين اعداد و نقش جادويي ان ها اعتقاد دارند .

اگر مي خواهيد عدد جادويي نامتان را بدانيد طبق جدول زير عمل كنيد .

الف  1 ب  2 پ  3 ت  4 ث   5 ج    6 چ    7
ح    8 خ    9
د    1
ذ   2
 ر  3
 ز  4
 ژ   5
 س  6
 ش  7
 ص 8
ض  9
ط   1
ظ  2
ع   3
 غ  4
 ف  5
 ق   6
 ك   7
 گ  8
 ل   9
م    1
ن  2
 و  3
 ه   4
 ي  5
       


نام و نام خانوادگي تان را بنويسيد.           محمد خوارزمي

عدد هر حرف را زير آن بنويسيد               ۵۱۴۳۱۳۹۱۱۱۸۱ 

عدد ها را با هم جمع كنيد .

۳۸=۱+۸+۱+۱+۱+۹+۳+۱+۳+۴+۱+۵

رقم هاي بهدست امده را با هم جمع كنيد :      ۱۱=۸+۳

اين كار را ان قدر ادامه دهيد تا يك عدد يك رقمي بين ۱ تا ۹ به دست آوريد.             ۲=۱+۱

اين عدد جادويي نامتان است :         ۲

در رمز نويسي از اعداد به جاي حروف استفاده مي كنند . براي حفاظت ياد داشت هاي امنيتي از جدول هاي مختلف استفاده مي شود . براي خواندن رمز بايد جدول رمز ها را داشته باشيم . رمز نويسي و رمز خواني بخش كوچكي از كار برد حروف است كه به ان جبر مي گوييم .  خوارزمي رياضيدان مسلمان ايراني حدود سال ۱۳۰ هجري شمسي در شهر خوارزم كه امروزه به آن خيوه مي گويند٫ از حروف براي نشان دادن اعداد نا معلوم استفاده مي كرد .

او در كتاب الجبر كه به بيشتر زبان هاي دنيا ترجمه شده است ٫ به نمايش رقم ها با حروف اشاره كرده است .

پاپيروس رايند

طومار پاپيروسي با بلندي 33 سانتيمتر و 565 سانتيمتر عرض كه در يك معبد در تبس (Thebes) پيدا شده پرارزش­ترين منبع اطلاعاتي در مورد رياضيات مصر باستان است. طومار در بازاري در لوكسور (Luxor) مصر در سال 1858 توسط مرد اسكاتلندي 25 ساله­اي به نام هنري رايند Henry Rhind كه بخاطر مداوا به مصر رفته و در آنجا به باستانشناسي علاقمند شده بود، خريداري شد.
پس از مرگ زودهنگام رايند در سن 30 سالگي، در سال 1864 طومار به موزه لندن انتقال يافت كه تااكنون در آنجا باقي مانده و از آن زمان به نام پاپيروس رايند يا RMP(Rhind Mathematical Papyrus) ناميده مي­شود.
نوشته­هاي هيروگليف اين طومار در سال 1842 كشف رمز شد درحاليكه لوح گلي بابل كه به خط ميخي نوشته شده بود پس از آن و در قرن 19 رمزگشائي شد.
متن با تشريح اين مساله آغاز مي­شود كه اَهمسAhmes" (تقريبا 1600 قبل از ميلاد مسيح و بدينگونه يكي از اولين افرادي كه نام او در تاريخ رياضيات آورده شده ) نويسنده اين مطالب است، اما همچنين ذكر شده كه او اين متن را از نوشته­هاي باستاني كه به احتمال قوي مربوط به 2000 قبل از ميلاد مسيح مي­شده، رونوشت كرده است.
با وجود اينكه چند نمونه صريح استفاده از رياضيات كاربردي مانند محاسبات مورد نياز مساحي و مميزي، ساختمان و حسابداري، كه در برخي از آنها كسرهاي مصري بكار رفته، در اين پاپيروس وجود دارد، بيشتر مسايل موجود در RMP معماهاي محاسباتي هستند.
يكي از اين معماها به صورت زير است:
در 7 خانه 7 گربه زندگي مي­كنند. هر گربه 7 موش را مي­كشد كه هر موش 7 خوشه گندم داراي 7 دانه گندم را خورده است. تعداد نهائي آنها چندتاست؟
اين مساله شباهت بسيار زيادي به مساله St. Ives  دارد.
چهار پاپيروس كم اهميت­تر از پاپيروس رايند (در زمينه رياضيات) نيز وجود دارند:

پاپيروس مسكو (Moscow Papyrus) و پاپيروس برلين (Berlin Papyrus) (نامگذاري شده براساس محل نگهداري)، پاپيروس Kahun (نامگذاري شده براساس محل يافت شدن) و طومار چرمي (LeatherRoll) (نامگذاري شده براساس جنس طومار)

پروفسور لطفي زاده

رپروفسور لطفي زاده

همه لوازم پيرامون ما كه آسايش را برايمان معنا مي كند و تكنيك “اتومات” و هوش مصنوعي” را دربطن خود دارد از ابداع پروفسور لطفي زاده نشان دارد. پروفسور “لطفي زاده” كه در جهان علم به پروفسور “زاده” مشهور است، مخترع منطق علمي نوين “فازي” است، كه جهان صنعت را دگرگون كرد.امروزه هيچ دستگاه الكترونيكي، از جمله وسايل خانگي بدون اين منطق در ساختار خود ساخته نمي شوند. با منطق فازي پروفسور لطفي زاده، ابزار هوشمند مي شوند و توانايي محاسبه در آنان نهادينه مي شود.
از شوروي به تهران، از تهران به آمريكا

