تاريخ پيدايش رياضيات

سه قرن اول رياضيات يوناني كه با تلاشهاي اوليه در هندسه برهاني بوسيله تالس در حدود ۶۰۰ سال قبل از ميلاد شروع شده و با كتاب برجسته اصول اقليدس در حدود ۳۰۰ سال قبل از ميلاد به اوج رسيد، دوره‌اي از دستاوردهاي خارق العاده را تشكيل مي‌دهد. در حدود ۱۲۰۰ سال قبل از ميلاد بود كه قبايل بدوي “دوريايي” با ترك دژهاي كوهستاني شمال براي دستيابي به قلمروهاي مساعدتر در امتداد جنوب راهي شبه جزيره يونان شدند و متعاقب آن قبيله بزرگ آنها يعني اسپارت را بنا كردند. بخش مهمي از سكنه قبلي براي حفظ جان خود ، به آسياي صغير و زاير يوناني و جزاير يوناني درياي اژه گريختند و بعدها در آنجا مهاجرنشنهاي تجاري يوناني را برپا كردند. در اين مهاجرنشينها بود كه در قرن ششم (ق.م) اساس مكتب يوناني نهاده شد و فلسفه يوناني شكوفا شد و هندسه برهاني تولد يافت. در اين ضمن ايران بدل به امپراطوري بزگ نظامي شده بود و به پيروزي از يك برنامه توسعه طلبانه در سال ۵۴۶ (ق.م) شهر يونيا و مهاجرنشينهاي يوناني آسياي صغير را تسخير نمود. در نتيجه عده‌اي از فيلسوفان يوناني مانند فيثاغورث موطن خود را ترك و به مهاجرنشينهاي در حال رونق جنوب ايتاليا كوچ كردند. مدارس فلسفه و رياضيات در “كروتونا” زير نظر فيثاغورث در “اليا” زير نظر كسنوفانس ، زنون و پارميندس پديد آمدند.
در حدود۴۸۰ سال قبل از ميلاد آرامش پنجاه ساله براي آتنيها پيش آمد كه دوره درخشاني براي آنان بود و رياضيدانان زيادي به آتن جذب شدند. در سال ۴۳۱ (ق.م) با آغاز جنگ “پلوپونزي” بين آتنيهاي و آسپارتها ، صلح به پايان رسيد و با شكست آتنيها دوباره ركورد حاصل شد.
 ظهور افلاطون و نقش وي در توليد دانش رياضي
اگرچه با پايان جنگ پلوپرنزي مبادله قدرت ---------- كم اهميت تر شد، اما رهبري فرهنگي خود را دوباره بدست آورد. افلاطون در آتن يا حوالي آن و در سال ۴۲۷ (ق.م) كه در همان سال نيز طاعون بزرگي شيوع يافت و يك چهارم جمعيت آتن را هلاك رد و موجب شكست آنها شد، به دنيا آمد، وي فلسفه را در آنجا زير نظر سقراط خواند و سپس در پي كسب حكم عازم سير و سفرهاي طولاني شد. وي بدين ترتيب رياضيات را زير نظر تيودوروس در ساحل آفريقا تحصيل كرد. در بازگشت به آتن در حدود سال ۳۸۷ (ق.م) آكادمي معروف خود را تاسيس كرد.
تقريبا تمام كارهاي مهم رياضي قرن چهارم (ق.م) بوسيله دوستان يا شاگردان افلاطون انجام شده بود. آكادمي افلاطون به عنوان حلقه ارتباط رياضيات فيثاغورثيان اوليه و رياضيات اسكندريه در آمد. تاثير افلاطون بر رياضيات ، معلول هيچ يك از كشفيات رياضي وي نبود، بلكه به خاطر اين اعتقاد شورانگيز وي بود كه مطالعه رياضيات عاليترين زمينه را براي تعليم ذهن فراهم مي‌آورد و از اينرو در پرورش فيلسوفان و كساني كه مي‌بايست دولت آرماني را اداره كنند، نقش اساسي داشت. اين اعتقاد ، شعار معروف او را بر سر در آكادمي وي توجيه مي‌كند: “كسي كه هندسه نمي‌داند، داخل نشود.” بنابراين به دليل ركن منطقي و نحوه برخورد ذهني نابي كه تصور مي‌كرد مطالعه رياضيات در شخص ايجاد مي‌كند، رياضيات به نظر افلاطون از بيشترين اهميت برخوردار بود، و به همين جهت بود كه جاي پر ارزش را در برنامه درس آكادمي اشغال مي‌كرد. در بيان افلاطون اولين توضيحات درباره فلسفه رياضي موجود هست.
  ادامه دهندگان مسير افلاطون
▪ ايودوكسوس كه هم نزد آرخوتاس و هم نزد افلاطون درس خوانده بود، مدرسه‌اي در سينويكوس در آسياي صغير تاسيس كرد.
▪ منايخموس از معاشرين افلاطون و يكي از شاگردان ايودوكسوس ، مقاطع مخروطي را ابداع كرد.
▪ دينوستراتوس ، برادر منايخموس، هندسه داني ماهر و از شاگردان افلاطون بود.
▪ تياتيتوس ، مردي با استعدادهاي خيلي عادي كه احتمالا قسمت اعظم مطالب مقاله‌هاي دهم و يازدهم اقليدس را نيز به او مديونيم، يكي از شاگردان تيودوروس بود.
▪ ارسطو گرچه ادعاي رياضيداني نداشت ولي سازمان دهنده منطقي قياسي و نويسنده آثاري در باب موضوعات فيزيكي بود. وي تسلط خارق العاده‌اي بر روشهاي رياضي داشت.
�? مسيرهاي تكامل رياضيات در يونان
در تكامل رياضيات طي ۳۰۰ سال اول ، سه خط سير مهم و متمايز را مي‌توان تشخيص داد.
▪ ابتدا ، بسط مطالبي است كه در اصول مدون شد، كه با توانايي توسط فيثاغورثيان شروع شد و بعدها بقرط ، ايودوروس ، تياتيتوس ، ديگران مطالبي به آن اضافه كردند.
▪ خط سير دوم شامل بسط مفاهيمي است در رابطه با بينهايت كوچكها و روندهاي حدي و مجموع يابي كه تا بعد از اختراع حساب ديفرانسيل و انتگرال در دوارن معاصر به وضوح نهايي دست نيافتند. پارادوكسهاي زنون؛ روش افناي آنتيخوان و ايودوكسوس و نظر اتمي بودن جهان كه به نام دموكريتوس مربوط است، به مسير رشد دوم تعلق دارند.
▪ سومين مسير تكاملي مربوط به هندسه عالي يا هندسه منحنيهايي بجز دايره و خط مستقيم و سطوحي غير از كره و صفحه است. شگفت آنكه قسمت عمده اين هندسه عالي در تلاشهاي مستمر براي حل سه مساله ترسيم كه امروزه هم مشهورند عبارتند از: تضعيف مكعب ، تثليث زاويه و تربيع دايره اختصاص دارد