او در سال 1921 در شهر باكو در جمهوري آذربايجان به دنيا آمد. پدرش يك ژورناليست ايراني بود كه در آن زمان به دلايل شغلي در باكو بسر مي برد و مادرش يك پزشك روس بود.ي ده ساله بود كه در اثر قحطي و گرسنگي سراسري پديد آمده در سال 1931، به اتفاق خانواده به وطن پدري اش ايران بازگشت. لطفي زاده در دبيرستان البرز تهران، تحصيلات متوسطه را به پايان رساند و در امتحانات كنكور سراسري، مقام دوم را كسب نمود. در سال 1942 رشته الكترونيك دانشگاه تهران را با موفقيت به پايان رساند و در طي جنگ دوم جهاني براي ادامه تحصيلات به آمريكا رفت.او در سال 1946 موفق به اخذ مدرك ليسانس از دانشگاه ماساچوست شد. در سال 1949 به دريافت مدرك دكترا از دانشگاه كلمبيا نائل شد و در همين دانشگاه با تدريس در زمينه “تئوري سيستم ها” كارش را آغاز كرد. او در سال 1959 به بركلي رفت تا به تدريس الكتروتكنيك بپردازد و در سال 1963 ابتدا در رشته الكتروتكنيك و پس از آن در رشته علوم كامپيوتر كرسي استادي گرفت.
لطفي زاده به طور رسمي از سال 1991 بازنشسته شده است، وي مقيم سانفرانسيسكو است و در آنجا به پروفسور “زاده” مشهور است. لطفي زاده به هنگام فراغت به سرگرمي محبوبش عكاسي مي پردازد. او عاشق عكاسي است و تاكنون شخصيت هاي معروفي همچون روساي جمهور آمريكا، ترومن و نيكسون، رو به دوربين وي لبخند زده اند.
سرگرمي ديگر لطفي زاده “hi fi” است. او در اتاق نشيمن خود بيست و هشت بلندگوي حساس تعبيه نموده تا به موسيقي كلاسيك با كيفيت بالا گوش كند.
پروفسور لطفي زاده داراي بيست و سه دكتراي افتخاري از دانشگاه هاي معتبر دنياست، بيش از دويست مقاله علمي را به تنهايي در كارنامه علمي خود دارد و در هيئت تحريريه پنجاه مجله علمي دنيا مقام “مشاور” را داراست.
تئوري منطق فازي در يك نگاه
بر خلاف آموزش سنتي در رياضي، او منطق انساني و زبان طبيعت را وارد رياضي كرد. شايد بتوان با دو رنگ سياه و سفيد مثال بهتري ارائه داد. اگر در رياضي، دو رنگ سياه و سفيد را صفر و يك تصور كنيم، منطق رياضي، طيفي به جز اين دو رنگ سفيد و سياه نمي بيند و نمي شناسد. ولي در مجموعه هاي نامعين منطق فازي، بين سياه و سفيد مجموعه اي از طيف هاي خاكستري هم لحاظ مي شود و به اين طريق فصل مشترك ساده اي بين انسان و كامپيوتر بوجود مي آيد.
اين منطق حدود چهل سال پيش در آمريكا توسط لطفي زاده پايه ريزي شد. و براي اولين بار در سال 1974 در اروپا براي تنظيم دستگاه توليد بخار، در يك نيروگاه كاربرد عملي پيدا كرد. با پيشرفت چشمگير ژاپن در عرصه وسايل الكترونيكي، در سال 1990 كلمه “فازي” در آن كشور به عنوان “كلمه سالشناخته شد.
سخنراني لطفي زاده در دانشگاه صنعتي برلين
دعوت نامه رئيس دانشگاه صنعتي دانشگاه برلين به اشكال مختلف در ميان دانشجويان و مطبوعات و وسايل ارتباط جمعي به چشم مي خورد. كاغذهاي زرد رنگ در قطع كوچك در ميان دانشجويان دست به دست مي گشت و وعده ديدار با دانشمند بزرگي را مي داد.
در قسمتي از دعوت نامه نوشته شده : “باني تئوري منطق فازي به برلين مي آيد: پروفسور لطفي زاده درباره تئوري جهاني خود كه در سال 1965 تدوين شده و كاربرد جهاني آن در اتومبيل، موبايل، لباس شويي و غيره، و در خطوط متعدد توليد، و روش هاي متديك ديگري كه امروزه در امور اعتباري و نرم افزارهايي كه به اين سياق كار مي كنند سخنراني خواهد كرد.”
پيش از برپايي سخنراني، راديوها و روزنامه هاي مختلف و از جمله انجمن مهندسين آلمان سئوالات خود را با لطفي زاده مطرح كردند. خبرنگاري كه ميكروفن حساسي در دست داشت، از كاربرد منطق فازي در تكنيك امروزي پرسيد؛ پروفسور لطفي زاده به ميكروفن خبرنگار اشاره كرد و گفت: “اتفاقأ اين حساسيتي كه در ميكروفن شما بكار گرفته شده تا صداي موضعي را تشخيص دهد و صداي محيط پيرامون را منعكس نكند، نظام منطق فازي را در خود مستتر دارد.”
رئيس دانشگاه در اتاق ويژه مهمانان، ضمن خوشامد به لطفي زاده گفت: “من رياضي دان هستم، و از زماني كه با رياضيات مأنوسم با اسم و رسم شما هم آشنايي دارم،
انتقاد لطفي زاده از رفتار اروپا با دانشمندان مهاجر
در فرصتي كوتاهي كه دست داد، با پروفسور لطفي زاده گفتگويي داشتم. او گفت: “خوشحالم بعد از بيست و دو سال بار ديگر به برلين آمدم. اول از همه ديدار ايرانيان برلين برايم جالب بود. از برلين خوشم آمده؛ از خيابان هاي پهن آن خوشم آمده، و از اين كه در اين شهر آسمان خراش وجود ندارد بسيار لذت بردممن فوق العاده خوشحالم كه در اين جا هستم و با اين استقبال گرم مواجه شدم. تنها پشيماني ام اين است كه نمي توانم آن طور كه بايد و شايد فارسي صحبت بكنم. و مجبورم به انگليسي با شما حرف بزنم، به همين جهت بايد از شما عميقأ عذرخواهي كنم كه فارسي من خيلي خوب نيست، فهميدن فارسي براي من مشكل نيست، ولي صحبت كردن برايم كمي سخت است.”
لطفي زاده در اشاره به تفاوت پذيرش ايرانيان مهاجر در اروپا و آمريكا مي گويد: “مي خواهم مقايسه اي كنم بين جامعه ايراني ها در آمريكا، كانادا، و برلين. دلم مي خواهد در رابطه با كانادا صحبت كنم كه چندي پيش از طرف جامعه مهندسين كانادا به آنجا دعوت شده بودم. يك فرق اساسي وجود دارد كه ايراني هايي كه مقيم كانادا هستند براي دولت كار مي كنند. ولي آنچه در برلين متوجه شدم، اين است كه ايراني ها يا در صنايع، و يا در دانشگاه ها كار مي كنند و نديدم كه يك ايراني در استخدام دولت آلمان باشد. به گمان من اين موضوع مربوط مي شود به اينكه آلمان يك جامعه سنتي است و يك فرق اساسي بين خارجي ها و آلماني ها وجود داشته و دارد. من اگر آن موقع، به جاي آمريكا به آلمان مي آمدم، بعيد مي ديدم كه در آلمان استاد دانشگاه مي شدم. و اين مسئله فقط مربوط به آلمان نيست، مربوط به تمام كشورهاي اروپايي است و اين تفاوت بين خارجيان وجود دارد.”
لطفي زاده مي گويد: ” شصت سال پيش، زماني كه به آمريكا رفتم، اوضاع خيلي بدتر از اين بود، و حتا اگر فردي نام خارجي مي داشت مي توانست سرآغاز مشكلات براي او باشد و با اين اسم شما نمي توانستيد شغلي بگيريد. به خاطر دارم زماني كه در ايران بودم و به دبيرستان البرز مي رفتم، به يك آمريكايي گفتم كه مي خواهم براي ادامه تحصيلات به آمريكا بروم؛ و در جواب به من گفت كه تو ديوانه اي! و من نفهميدم كه چرا به من گفت ديوانه. وقتي رسيدم به آمريكا متوجه شدم كه او حق دارد، چرا كه ما نمي توانيم شغلي داشته باشيم؛ كاملأ غير ممكن بود. تقريبأ آن زمان مثل الان آلمان بود.” به فارسي مي افزايد: نه نه، خيلي هم بدتر.
ارتقاي اجتماعي دانشوران مهاجر در آمريكا و كانادا
به نظر او اوضاع در كانادا و آمريكا امروزه عوض شده است ولي مهاجران همچنان با محدويت در ارتقاي اجتماعي روبرويند: “امروز به هر كجا كه مي روي مي تواني حضور خارجيان را ببيني…در آمريكا اوضاع به گونه اي ست كه شما مي توانيد مدارج ترقي را طي كنيد، ولي در مرحله اي خارجي بودن باعث توقف مي شود. شايد بتوانيد رئيس دانشكده بشويد، ولي رئيس دانشگاه شدن تقريبأ غير ممكن است. افراد زيادي هم در استخدام دولت آمريكا نيستند ولي در كانادا وضع به شكل ديگري ست. به اين ترتيب من احساس مي كنم كه زندگي در آلمان خيلي مشكل تر است.
اروپا در سير نزولي است
او در ادامه از نگراني خود در باره آينده علمي اروپا مي گويد: “بايد فكر كرد كه اوضاع و احوال به چه جهت به اين جا كشيده است؟ ولي به تحقيق مي توانم بگويم كه اروپا در سير نزولي است . اگر آمريكا هم در سير صعودي مي بود، پيدا كردن شغل آسان تر مي بود. ولي الان آمريكا هم در سير نزولي است. علت اين است كه با كشورهاي آسيايي در رقابت هستند و آسيايي ها در سير ترقي هستند. مثلأ در آلمان توليدات رو به پايين حركت مي كند، و در بعضي كشورها سير نزولي شديدتر است مثل انگلستان.
پروفسور لطفي زاده در ادامه مي گويد: “از آنجا كه من به كشورهاي مختلف سفر مي كنم به تحقيق مي توانم بگويم كه اين معضل دست به گريبان همه كشورهاي اروپايي است. مثلأ در تركيه گاز و نفت وجود ندارد ولي در عوض توريست دارند. درآناتولي فقط پانصد هزار نفر در قسمت توريسم كار مي كنند. ولي از توريسم كه يك كشور نمي تواند ثروتمند شده و رشد كند.
شكل گيري استعمار جديد در صنعت
لطفي زاده عقايد اجتماعي خاصي دارد كه از حساسيت او به وضع كشورهاي كمتر توسعه يافته حكايت دارد. او مي گويد: “من به هر كشوري كه سفر مي كنم از استادان دانشگاه سئوال مي كنم كه آيا شما مي توانيد با پولي كه مي گيريد زندگي كنيد؟ در آلمان پاسخ مثبت است، ولي در ايران و ديگر كشورها از جمله بلغارستان، روماني، تركيه، لهستان، پاسخ منفي است. و اين براي پيشرفت علم و دانش مناسب نيست و بايد كاري انجام داد.”
به طور كلي آنچه در مورد كشورهاي جهان مي توان گفت اين است كه يك “نئو كلونياليسم” در حال شكل گيري است. در نتيجه يك كشوري مثل لهستان كه 84 درصد از صنعت خود را فروخته است؛ و حتي كار به خريد زمين هاي اين كشورها هم رسيده است، نتيجه اين كه افراد اين كشورها در آينده فقط براي آلمان و آمريكا كار خواهند كرد، نه براي خود.”
يادم مي آيد كه شاه به ايرانيان گفته بود كه حتي حاضر نيستم يك دلار قرض بگيرم و بايد كشورمان را خودمان بسازيم، ولي امروزه كشور ايران زير بار قرض و بدهكاري است. و به نظر من جهان از يك دوران خيلي سختي در حال گذر است و همه ما با اين مشكلات مواجه هستيم. و چه بسا مشكلات بزرگتري در روسيه وجود دارد.”
امتياز چند فرهنگي بودن
لطفي زاده كه در فرهنگ هاي مختلف تركي و روسي و ايراني و آمريكايي باليده است اين را امتياز خود مي داند و مي گويد شما از اين طريق به طبيعت بشر بيشتر پي مي بريد: “براي مثال من پنج سال رئيس دانشكده بودم، و در بحث و نظر خواهي، نظرات آناني كه تك فرهنگي بودند، نسبي بود، ولي من هر نظري كه مي دادم به مرور زمان، درستي نظر من ثابت مي شد، براي اين كه من فرهنگ هاي مختلف را مي فهمم و درك مي كنم، در جايي كه مثلأ آمريكايي ها به علت تك فرهنگي بودن اين ويژگي را نمي توانند درك كنند.

آيا جوليوس سزار عدد است ؟؟!!؟

  آيا واقعاً ممكن است جوليوس سزار، امپراتور روم، عدد باشد؟ يعني آيا مي شود كه سزار محمول خواصي باشد كه اصالتاً از آن اعداد است (مثلاً زوج بودن، فرد بودن، اول بودن و غيره)؟ آيا ممكن است شيئي انضمامي مثل سزار يا هر شخص ديگري عدد باشد؟ آيا ممكن است سزار مكاني را در دنباله اعداد طبيعي يا حقيقي اشغال كند؟ آيا اصلاً اين پرسش ها معنايي دارند؟ يعني آيا ارزش صدقي (صدق يا كذب) دارند؟ يا بالكل بي معنا هستند؟ هر نظريه اي در فلسفه رياضي كه نتواند به اين پرسش ها پاسخ دهد با «مشكل جوليوس سزار» روبه رو است.

ريشه اين سوال هاي نسبتاً عجيب و غريب برمي گردد به گوتلوب فرگه. فرگه در شاهكارش، بنيادهاي حساب، سعي مي كند كه حساب را به منطق تحويل دهد، و كار خود را با واقعيت بسيار ملموسي در عمل شمارش شروع مي كند.

 
اصل هيوم (HP) عدد مفهوم F (يعني تعداد شيءهايي كه ذيل مفهوم F درمي آين آيا واقعاً ممكن است جوليوس سزار، امپراتور روم، عدد باشد؟ يعني آيا مي شود كه سزار محمول خواصي باشد كه اصالتاً از آن اعداد است (مثلاً زوج بودن، فرد بودن، اول بودن و غيره)؟ آيا ممكن است شيئي انضمامي مثل سزار يا هر شخص ديگري عدد باشد؟ آيا ممكن است سزار مكاني را در دنباله اعداد طبيعي يا حقيقي اشغال كند؟ آيا اصلاً اين پرسش ها معنايي دارند؟ يعني آيا ارزش صدقي (صدق يا كذب) دارند؟ يا بالكل بي معنا هستند؟ هر نظريه اي در فلسفه رياضي كه نتواند به اين پرسش ها پاسخ دهد با «مشكل جوليوس سزار» روبه رو است.

 ريشه اين سوال هاي نسبتاً عجيب و غريب برمي گردد به گوتلوب فرگه. فرگه در شاهكارش، بنيادهاي حساب، سعي مي كند كه حساب را به منطق تحويل دهد، و كار خود را با واقعيت بسيار ملموسي در عمل شمارش شروع مي كند؛

 اصل هيوم (HP) عدد مفهوم F (يعني تعداد شيءهايي كه ذيل مفهوم F درمي آيند) مساوي است با عدد مفهوم G اگر و تنها اگر تناظري يك به يك بين شيءهاي دو مفهوم F و G برقرار باشد.

 HP در واقع معياري براي اينهماني با تفاوت اعداد به دست مي دهد، ولي به هيچ وجه نشان نمي دهد كه اعداد خودشان چه اشيايي هستند. به عبارتي، HP چيزي در مورد تعيين ارزش صدق جمله اي به شكل «عدد مفهوم F = q» (كه q مي تواند هر ثابتي مثل «جوليوس سزار» باشد) به دست نمي دهد. به نظر فرگه، جملاتي مثل HP نمي توانند اينهماني اصيل و دقيق اعداد را نشان دهند. يعني اگر قرار است اينهماني دقيق را به دست دهيم، هم بايد ارزش صدق «عدد F = عدد G» را به دست دهيم و هم ارزش صدق «عدد F = q». و HP فقط ارزش صدق عبارات اول را تعيين مي كند. به اين دليل بود كه فرگه HP را رها كرد و اصل ديگري را به جاي آن نشاند و به پارادوكس راسل اصابت كرد!

 در اين چند سطر، خيلي تند و خلاصه، صرفاً به بعضي از مشكلات نهفته در دل اين مساله اشاره مي كنيم؛

 ما به كمك عقل سليم (common sense) مي دانيم كه سزار عدد نيست و حتي ممكن نيست عدد باشد، ولي اين قطعاً چيزي نيست كه HP به ما مي گويد. اگر بناست ضوابط كافي براي اينهماني اعداد را به دست دهيم، بايد فاعل شناسايي را كه اعداد را مورد شناسايي قرار مي دهد، قادر سازد كه اعداد را از همه انواع ديگر اشيا متمايز كند (discriminate). اما توسل به معيار توانايي تمايز گذاشتن در گرو حل مسائل ديگري دارد؛ كودك مي تواند از طريق تناظر يك به يك به اعداد ارجاع دهد بي آنكه توانايي كاملي براي تمايز گذاشتن ميان اعداد و اشخاص (آنطور كه فرگه داشت) داشته باشد. پس چه بسا HP توانايي اوليه براي ارجاع و معرفي اعداد را به دست دهد. ولي اين مساله به هيچ وجه قطعي نيست. چون به هر حال، هر توانايي اوليه اي براي ارجاع به اعداد و استفاده از آنها در انديشه (thought) و كلام (talk) مستلزم يك درك بنيادين از نوع يا جنس شيءهاي مورد ارجاع يا اشاره دارد. پس شايد به اين راحتي نتوان ادعا كرد كسي كه صرفاًً HP را آموخته مي تواند در مورد اعداد بينديشد يا راجع به آنها صحبت كند؛ چون HP نوع اشياي مورد بحث را مشخص نمي كند (نمي گويد سزار هستند يا مجموعه يا...) از طرفي، فرض كنيم به كودكي صرفاً HP آموخته شده، و كودك، مسلح به تنها همين سلاح، قضاياي بنيادين حساب را مي آموزد و ثابت مي كند و در امتحانات نمرات خوبي هم مي گيرد (چنين چيزي كاملاً ممكن است؛ نگاه كنيد به (Wright۱۹۸۳) و (Boolos۱۹۸۷). اگر او ندانست كه سزار عدد است يا نه ( كه نمي داند)، بايد نتيجه بگيريم كه نمرات او حقه بازي اند؟ يا به صدق قضاياي حساب معرفت ندارد؟ بنابراين، آن كودك توانايي هاي كافي اي براي قضاوت در مورد نسبت هاي عددي دارد ولي انگار فاقد نوعي معرفت متافيزيكي است. پس اجازه دهيد كه كمي راجع به بعد متافيزيكي مساله جوليوس سزار صحبت كنيم؛ در اينجا بايد بگوييم كه چرا محال است كه انواع كاملاً متفاوتي از شيء ها (اعداد و اشخاص) همپوشاني كنند.

 مي توانيم دلايلي بياوريم؛ اعداد انتزاعي اند و اشخاص انضمامي. يك راه اثبات اين خاصيت براي اعداد اين است كه بگوييم اعداد بي نهايت اند و اشخاص متناهي. ولي تنها نتيجه اي كه از اين حرف مي گيريم اين است كه همه اعداد نمي توانند انضمامي باشند، ولي چه بسا بعضي از اعداد انضمامي باشند. استدلال دوم براي اثبات «+» اين است كه بگوييم صدق هاي رياضي صدق هايي ضروري اند، و صدق هاي ضروري مستلزم موجودات ضروري اند. از آنجا كه اشخاص ً انضمامي، از جمله سزار، ممكن هستند، پس شيءهايي كه صدق هاي رياضيات بر آنها دلالت مي كنند ممكن نيست انضمامي باشند. اگر قرار است اين استدلال را به كرسي بنشانيم، بايد ابتدا اين ادعا را اثبات كنيم كه اشياي رياضي، به قول كريپكي، دلالتگر ثابت (rigid designator) اند. پس سوال اصلي «+» اين است كه چرا شيءهاي نوع K۱ نمي توانند خواص شيءهاي نوع K۲ را داشته باشند؟ و اين ما را بلافاصله به مساله سنتي متافيزيك، يعني جوهر(substance)، مي كشاند. و اصلاً معلوم نيست كه دست و پنجه نرم كردن با اين مساله غم انگيزتر از تلاش براي پاسخ به پرسش هاي اول مقاله نباشد.

 

ژول هاري پوانكاره (1912-1854)

در سخنرانيهايش كه توسط دانشجويان او ويرايش شد و به چاپ رسيد با ابتكار و تسلط فني فراوان، درواقع تمامي زمينه هاي معروف رياضيات محض و كار بسته، و بسياري از زمينه هايي را كه قبل از كشف توسط وي ناشناخته بودند، مورد بحث قرار داد. روي هم رفته بيش از ۳۰ كتاب فني درباره فيزيك رياضي و مكانيك سماوي، شش كتاب در سطح عامه فهم، و تقريبًا ۵۰۰ مقاله پژوهشي در رياضيات نوشت. وي متفكرين سريع الانتقال، قوي، و خستگي ناپذير بود كه به جزئيات نمي پرداخت و به قول يكي از معاصرانش «يك فاتح بود، نه يك استعمارگر». از موهبت حافظه عجيبي نيز برخوردار بود، و برحسب عادت، در حين قدم زدن در اطاق مطالعه خود در مغزش ب رياضيات مي پرداخت و فقط پس از آنكه آن را در ذهنش تكميل مي كرد، بر روي كاغذ مي آورد. بيش از ۳۲ سال نداشت كه به عضويت فرهنگستان علوم برگزيده شد.