تابع عددي

در رياضيات، يك تابع رابطه‌اي است كه هر متغير دريافتي خود را به فقط يك خروجي نسبت مي‌دهد. علامت استاندارد خروجي يك تابع f به همراه ورودي آن، x مي‌باشد يعني‎ f(x)‏. به مجموعه ورودي‌هايي كه يك تابع مي‌تواند داشته باشد دامنه و به مجموعه خروجي‌هايي كه تابع مي‌دهد برد مي‌گويند. براي مثال عبارت f(x) = x2 نشان دهنده يك تابع است، كه در آن f مقدار x را دريافت مي‌كند و x2 را مي‌دهد. در اين صورت براي ورودي 3 مقدار 9 به دست مي‌آيد. براي مثال، براي يك مقدار تعريف شده در تابع f مي‌توانيم بنويسيم، f(4) = 16.
معمولاً در تمارين رياضي براي معرفي كردن يك تابع از كلمه f استفاده مي‌كنيم و در پاراگراف بعد تعريف تابع يعني f(x) = 2x+1 را مي‌نويسم و سپس f(4) = 9. وقتي كه نامي براي تابع نياز نباشد اغلب از عبارت y=x2 استفاده مي‌شود.
وقتي كه يك تابع را تعريف مي‌كنيم، مي‌توانيم خودمان نامي به آن بدهيم، براي مثال:
يكي از خواص تابع اين است كه براي هر مقدار بايد يك جواب وجود داشته باشد، براي مثال عبارت:
يك تابع نمي‌باشد، زيرا ممكن است براي يك مقدار دو جواب وجود داشته باشد. جذر عدد 9 برابر 3 است و در اين رابطه اعداد +3 و -3 به دست مي‌آيند. براي ساختن يك تابع ريشه دوم، بايد فقط يك جواب براي آن وجود داشته باشد، يعني:
كه براي هر متغير غيرمنفي يك جواب غيرمنفي وجود دارد.
در يك تابع لزومي ندارد كه حتماً بر روي عدد علمياتي انجام گيرد. يك مثال كه نشان مي‌دهد كه عملياتي بر روي عدد انجام نمي‌شود، تابعي است كه پايتخت يك كشور را معين مي‌كند. مثلاً Capital(France) = Paris.
حال كمي دقيق‌تر مي‌شويم اما هنوز از مثال‌هاي خودماني استفاده مي‌كنيم. A و B دو مجموعه هستند. يك تابع از A به B با به هم پيوستن مقادير منحصر به فرد درون A معين مي‌شود و مجموعه B به دست مي‌آيد. به مجموعه A دامنه تابع مي‌گويند؛ مجموعه B هم تمام مقاديري را كه تابع مي‌تواند داشته باشد شامل مي‌شود.
در بيشتر زمينه‌هاي رياضي، اصطلاحات تبديل و نگاشت معمولاً با تابع هم معني پنداشته مي‌شوند. در هر حال ممكن است كه در بعضي زمينه‌هاي خصوصيات ديگري داشته باشند. براي مثال در هندسه، يك نگاشت گاهي اوقات يك تابع پيوسته تعريف مي‌شود.
تعاريف رياضي يك تابع
يك تابع f يك رابطه دوتايي است، به طوري كه براي هر x يك و فقط يك y وجود داشته باشد تا x را به y رابطه دهد. مقدار تعريف شده و منحصر به فرد y با عبارت (f(x نشان داده مي‌شود.
به دليل اينكه دو تعريف براي رابطه دوتايي استفاده مي‌شود، ما هم از دوتعريف براي تابع استفاده مي‌كنيم.
تعريف اول
ساده تعريف رابطه دوتايي عبارتست از: «يك رابطه دوتايي يك زوج مرتب مي‌باشد». در اين تعريف اگر رابطه دوتايي دلالت بر «كوچكتر از» داشته باشد آن گاه شامل زوج مرتب‌هايي مانند (2, 5) است، چون 2 از 5 كوچكتر است.
يك تابع مجموعه‌اي از زوج مرتب‌ها است به طوري كه اگر (a,b) و (a,c) عضوي از اين مجموعه باشند آن گاه b با c برابر باشد. در اين صورن تابع مجذور شامل زوج (3, 9) است. رابطه جذر يك تابع نمي‌باشد زيرا اين رابطه شامل زوج‌هاي (9, 3) و (9, -3) است و در اين صورت 3 با -3 برابر نيست.