عضوي از فرهنگستان كه او را براي عضويت پيشنهاد كرد گفت كه «كارش مافوق تمجيد عادي است، و لاجرم آنچه را كه ياكوبي درباره آبل نوشت به يادمان مي آورد: او مسايلي حل كرده كه قبل از خودش به تصور درنيامده بودند.»

نخستين دستاورد بزرگ رياضي پوانكاره در آناليز بود. او ابداع نظريه توابع خود ريخت، مفهوم دوره اي بودن يك تابع را تعميم داد. توابع مثلثاتي و نمايي مقدماتي، دوره اي يگانه و توابع بيضوي دوره اي دوگانه هستند. توابع خد ريخت پوانكاره تعميم گسترده اي از اين توابع را تشكيل مي دهند، زيرا اين توابع تحت يك گروه شماراي نامتنهاهي از تبديلات كسري خطي، پايا هستند و نظريه غني توابع بيضوي را به عنوان جزء دربرمي

گيرند. او از آنها براي حل معادلات ديفرانسيل خطي با ضرايب جبري استفاده كرد و همچنين نشان داد كه چگونه مي توان ار اين توابع در يكنواخت كردن منحنيهاي جبري، يعني، بيان مختصات هر نقطه واقع بر چنين منحني برحسب توابع تك مقداري y(t)، x(t)c از يك پارامتر واحد t، استفاده كرد. در دهه هاي ۱۸۸۰ و ۱۸۹۰ ميلادي توابع خود ريخت به صورت شاخه گسترده اي از رياضيات درآمد كه (علاوه بر آناليز) به قلمروهاي نظريه گروه ها، نظريه اعداد، هندسه جبري، و هندسه غيراقليدسي راه يافته است.

نكته اساسي ديگري از فكر پوانكاره را مي توان در پژوهشهايش درباره مكانيك سماوي يافت (روشهاي نوين مكانيك سماوي‐ در سه جلد ۱۸۹۲-۱۸۹۹ ). در خلال اين كار نظريه بسطهاي مجانبي خود را ارائه كرد(كه باعث توجه به سريهاي وارگا شد)، پايداري مدارها را مطالعه كرد، و نظريه كيفي معادلات ديفرانسيل غيرخطي را پايه گذاري كرد. بررسيهاي مشهورش در بررسي تكامل اجسام سماوي او را به مطالعه اشكال تعادل جرم سيال درحال دوراني كه ذراتش به وسيله جاذبه ثقلي به هم پيوسته است، هدايت كرد، و شكلهاي گلابي واري را كشف كرد كه بعدًا در كار سر ج.ه. داروين (فرزند چارلز داروين) نقش مهمي ايفا كردند.

پوانكاره، در خلاصه اين كشفيات، مي نويسد: « يك جسم سيال درحال دوران را كه در اثر سرد شدن منقبض مي گردد درنظر مي گيريم، ولي فرض مي كنيم كه اين انقباض آنقدر آهسته صورت مي گيرد كه جسم همگن باقي مي ماند و دوران كليه قسمتهاي جسم يكسان است. شكل جسم كه در ابتدا با تقريب زيادي كروي است به يك بيضوي دوار تبديل مي گردد كه پهن تر و پهن تر مي شود، آنگاه، در لحظه خاصي، به يك بيضوي با سه محور نابرابر تبديل مي شود سپس، جسم از صورت بيضي وار خارج و به گلابي وار تبديل مي شود تا سرانجام جرم جسم، كه در ناحيه كمر، بيشتر و بيشتر باريك مي شود، به دو جسم مجزا و نابرابر تجزيه مي شود». اين ايده ها در عصر خود ما بيشتر مورد توجه قرار گرفته است، زيرا اخيراً متخصصين ژئوفيزيك به كمك اقمار مصنوعي دريافته اند كه زمين خود اندكي گلابي شكل است.

بسياري از مسائلي كه پوانكاره در اين دوره با آنها مواجه گرديد بذرهاي شيوه هاي جديد تفكر بودند، كه در رياضيات قرن بيستم رشد كردند و شكوفا شدند. سريهاي واگرا و معادلات ديفرانسيل غيرخطي را قب ً لا متذكر شده ايم. علاوه بر آنها، كوشش او براي درك ماهيت منحنيها و سطوح در فضاهايي با ابعاد بالاتر منجر به مقاله مشهورش تحت عنوان تحليل موضعي (توپولوژي) ( ۱۸۹۵ ) گرديد، كه همه افراد اهل فن متفقًا آن را آغاز تاريخ نوين در توپولوژي جبري مي دانند. همچنين، در مطالعه خود در زمينه مدارهاي دوره اي، رشته ديناميك توپولوژي (يا كيفي) را بنا نهاد.

در اينجا نوعي مسئله رياضي مطرح مي شود كه نمايانگر آن، قضيه اي است كه پوانكاره در سال ۱۹۱۲ ميلادي مطرح كرد، ولي عمرش كفاف نداد تا آن را ثابت كند: چنانچه تبديلي يك به يك و پيوسته، حلقه محصور بين دو دايره متحدالمركز را چنان در خود تصوير كند كه مساحتها حفظ شود و نقاط دايره دوراني را در جهت حركت عقربه هاي ساعت و نقاط دايره بيروني را در جهت خلاف حركت عقربه هاي ساعت به حركت درآورد، آنگاه، در اين تبديل حداقل دو نقطه بايد ثابت بمانند. اين قضيه كاربردهاي مهمي در مسئله كلاسيك سه جسم (و نيز در حركت يك توپ بيليارد برروي ميز بيليارد محدب) دارد. در سال ۱۹۱۳ اثباتي براي اين قضيه توسط يك رياضيدان جوان آمريكايي به نام بيركهوف يافته شد. كشف قابل ملاحضه ديگر پوانكاره در اين زمينه، كه امروزه به قضيه بازگشت پوانكاره معروف است، به رفتار دراز مدت دستگاههاي ديناميكي پايستار مربوط مي شود. به نظر مي رسيد كه اين نتيجه، بيهودگي كوششهاي اخير در به دست آوردن قانون دوم ترموديناميك از مكانيك كلاسيك را نشان مي دهد، و مباحثه ناشي از آن مأخذ تاريخي نظريه ارگوديك نوين بوده است.

يكي از برجسته ترين خدمات فراوان پوانكاره به فيزيك رياضي، مقاله مشهورش در سال ۱۹۰۶ درباره ديناميك الكترون بود. او سالهاي زيادي راجع به شالوده هاي فيزيك فكر كرده بود، و مستقل از اينشتين بسياري از نتايج مربوط به نظريه نسبيت خاص را به دست آورده بود. فرق اساسي در اين بود كه بررسي اينشتين متكي بر ايده هاي مقدماتي مربوط به علامتهاي نوري بود، حال آنكه بررسي پوانكاره بر پايه نظريه الكترومغناطيس بنا شده بود و بنابراين از نر كاربردي به پديده هاي مربوط به اين نظريه محدود بود. پوانكاره احترام زيادي براي استعداد اينشتين قايل بود، و در سال ۱۹۱۱ انتصاب اينشتسن را به اولين سمت دانشگاهي اش توصيه كرد.

در سال ۱۹۰۲ به عنوان يك سرگرمي جنبي، و ضمن كوششي براي سهيم كردن افراد غير متخصص در اشتياق خود به معنا و اهميت انساني رياضيات و علوم، به نويسندگي و سخنراني براي اقشار وسيعتري از مردم روي آورد. اين كارهاي سبكتر او در چهار كتاب تحت عناوين علم و فريضه ( ۱۹۰۳)، ارزش علم (۱۹۰۴)، علم و روش( ۱۹۰۸) و آخرين انديشه ها(۱۹۱۳) گردآوري شده اند. اين كتابها واضح، لطيف، عميق،و روي همرفته لذت بخش هستند، و نشان مي دهند كه پوانكاره يكي از بهترين نثر نويسان فرانسه است.

در مشهورترين اين مقالات، يعني مقاله مربوط به كشف رياضي، او به خويشتن نگريست و فرايندهاي مغزي خود را تحليل كرد، و با انجام ان كار تصاوير نادري از مغز يك نابغه در هنگام كار را، عرضه كرد. همانطور كه ژوردن در سوگندنامه پوانكاره نوشت، « يكي از دلايل فراوان جاودانگي پوانكاره اين است كه با ما امكان داد تا در عين اينكه او را مي ستاييم، وي را بشناسيم».

گفته مي شود كه در حال حاضر دانش رياضي هر ده سال يا در اين حدود، دو برابر مي شود، هر چند كه عده اي راجع به تداوم اين مقدار انباشتگي ترديد دارند. عمومًا اعتقاد براين است كه اكنون براي هر انساني امكان درك كامل بيش از يك يا دو شاخه از چهار شاخه اصلي رياضيات، يعني آناليز، جبر، هندسه و نظريه اعداد، (بدون احتساب فيزيك رياضي) وجود ندارد. پوانكاره تسلط خلاقي بر تمام رياضيات زمان خود داشت، و احتمالاً پس از او هرگز كسي به اين مقام نخواهد رسيد.

هندسه نااقليدسي

هندسه ي اقليدسي، همان هندسه اي است كه شما در دبيرستان و راهنمايي خوانده ايد يا مي خوانيد. هندسه اي است كه بيش تر براي تجسم جهان مادي به كار مي بريم. اين هندسه از كتابي به نام اصول به دست ما رسيده كه توسط اقليدس ، رياضي دان يوناني ، در حدود ۳۰۰ سال پيش از ميلاد مسيح نگاشته شده است . تصوري كه ما بر اساس اين هندسه ازجهان مادي پيدا كرده ايم تا حدي زياد توسط آيزاك نيوتن در اواخر سده ي هفدهم ترسيم شده است. اقليدس شاگرد مكتب افلاطون بود.درحدود ۳۰۰ سال پيش از ميلاد، روش قاطع هندسه ي يوناني و نگره ي اعداد را دراصول سيزده جلديش منتشر كرد. با تنظيم اين شاهكار، اقليدس تجربه وكارهاي مهم پيشينيان خود را در سده هاي جلوتر گردآوري كرد.كار عظيم اقيدس اين بودكه چند اصل ساده ، چند حكم كه بي نياز به توجيهي پذيرفتني بودند را دستچين كرد واز آن ها ۴۶۵گزاره نتيجه گرفت كه بسياري از آن ها پيچيده بودند و به طور شهود ي بديهي نبودند وتمام اطلاعات زمان او را دربرداشتند .

 يك دليل زيبايي اصول اقليدس اين است كه اين همه را از آن اندك نتيجه گرفت .درافسانه آمده است كه يكي از آموزندگان مبتدي هندسه از اقليدس پرسيد : ( از آموختن اين مطالب چه عايد من مي شود ؟ ) اقليدس غلامش را خواند وگفت ((سكه اي به او بده ، چون كه مي خواهد از آن چه كه فرا مي گيرد، چيزي عايدش شود )).

 حال دراين جا به بيان پنج اصل اقليدس مي پردازيم .

 ـ اصل اول اقليدس : به ازاي هر نقطه ي p وهر نقطه ي Q كه با p مساوي نباشد، خط يكتايي وجود داردكه برp و Q مي گذرد.

 اين اصل اغلب به صورت غير رسمي چنين بيان مي شود : "هر دو نقطه يك خط منحصر به فرد را مشخص مي سازند ."

 ـ اصل دوم اقليدس : به ازاي هر پاره خط AB وهر پاره خط CD نقطه ي منحصر به فردي چون E وجود دارد، چنان چه؛ B ميان A وE واقع است وپاره خط CD با پاره خط BE قابل انطباق است .

 اين اصل اغلب به طور غير رسمي چنين بيان مي شود : "هر پاره خط AB را مي توان به اندازه ي پاره خط BE ، كه با پاره خط CD قابل انطباق است امتداد داد ."

 ـ اصل سوم اقليدس : به ازاي هر نقطه ي A كه با O مساوي نباشد، دايره اي به مركز O وشعاع OA وجود دارد .

 ـ اصل چهارم اقليدس : همه ي زاوياي قائمه باهم قابل انطباق هستند.

چهار اصل اول اقليدس هميشه به راحتي مورد قبول رياضي دانان بوده است. ولي اصل پنجم ( اصل توازي ) تا سده ي نوزدهم موجب جدل و چون و چرا بوده است درواقع چنان چه كه بعداً خواهيد ديد توجه به صورت هاي مختلف اصل توازي اقليدس است كه موجب بسط و توسعه ي هندسه هاي نااقليدسي شده است .

دراين جا ما اصل توازي اقليدس را بيان مي كنيم ( به خاطر دشواري هايي كه وجود دارد ) وبه جاي آن اصل پلي فر را كه معادل اصل توازي اقليدس است بيان مي كنيم .

ـ اصل پنجم اقليدس ( اصل پلي فر يا اصل توازي ) : به ازاي هر خط L وهر نقطه ي p غير واقع برآن، تنها يك خط مانند m وجود دارد چنان چه از p مي گذرد و با L موازي است .

اصل پنجم با هر چهار اصل ديگر متفاوت است . بدين معني كه ما نمي توانيم به طور تجربي تحقيق كنيم كه آيا دو خط هم ديگر را قطع مي كنند يانه . زيرا كه ما فقط پاره خط ها را مي توانيم رسم كنيم نه خطها را . مي توانيم پاره خط ها را بيش از بيش امتداد دهيم تا ببينيم كه آيا هم ديگر قطع مي كنند يا نه، ولي نمي توانيم آن ها را تا بي نهايت امتداد دهيم .

رياضي دانان درطول دو هزار سال تلاش كردند تا آن را از چهار اصل ديگر نتيجه بگيرند و يا اصل ديگري را كه به خودي خود بداهت بيش تري داشته باشد، جانشين آن سازند. همه ي تلاش ها براي اين كه آن را از چهار اصل ديگر نتيجه بگيرند به ناكامي انجاميد . رياضي دانان به تدريج نااميد مي شدند . ولي در اوايل سده ي نوزدهم دو هندسه ي ديگري پيشنهاد شد . يكي هندسه ي هذلولوي ( از كلمه ي يوناني هيپر بالئين به معني افزايش يافتن كه در آن فاصله ي ميان نيم خط ها افزايش مي يابد و ديگري هندسه ي بيضوي (از كلمه ي يوناني اليپن به معني كوتاه شدن) كه در اين ، فاصله رفته رفته كم مي شود و سرانجام نيم خط ها هم ديگر را مي برند (قطع مي كنند). اين هندسه هاي نا اقليدسي بعد ها توسط ك. ف . گاؤس و گ. ف. ب ريمان در قالب هندسه ي كلي تري بسط داده شدند.

ما سعي مي كنيم بيش تر بحث مان در حوزه ي هذلولوي باشد، زيرا هندسه ي هذلولوي تنها به تغيير يكي از اصول اقليدس نياز دارد و مي تواند به همان آساني هندسه ي دبيرستاني فهميد ه شود. ولي در مورد هندسه هاي ديگر، مثل هندسه ي بيضوي ، بحث خيلي مشكل تر مي باشد و درك آن نياز به دانستن مفاهيم زيادي دارد كه از حوصله ي بحث ما خارج است.

ـ قضيه ي كلي هذلولوي: درهندسه ي هذلولوي به ازاي هر خط L و هر نقطه ي p غير واقع بر L لااقل دو خط موازي با L ازp مي گذرند .دانش آموزان مي توانند اين قضيه را با اصل پنجم اقليدس كه درصفحات قبل آمده است مقايسه نمايند وتفاوت هاي اين دو هندسه را به وضوح مشاهده كنند .

ـ قضيه : درهندسه ي هذلولوي مستطيل وجود ندارد ومجموع زواياي همه ي مثلث ها از است .

ـ فرع: درهندسه ي هذلولوي همه ي چهار ضلعي هاي كوژ، مجموع زوايايي كم تر از دارند .
 

پروفسور هشترودي

پروفسور هشترودي پس از اتمام دوره دبستان در دبستان هاي اقدسيه و سيروس تهران، دوره دبيرستان دارالفنون را در سال ۱۳۰۴ تمام كرد. در سال ۱۳۰۷، در اولين گروه دانشجويان اعزامي به اروپا، براي تحصيل در رشته مهندسي، از طرف وزارت فوائد عامه عازم اروپا شد. در سال ۱۳۰۸، به وطن بازگشت و وارد دارالمعلمين مركزي شد. دارالمعلمين مركزي را بعدها دانشسراي عالي و سپس دانشگاه تربيت معلم ناميدند. در سال ۱۳۱۱، شاگرد اول دانشسرا و جزء دومين دوره فارغ التحصيلان و گروه پنجم اعزامي به فرانسه شد. در سال ۱۳۱۲، دو سال زودتر از موعد مقرر موفق به كسب امتياز اول در امتحانات آناليز عالي در پاريس و اخذ ليسانس دوم در رشته رياضي از دانشگاه سوربن شد. در سال ۱۳۱۵ به همراه دكتر محمد علي مجتهدي دكتراي دولتي يا «راتا» را دريافت كرد.

 رساله دكتراي دكتر هشترودي توسط رياضيدان نامدار «الي كارتان»، راهنمايي و تصويب شد. در سال ۱۳۱۶، تدريس رياضيات هندسه، حساب، آناليز را در دانشكده ادبيات، علوم و دانشسراي عالي آغاز كرد كه آنها سال ها در يك جا جمع بود. در سال ۱۳۲۰، در دانشسراي عالي به پايه استادي رسيد. در سال ۱۳۲۱، كرسي مكانيك تحليلي گروه آموزشي رياضي دانشگاه تهران به وي اعطا شد. در همان سال، به مقام رياست فرهنگ تهران اداره تعليمات متوسطه و نيز دريافت امتياز مجله هفتگي «نامه كانون ايران» از شوراي عالي فرهنگ نايل شد. در سال ۱۳۲۲، در اعتصاب استادان و دانشجويان دانشگاه تهران براي استقلال دانشگاه از وزارت معارف فعالانه شركت كرد. اين اعتصاب سرانجام در سال بعد با كوشش دكتر محمد مصدق منجر به تصويب تبصره اي در مجلس شد. در سال ۱۳۲۳ با «رباب مديري» ازدواج كرد و پدر دو دختر و يك پسر به نام هاي فرانك، رامين و فريبا شد. در سال ۱۳۲۵، يك مجمع فلسفي را هدايت كرد كه اشخاصي چون اميرحسين آريان پور و ابوالحسن فروغي و حسينعلي راشد در آن عضويت داشتند. پس از چندي اين مجمع در منزل استاد تشكيل شد و به مدت پنج سال ادامه يافت. در سال ۱۳۲۶، براي تنظيم رساله دكترا در هندسه ترسيم فضاي چهاربعدي استاد راهنماي «الكساندر سمباد آبيان» شد.