دامنه تابع مجموعه مقادير x يعني مختص‌هاي اول زوج‌هاي رابطه مورد نظر است. اگر x در دامنه تابع نباشد آن گاه (f(x هم تعريف نشده‌است.
برد تابع مجموعه مقادير y يعني مختص‌هاي دوم زوج‌هاي رابطه مورد نظر است.
تعريف دوم
بعضي از نويسندگان نياز به تعريفي دارند كه فقط از زوج‌هاي مرتب استفاده نكند بلكه از دامنه و برد در تعريف استفاده شود. اين گونه نويسندگان به جاي تعريف زوج مرتب از سه‌تايي مرتب (X,Y,G) استفاده مي‌كنند، كه در آن X و Y مجموعه هستند (كه به آنها دامنه و برد رابطه مي‌گوييم) و G هم زيرمجموعه‌اي از حاصل‌ضرب دكارتي X و Y است (كه به آن گراف رابطه مي‌گويند). در اين صورت تابع رابطه دوتايي است كه در آن مقادير X فقط يك بار در اولين مختص مقادير G اتفاق مي‌افتد. در اين تعريف تابع داراي برد منحصر به فرد است؛ اين خاصيت در تعريف نخست وجود نداشت.
شكل تعريف تابع بستگي به مبحث مورد نظر دارد، براي مثال تعريف يك تابع پوشا بدون مشخص كردن برد آن امكان‌ناپذير است.
پيشينه تابع
«تابع»، به عنوان تعريفي در رياضيات، توسط گاتفريد لايبنيز در سال 1694، با هدف توصيف يك كميت در رابطه با يك منحني به وجود آمد، مانند شيب يك نمودار در يك نقطه خاص. امروزه به توابعي كه توسط لايبنيز تعريف شدند، توابع مشتق‌پذير مي‌گوييم، اغلب افراد اين توابع در هنگام آموختن رياضي با اين گونه توابع برمي خورند. در اين گونه توابع افراد مي‌توانند در مورد حد و مشتق صحبت كنند. چنين توابعي پايه حسابان را مي‌سازند.
واژه تابع بعدها توسط لئونارد اويلر در قرن هجدهم، براي توصيف يك عبارت يا فرمول شامل متغيرهاي گوناگون مورد استفاده قرار گرفت، مانند f(x) = sin(x) + x3.
در طي قرن نوزدهم، رياضي‌دانان شروع به فرموله كردن تمام شاخه‌هاي رياضي كردند. ويرسترس بيشتر خواهان به وجود آمدن حسابان در علم حساب بود تا در هندسه، يعني بيشتر طرفدار تعريف اويلر بود.
در ابتدا، ايده تابع ترجيحاً محدود شد. براي ژوزف فوريه مدعي بود كه تمام توابع از سري فوريه پيروي مي‌كنند در حالي كه امروزه هيچ رياضي‌داني اين مطلب را قبول ندارد. با گسترش تعريف توابع، رياضي‌دانان توانستند به مطالعه «عجايب» در رياضي بپردازند از جمله اين كه يك تابع پيوسته در هيچ مكان گسستني نيست. اين توابع در ابتدا بيان نظريه‌هايي از روي كنجكاوي فرض مي‌شد و آنها از اين توابع براي خود يك «غول» ساخته بودند و اين امر تا قرن بيستم ادامه داشت.
تا انتهاي قرن نوزدهم رياضي‌دانان سعي كردند كه مباحث رياضي را با استفاده از نظريه مجموعه فرموله كنند و آنها در هر موضوع رياضي به دنبال تعريفي بودند كه از مجموعه استفاده كند. ديريكله و لوباچوسكي هر يك به طور مستقل و تصادفاً هم زمان تعريف «رسمي» از تابع دادند.
در اين تعريف، يك تابع حالت خاصي از يك رابطه است كه در آن براي هر مقدار اوليه يك مقدار ثانويه منحصر به فرد وجود دارد.
تعريف تابع در علم رايانه، به عنوان حالت خاصي از يك رابطه، به طور گسترده‌تر در منطق و علم تئوري رايانه مطالعه مي‌شود.