 

 


اين رساله بعد به تائيد الي كارتان نيز رسيد. در سال ۱۳۲۹، در كنگره بين المللي رياضيدانان در دانشگاه هاروارد به عنوان نماينده دانشگاه تهران شركت كرد و گزارش آن را به الي كارتان تقديم كرد. در اين زمان استاد به عضويت موسسه مطالعات پيشرفته دانشگاه پرينستون آمريكا درآمد. اين عضويت به درخواست رياست آن دانشگاه، پروفسور «اوپن هايمر»، انجام شد. استاد در ترم پائيز ۵۲۱۹۵۱ نيز به تدريس در آن دانشگاه مشغول شد. در اين سال ها، با اينشتين نيز به مصاحبت و گفت وگو مي پرداخت. در سال ۱۳۳۰ به ايران مراجعت كرد و به مدت يك سال رياست دانشگاه تبريز را عهده دار بود. در سال ۱۳۳۲، در كنگره بين المللي رياضيدانان در آمستردام به عنوان نماينده دانشگاه تهران شركت كرد. در سال ۱۳۳۵، در كنگره طوسي دانشگاه تهران به ايراد سخنراني پرداخت. در همين سال رياضيدان برجسته «زاريسكي»، مقيم آمريكا، اقامت چند روزه اي در منزل دكتر هشترودي داشت. در سال ۱۳۳۶، در كنگره بين المللي رياضيدانان زبان لاتين در شهر نيس فرانسه شركت كرد و از طرف شوراي استادان دانشكده به رياست دانشكده علوم دانشگاه براي يك دوره ۳ساله انتخاب شد.

 

 


استاد متعاقبا پيشنهاد كار در موسسه تحقيقاتي «كلژ دوفرانس» را رد كرد. در اين سال به تقاضاي بديع الزمان فروزانفر نايب رئيس انجمن ايراني فلسفه و علوم انساني دانشكده معقول و منقول، سخنراني اي در باب «تجسم و تصوير» ايراد كرد. باز در همين سال بود كه استاد كوشش مستمري براي تصويب تبصره الحاقي به قانون استخدام مهندسان را به انجام رساند كه اين قانون گام بزرگي براي اشتغال و تامين آتيه فارغ التحصيلان رشته هاي علوم بود. هشترودي در اين سال هدايت سازمان صنفي دانشجويان را به مدت ۳ سال عهده دار شد و تاسيس كانون فارغ التحصيلان دانشكده علوم را مطرح كرد. در سال ۱۳۳۷ در كنگره بين المللي رياضيدانان در ادينبو شركت كرد و با بزرگاني چون برتراند راسل به مصاحبت و گفت وگو پرداخت. در سال ۱۳۳۸ به پيشنهاد رياست انجمن اتحاديه بين المللي فضا به عضويت در اين انجمن درآمد. در همان سال دوره فوق ليسانس رياضي را در ايران راه اندازي كرد. در سال ۱۳۴۰ با همكاري منوچهر آتشي و احمد شاملو به مدت يك سال رياست هيات تحريريه نشريه فرهنگي، علمي، هنري «كتاب هفته» كيهان را به عهده گرفت.

  در سال ۱۳۴۳ در كنگره بين المللي ژئومتري و ژئودزي در صوفيه شركت كرد. در همين سال هياهويي براي نامزدي وي براي دريافت جايزه نوبل در زمينه مكانيك سماوي به وجود آمد. در سال ۱۳۴۷، طي نامه اي خطاب به مدير مجله يكان، پيشنهاد داد كه انجمن رياضي و انجمن معلمان رياضي، به مفهوم عام تشكيل شود. استاد در سال ۱۳۴۸ بنا به تقاضاي خودش بعد از ۳۱ سال خدمت در كسوت استادي تمام وقت دانشكده علوم، بازنشسته شد. در اين سال همچنين به رياست كانون فضايي ايران و رياست هيات امنا و شوراي نويسندگان مجله «فضا» منصوب شد. در سال هاي ۱۳۴۹ ، ۱۳۵۰ و ۱۳۵۱ در كنفرانس هاي اول، دوم و سوم رياضي كشور شركت كرد. در شهريور ماه سال ۱۳۴۹ موفق به دريافت لوح استاد ممتازي دانشگاه تهران شد. در سال ۱۳۵۱ در كنگره تحقيقات ايراني در دانشگاه تهران به ايراد سخنراني پرداخت. در سال ۱۳۵۲ همسر خويش را براي درمان روانه آلمان كرد. دختر بزرگش نيز در فرانسه به طور نابهنگامي وفات يافت و بدين ترتيب، احوال استاد رو به نزاري گذاشت و بالاخره، در ۱۳ شهريور ماه سال ۱۳۵۵، استاد بر اثر سكته قلبي به سراي باقي شتافت و جنازه وي در ۱۷ شهريور ماه از مسجد دانشگاه تهران تا بهشت زهرا تشييع شد.

كاربرد رياضي

 
 
كاربرد رياضي در زندگي  
 
 
 
 
     
 
   
 

بسيار پيش مي آيد كه دانش آموزان پس از تدريس يك درس ، از ما مي پرسند كه اين درس كه امروز خوانديم ،به چه درد ما مي خورد؟و كجامي توانيم ازآن استفاده كنيم ؟

رياضيات به عنوان يك درس اصلي است كه داشتن درك درست از آن در آينده ي تحصيلي دانش آموزان و طبعاً پيشرفت علمي كشور نقش مهمي دارد . همچنين شامل كليه ارتباطات رياضي با زندگي روزمرّه ، ساير علوم و كاربردهايي در زندگي علمي آينده ي دانش آموزاست .به اين ترتيب دربرنامه درسي و آموزشي ، برقرار كردن پيوند رياضيات با كاربردهايش در زندگي و ساير علوم از قبيل :هنر،علوم طبيعي ،علوم اجتماعي و . . . . بايد مدّ نظر قرار گيرد . در صورتي كه اين موارد در آموزش ديده نشود ، اين سؤ ال هميشه در ذهن دانش آموز باقي مي ماند كه:

« به چه دليل بايد رياضي خواند ؟ » و« رياضي به چه درد مي خورد ؟ »

دراين مقاله سعي شده است كه ارتباط دروس كتب رياضي راهنمايي با ساير علوم و همچنين كاربرد آنها در دنياي امروز ي تا حدودي بررسي شود و ارائه گردد .

بين رشته هاي علمي ، كه بشر در طول هزاران سال به وجود آورده ، رياضيّات جاي مخصوص و ضمناٌ مهمّي را اشغال كرده است . رياضيّات با علوم فيزيك ، زيست شناسي ، اقتصاد و فنون مختلف فرق دارد . با وجود اين به عنوان يكي از روشهاي اصلي در بررسيهاي مربوط به كامپيوتر ، فيزيك ، زيست شناسي ، صنعت واقتصاد بكار مي رود ودرآينده بازهم نقش رياضّيات گسترش بيشتري مي يابد.

با وجود اين مطلب ، براي آموزش جوانان هنوز از همان روشي استفاده مي شود كه سقراط و افلاطون ، حقايق عالي اخلاقي را براي شيفتگان منطق و فلسفه و براي علاقمندان سخنوري و علم كلام بيان مي كردند . در حقيقت در درسهاي حساب ، هندسه و جبر ،هرگز لزوم يادگيري آنها براي زندگي عملي خاطر نشان نمي شود. هرگز از تاريخ علم صحبتي به ميان نمي آيد. نظريه هاي سنگين علمي ، ولي هيچ نتيجه اي جز اين ندارد كه دانش آموزان را از علم بري كند و عدّه ي آنها را تقليل دهد .

يكي ازراههاي جدي براي حلّ مسئله توجه به تاريخ علم، گفتگو در باره ي مردان علم و ارتباط رياضي با عمل است ، ارتباطي كه در تمام دوران زندگي بشر هرگز قطع نشده است .

● كاربرد ارقام

در زمانهاي قديم هر قدمي كه در راه پيشرفت تمدّن برداشته مي شد، بر لزوم استفاده از اعداد مي افزود . اگر شخصي گله اي از گوسفندان داشت ، مي خواست آن را بشمرد ،يا اگر مي خواست معبد يا هرمي بسازد ، بايد مي دانست كه چقدر سنگ براي آن لازم دارد . اگر داراي زمين بود ، مي خواست آن رااندازه گيري كند . اگر قايقش را به دريا مي راند ، مي خواست فاصله ي خود را از ساحل بداند . و بالاخره در تجارت و مبادله ي اجناس در بازارها ، بايد ارزش اجناس حساب مي شد.هنگامي كه آدمي محاسبه با ارقام را آموخت ، توانست زمان ، فاصله مساحت ، حجم را اندازه گيري كند . با بكار بردن ارقام ، انسان بردانش و تسلّط خود بر دنياي پيرامونش افزود .

● كاربرد توابع و روابط بين اعداد

كاربرد روابط بين اعداد و توابع و نتيجه گيريهاي منطقي در نوشتن الگوريتمها و برنامه نويسي كامپيوتري است .

مفهوم تابع يكي از مهمترين مفاهيم رياضي است و در اصل تابع نوعي خاص از رابطه هاي بين دو مجموعه است . و با توجه به اين كه دنباله ها هم حالت خاصي از تابع است – تابعي كه دامنه آن مجموعه ي اعداد { . . . و ۲ و ۱ و ۰ } است – دنباله هاي عددي در رياضي و كامپيوتر كاربرد فراوان دارند . براي ساخت يك برنامه اساساٌ چهار مرحله را طي مي كنيم :

۱) تعريف مسئله

۲) طراحي حل

۳) نوشتن برنامه

۴) اجراي برنامه

لازم به ذكر است كه گردآيه هايي كه در مرحله دوم حاصل مي شود را اصطلاحاٌ الگوريتم مي ناميم .كه اين الگوريتمهابه زبان شبه كد نوشته مي شود ،كه شبيه زبان برنامه نويسي است وتبديل آنها به زبان برنامه نويسي را براي ما بسيار ساده مي كند .

 « هيچ دانسته ي بشر را نمي توان علم ناميد، مگر اينكه از طريق رياضيّات توضيح داده شده و ثابت شود . » ( لئو ناردو داوينچي )

● كاربرد معادله و دستگاه معادلات خطي

دستگاه هاي معادلات خطي اغلب براي حساب كردن بهره ي ساده ،پيشگويي ، اقتصاد و پيدا كردن نقطه ي سر به سر به كارميرود.

معمولاً هدف از حل كردن يك دستگاه معادلات خطي ، پيدا كردن محل تقاطع دو خط مي باشد.در مسائل دخل و خرج كه درمشاغل مختلف وجود دارد ، پيداكردن نقطه تقاطع معادلات خط يعني همان پيدا كردن نقطه ي سر به سر.* در اقتصاد هم نقطه تقاطع معادلات خطي ، عبارتست از : قيمت بازار يا نقطه اي كه در آن عرضه و تقاضا با هم برابر باشند.

● كاربرد تقارنها (محوري و مركزي ) و دَوَرانها

مباحث تقارنها ودورانها كه به تبديلات هندسي معروف هستند،درصنعت و ساختن وسائل و لوازم زندگي استفاده مي شوند . مثلاً در بافتن قالي و براي دادن نقش و نگار به آن از تقارن استفاده مي شود . در كوزه گري و سفالگري از دوران محوري استفاده مي شود . همچنين در معماريهاي اسلامي اغلب از تقارنها كمك گرفته مي شود . چرخ گوشت ، آب ميوه گيري ، پنكه ، ماشين تراش ُ بادوراني كه انجام مي دهند ، تبديل انرژي مي كنند . علاوه بر آن تبديلات هندسي براي آموزش مطالبي از رياضي استفاده مي شوند ،مانند : مفهوم جمع و تفريق اعداد صحيح با استفاده از بردار انتقال موازي محور.

▪ نقطه ي سر به سر : در بسياري از مشاغل ، هزينه ي توليد Cو تعداد X كالاي توليد شده را مي توان به صورت خطي بيان كرد.به همين ترتيب ، در آمد R حاصل از فروش X قلم كالاي توليدشده را نيز مي توان با يك معادله ي خطي نشان داد . وقتي هزينه ي C از در آمد R حاصل از فروش بيشتر باشد،اين توليدضررمي دهد. و وقتي در آمد R از هزينه ي C بيشتر باشد ،توليد سودميدهد . و هر گاه در آمد R و هزينه ي C مساوي باشند ،سود و زياني در بين نيست و نقطه اي كه در آن R=C باشد، نقطه ي سربه سر ناميده مي شود .

● كاربرد مساحت

مفهوم مساحت و تكنيك محاسبه مساحت اشكال مختلف ، از اهمّ مطالب هندسه است .به سبب كاربرد فراواني كه در زندگي روزمرّه مثلاً براي محاسبه ي مساحت زمينها با اَشكال مختلف . و همچنين درفيزيك و جغرافياوساير دروس دانستن مساحتهالازم به نظرمي رسد .

● كاربرد چهار ضلعيها

شناخت چهارضلعيها و و دانستن خواص آنها ، براي يادگيري مفاهيم ديگر هندسه لازم است و ضمناً در صنعت و ساخت ابزار و وسائل زندگي و همچنين براي ادامه تحصيل وهمينطور در بازار كار نياز به دانستن خواص چهارضلعيها احساس مي شود .

● كاربرد خطوط موازي و تشابهات

از خطوط موازي و مخصوصاً متساوي الفاصله ، در نقشه كشي و ترسيمات استفاده مي شود .و در اثبات احكامي نظير قضيه تالس۱ و عكس آن ، همچنين تقسيم پاره خط به قطعات متساوي يامتناسب .

تشابهات نيز از مفاهيم مهم هندسه و اساس نقشه برداري ،كوچك و بزرگ كردن نقشه ها و تصاوير و عكسها مي باشد .

مبحث تشابهات درهندسه دريچه اي است به توانائيهاي جديدبراي درك و فهم و كشف مطالب تازه ي هندسه ،به همين سبب آموزش خطوطمتوازي و متساوي الفاصله و مثلثهاي متشابه به حد نياز دانش

آموز مقطع راهنمايي لازم است .

۱) تالس دانشمند يوناني نشان داد كه به وسيله ي سايه ي يك شيء و مقايسه ي آن با سايه ي يك خط كش مي توان ارتفاع آن  شيء را اندازه گرفت . با استفاده از اصولي كه تالس ثابت كرد ،مي توان بلندي هر چيزي را حساب كرد . تنها چيزي كه نياز داريد ، يك وسيله ي ساده اندازه گيري است كه مي توانيد[آن را ] از يك قطعه مقواو تكه اي چوب درست كنيد.( مراجعه شودبه كتاب درجهان رياضيات نوشته ي اريك او بلاكر – صفحه ي ۳۰ )

تالس در زمان خود به كمك قضيه ي خودارتفاع اهرام مصررامحاسبه كرد همچنين وقتي از مصر به يونان بازگشت ، فاصله ي يك كشتي را از ساحل به كمك قضيه خود اندازه گرفت .روش ديگري هم براي

محاسبه بلندي وجود دارد وآن استفاده از نسبتهاي مثلثاتي است.

 ● كاربرد آمار و ميانگين

وقتي كسي از مقادير عددي كمك مي گيرد ، تا يك موقعيّت را توضيح دهد ، او وارد قلمرو آمار شده است . آمار معمولاً اثر تعيين كننده اي دارد . اگر چه ممكن است مفيد يا گمراه كننده باشد . ما عادت كرده ايم، كه پديده هاي زيادي نظيرموارد زير را با توجه به آمار ، پيش بيني كنيم :

احتمال پيروزي يك كانديداي رياست جمهوري،وضعيت اقتصادي(تورم،در آمد ناخالص ملي ، تعداد بيكاران ،كم وزيادشدن نرخ بهره هاونرخ سهام ، بازار بورس ، ميزان بيمه ، آمار طوفان،جذر و مد) و غيره .

قلمرو آمار به طور مرتب درحال بزرگ شدن است.آمار مي توانددر موارد زيادي ، براي قانع كردن مردم و يا انصراف آنهااز يك تصميم موءثّر باشد . به عنوان مثال : اگر افراداحساس كنند كه رأي آنها نتيجه ي انتخابات را تغيير نخواهد داد ، ممكن است ازشركت در انتخابات صرفنظر كنند .

در عصر ما آمار ابزار قوي و قانع كننده است،مردم به اعدادمنتشر شده ي حاصل از آمار گيري ،اعتماد زيادي نشان مي دهند.

به نظر مي رسد وقتي يك وضعيت وموقعيت باتوسل به مقادير عددي توصيف مي شود ، اعتبار گزارش در نظر مستمعين بالا مي رود .

● مقاطع مخروطي

در هواي گرم بستني بسيار خوشمزه ودلچسب است .بخصوص اگر بستني قيفي داشته باشيد ودر حالي كه روي يك صندلي و در سايه درختي نشسته باشيد و فارغ از جار و جنجال روزگار ، به خوردن بستني  مشغول باشيد. شايد همه چيز از ذهن شما بگذردمگرهمان بستني قيفي كه مشغول خوردن آن هستيد .

اين مطلب توجه يك رياضيدان بلژيكي خوش ذوق رابه خودجلب كرد و آن رابراي توضيح يكي ازمطالب مهم رياضي[يعني مقاطع مخروطي]بكار برد . واقعاً جالب است مگه نه ؟

مقاطع مخروطي يكي از مباحث مهم و كاربردي در رياضيات بوده وهست .