آشنايي با عدد e

پايه لگاريتم طبيعي (~ 2.71828)، اولين بار توسط لئونارد اولر (Leonhard Euler 1707-83) يكي از باهوشترين رياضي دانان تاريخ رياضيات مورد استفاده قرار گرفت.

در يكي از دست خطهاي اولر كه ظاهرا" بين سالهاي 1727 و 1728 تهيه شده است با تيتر Meditation on experiments made recently on the firing of cannon اولر از عدي بنام e صحبت مي كند. هر چند او رسما" اين نماد را در سال 1736 در رساله اي بنام Euler`s Mechanica معرفي ميكند.


 در واقع بايد اعتراف كرد كه اولر كاشف يا مخترع عدد e نبوده است بلكه سالها قبل فردي بنام جان ناپير (John Napier 1550-1617) در اسكاتلند هنگامي كه روي لگاريتم بررسي مي كرده است بحث مربوط به پايه طبيعي لگاريتم را به ميان كشيده است. فراموش نكنيد كه شواهد نشان ميدهد حتي در قرن هشتم ميلادي هندي ها با محاسبات مربوط به لگاريتم آشنايي داشته اند.
در اينكه چرا عدد ~ 2.71828 بصورت e توسط اولر نمايش داده شده است صحبت هاي بسياري است. برخي e را اختصار exponential مي دانند، برخي آنرا ابتداي اسم اولر (Euler) مي دانند و برخي نيز ميگويند چون حروف a,b,c و d در رياضيات تا آن زمان به كررات استفاده شده بود، اولر از e براي نمايش اين عدد استفاده كرد. هر دليلي داشت به هر حال امروزه اغلب اين عدد را با نام Euler مي شناسند.

اولر هنگامي كه روي برخي مسائل مالي در زمينه بهره مركب در حال كار بود به عدد e علاقه پيدا كرد. در واقع او دريافت كه در مباحث بهره مركب، حد بهره به سمت عددي متناسب (يا مساوي در شرايط خاص) با عدد e ميل ميكند. بعنوان مثال اگر شما 1 ميليون تومان با نرخ بهره 100 درصد در سال بصورت مركب و مداوم سرمايه گذاري كنيد در پايان سال به رقمي حدود 2.71828 ميلون تومان خواهيد رسيد.

در واقع در رابطه بهره مركب داريم :

 
P = C (1 + r/n) nt


كه در آن P مقدار نهايي سرمايه و بهره است، C مقدار اوليه سرمايه گذاري شده،r نرخ بهره، n تعداد دفعاتي است كه در سال به سرمايه بهره تعلق مي گيرد و t تعداد سالهايي است كه سرمايه گذاري مي شود.

در اين رابطه اگر n به سمت بي نهايت ميل كند - حالت بهره مركب - فرمول را مي توان بصورت زير ساده كرد :

 
P = C e rt


اولر همچنين براي محاسبه عدد e سري زير را پيشنهاد داد :

 
e = 1+ 1/2 + 1/(2 x 3) + 1/(2 x 3 x 4) + 1/(2 x 3 x 4 x 5) + . . .