● ترسيمات هندسي

در ترسيمات و آموزش قسمتهاي ديگر هندسه، نياز فراوان به شناخت دايره و اجزاو خواص آن پيدا مي شود ، لذا در دوره ي راهنمايي ، مفهوم دايره ،وضع نقطه و خط نسبت به دايره،زاويه مركزي ، زاويه محاطي و تقسيم دايره به كمانهاي متساوي آموزش داده مي شود و به اين ترتيب دانش آموز براي يادگيري مطالب بعدي و استفاده ي عملي از آنها آماده مي شود . (همچنين من فكرميكنم از زاويه ي محاطي و اندازه ي آن براي نورپردازي در سالنهااستفاده مي شود . )

● كاربرد رياضيات در هنر و كامپيوتر

تاريخ نشان مي دهد كه در طي قرون ، هنرمندان وآثارشان تحت تأثيررياضيات قرار گرفته اند ،و زيبائي اثرشان به آگاهي آنها از اين دانش بستگي داشته است .ماهم اكنون استفاده ي آگاهانه از مستطيل طلايي ، و نسبت طلايي را در هنر يونان باستان ، به ويژه درآثارپيكرتراش يوناني« فيدياس »دقيقآ مشاهده مي كنيم.

مفاهيم رياضي از قبيل نسبتها ، تشابه، پرسپكتيو، خطاي باصره تقارن ، اشكال هندسي ، حدود و بينهايت در آثار هنري موجوداز قديم تا به امروز مكمل زيبايي آنها بوده است . و اكنون نيز « كامپيوتر » به كمك رياضيات هنر را ازابتدايي تامدرن توسعه مي دهد.

اگر آگاهي هنرمندان بارياضيات واستفاده ي عملي از ان نبود،برخي از آثار هنري خلق نمي شدند . بهترين نمونه ي آن تصاوير موزائيكي هنرمندن مسلمان وگسترش اين شكلهاي هندسي به وسيله ي

« M.S.Esher » جهت نشان دادن اجسام متحرك است .اگر هنرمندان به مطالعات توجهي نداشتندوخصوصيات اشكال را از نظر تطابق،تقارن انعكاس ،دوران ، انتقال و . . . كشف نكرده بودند ، خلق اين همه آثار هنري امكان پذير نبود .

« هنر رياضيات ،هنرپرسيدنِِِ پرسشهاي درست است وقطعه ي اصلي كار در رياضيات تخيل است و آن چه كه اين قطعه ي اصلي رابه حركت درمي آوردمنطق مي باشدوامكان استدلال

منطقي آن زمان پديد مي آيدكه ما پرسشهاي خود رادرست مطرح كرده باشيم.» (نوربرت ونيز )

● كاربرد حجم

به سبب نيازي كه دانش آموز در زندگي روز مرّه و همين طور در بكار گيري آن در ساير علوم نظير ، شيمي ، فيزيك ،زيست شناسي و مخصوصاً هنر برايش پيش مي آيد،همچنين در شغلهايي كه در جامعه وجود دارد و يا در ادامه تحصيل دانستن دستورهاي محاسبه ي حجماجسام ، يادگيري مبحث حجم ضروري به نظر مي رسد .

● كاربرد رابطه ي فيثاغورس

فيثاغورث در باره ي رابطه هاي عددي كه درساختمانهاي هندسي وجود دارد تحقيق مي كرد . او مثلث معروف به مثلث مصري را ، كه ضلعهاي آن با عددهاي ۳و۴و ۵ بيان مي شود ، را مي شناخت .

مصريها مي دانستند كه چنين مثلثي قائم الزاويه است .و ازآن براي تعيين زاويه هاي قائمه در تجديد تقسيم بندي زمينهاي اطراف نيل ،كه هر سال بر اثر طغيان آب شسته مي شد ، استفاده مي كردند.

يكي از مشكلترين مسائل در ساختن اهرام و معبدها ،طرح شالوده بنا به شكل مربع كامل بود كه هم تراز باسطح افق باشد . جزئي اشتباه به قيمت از شكل افتادن همه ي بنا تمام مي شد .

مصريان اين مشكل رابا ساختن شاقول از ميان برداشتند. نخستين شاقول احتمالاً تكه ريسمان يا نخي بود كه وزنه اي به آن آويخته بودند و ان را در برابر بنا مي گرفتند تا وزنه ي آن به زمين صاف برسد . در اين حالت نخ مي بايست كاملاً عموديا شاقول باشد و زاويه ي بين آن و زمين صاف يك زاويه ي قائمه بسازد.

همچنين معماران كشف كردندكه چگونه مي توان با ريسمان هاي اندازه گيري كه درفاصله هاي مساوي گره خورده بودند، مثلثهاي قائم الزاويه اي بسازند و اين مثلثها را راهنماي خويش در ساختن گوشه ها ( نبش ها )ي بنا قرار دهند .

● جمع بندي و نتيجه گيري

بدون شك مهمترين هدف ما از بيان مطالب بالا اين است كه بتوانيم دانش آموزان را با اهداف كتب رياضي آشنا كنيم و آنها را نسبت به رياضيات علاقمند كنيم . تجربه نشان داده است كه حتي در رشته هاي فني ، مانند خياطي هم اهداف پرورشي رياضي اهميت دارند به همين خاطر دربرنامه ي درسي تمام رشته هاي تحصيلي درس رياضي گنجانده شده است .

در كتب جديد رياضي سعي شده است كه مطالب طوري بيان شوند كه دانش آموز نفهميده مطلبي را نپذيرد.هر چند بعضي مطالب شهودي است.ولي دانش آموز از طريق درك مفاهيم درس ياد مي گيرد و به

تدريج با فرايندتفكر رياضي آشنا مي شود .معلمين هم بايد به اين نكته توجه داشته باشند و تصور نكنند كه هدف آموزش رياضي فقط در ياد دادن چند قاعده و حل ماشيني مسائل خلاصه مي شود

تقويم ذهني بوسيله رياضي

روش حفظ كل تقويم سال در چند دقيقه:اين كار بسيار ساده است. حتي در ظرف يك دقيقه هم امكان پذير است:

فقط شما كافي است اولين شنبه هر ماه رو بدونيد كه چندم است؟

مثلا فروردين سوم است و اولين پنجشنبه اون ميشود ۵+۳=۸

براي هر ماه در ذهن خودتون يك رمز بسازيد

اسفند:وقتي اسپند دود مي كنم يك غول سه سر از اون بيرون مياد!

دومين سه شنبه؟------>۳+۷+۳=۱۳

مربع جادويي

در اين مقاله سعي داريم نگاهي گذرا به تاريخچه مربع جادويي (وفقي) بيافكنيم و راه حلي كه چكيده انديشه دانشمندان صاحب نام است ارائه دهيم. بشر از گذشته هاي دور مجذوب نيروي شگفت آور اعداد بوده است به طوري كه يكي از سرگرميهاي او بازي با اعداد بود. اعداد بعدها از حالت بازي خارج شد و جنبه سحر و جادو به خود گرفت و مشتي عوام فريب به عنوان رمال و دعا نويس براي پيش برد كار خود از اعداد استفاده مي كردند.

در ميان بازي با عدد –اعداد جادويي همواره مقام والايي داشته است چنانچه امام محمد غزالي فيلسوف و دانشمند بزرگ ايراني رساله اي در اين باب به زبان فارسي دارد.از اسناد و مدارك موجود مي بايد كشور چين را زادگاه مربع جادويي جهان دانست زيرا قديميترين جايي كه از آن نام برده شده است كتابيست چيني كه حدود چهار تا پنج هزار سال پيش از ميلاد مسيح نوشته شده است.

اين مربع جادويي 9 خانه اي است و اعداد فرد به صورت دايره هاي سفيد و اعداد زوج به صورت دايره هاي سياه ترسيم شده است. قديميترين مربع جادويي اروپا در تابلوي « افسردگي » اثر « آلبرشت ديورر » نقاش آلماني نقش شده است كه سال ترسيم آن 1514 ميلادي است اين مربع شبيه مربع جادوي هنديهاست كه دو هزار سال از عمر آن مي  گذرد.

گوته شاعر بزرگ آلماني در شاهكار فنا ناپذير خود « فاوست » صحنه اي را مختص ساختن اكسير جواني مي كند آنهم با فرمول مربع وفقي. او مي نويسد:

تو بايد بفهمي

يك را 10 كن

و از 2 بگذر

و همچنين از 3

تا انجا كه

حذف كني 4 را

جادوگر چنين گويد

5 و 6 را

7 و 8 كن ( و بر عكس )

و 9 و 1

و 10 هيچ است

يك در يك جادوگر اينست.

با كمي دقت معلوم مي شود كه مربع جادويي او كامل نيست. قدر مسلم او با مربعهاي وفقي آشنايي داست زيرا بارها از تابلوي « افسردگي » ديورر سخن گفته و به نكات علمي آن اشاره كرده است ولي در قطعه بالا خواسته است بغض و كينه ديرينه خود را نسبت به رياضيدانان زمان خود ظاهر سازد با اين وجود نمي توان منكر اين حقيقت شد كه گوته مجذوب مربع وفقي بود در غير اينصورت هرگز آن را به شعر در نمي آورد و در شاهكار خود جاوداني نمي كرد.

X