لازم است ذكر شود كه اولر علاقه زيادي به استفاده از نمادهاي رياضي داشت و رياضيات امروز علاوه بر عدد e در ارتباط با مواردي مانند i در بحث اعداد مختلط، f در بحث توابع و بسياري ديگر نمادها مديون بدعت هاي اولر است .

اصول اقليدس

پنج اصل متعارفي ، يا مفهوم عمومي اقليدس

١_چيزهايي كه با يك چيز مساوي اند ، با يكديگر نيز مساوي اند

 ٢_اگر چيزهاي مساوي به چيزهاي مساوي اضافه شوند كلها مساوي اند

 ٣_اگر چيزهاي مساوي از چيزهاي مساوي كم شوند ، باقيمانده ها مساوي اند

 ۴_چيزهايي كه بر يكديگر منطبق شوند با يكديگر مساوي اند

 ۵_كل از جزء بزرگتر است

 و پنج اصل موضوع هندسي از اقليدس

1- از هر نقطه ميتوان خط مستقيمي به هر نقطۀ ديگر كشيد

2- هر خط مستقيم متناهي را مي توان روي همان خط به طور نامحدود امتداد داد

3- ميتوان دايره اي با هر نقطۀ دلخواه به عنوان مركز آن و با شعاعي مساوي هر پاره خط رسم شده از مركز آن ترسيم كرد

4-همۀ زواياي قائمه با هم مساوي اند

5- اگر خط مستقيمي دو خط مستقيم را قطع كند به طوري كه مجموع زاوياي داخلي يك طرف آن كمتر از دو قائمه باشد اين دو خط مستقيم اگر به طور نامحدود امتداد داده شوند ، در طرفي كه دو زاويه مجموعا از دو قائمه كمترند ، همديگر را قطع خواهند كرد

مقايسۀ رياضيات يوناني و هندي

بين رياضيات يوناني و هندي اختلاف زيادي وجود دارد. در وهلۀ اول ، هندياني كه در رياضيات كار مي كردند ، خود را در اصل منجم مي پنداشتند ، و لذا رياضيات هندي عمدتا به صورت ابزاري در خدمت نجوم باقي ماند ؛ اما در يونان ، رياضيات هستي مستقلي يافت و رياضيات به خاطر خود رياضيات مورد مطالعه قرار گرفت . همچنين ، به خاطر وجود نظام كاستي ، رياضيات در هند تقريبا به طور كامل به وسيلۀ روحانيون رشد و نمو يافت؛ در يونان باب رياضيات بر هر كسي كه پرواي مطالعۀ آن را داشت ، مفتوح بود . بعلاوه ، هنديان حسابگراني ممتاز ولي هندسه داناني متوسط بودند ، يونانيان در هندسه تفوق يافتند ولي به كارهاي محاسباتي كمتر توجهي از خود نشان دادند . حتي مثلثات هندي ، كه قابل ستايش بود، ماهيت حسابي داشت ؛ مثلثات يوناني واجد خصيصۀ هندسي بود هنديان به نظم مي نوشتند و آثار خود را اغلب در قالب زباني مبهم و مرموز در مي آوردند، يونانيان سعي در بيان واضح و منطقي داشتند. رياضيات هندي عمدتاً تجربي بود كه براهين و روشهاي استخراج به ندرت در آن عرضه مي شد ، صفت مميزۀ رياضيات يوناني در اصرار آن بر براهين دقيق است . رياضيات هندي از نظر كيفيت اصلا يكدست نيست ، رياضيات پرمايه و ضعيف اغلب در كنار هم ظاهر مي شوند ؛ يونانيان ظاهرا غريزه اي داشتند كه آنها نويسندۀ مسلمان ابوريحان بيروني در كتاب معروفش تحقيق ماللهند، رياضيات هندي ، بر خلاف رياضيات يوناني كه كيفيتي يكدست عالي دارد « مخلوطي است از صدف و خزف ... يا ممزوجي از در پر بها و سنگريزۀ بي بها » . قسمتي از اختلاف بين رياضيات يوناني و هندي ، امروزه در تفاوت بين بسياري از كتابهاي درسي مقدماتي جبر و هندسه ما جنبۀ دائمي يافته است .

تاريخچه عدد صفر

يكي از معمول ترين سئوالهائي كه مطرح مي شود اين است كه: چه كسي صفر را كشف كرد؟ البته براي جواب دادن به اين سئوال بدنبال اين نيستيم كه بگوئيم شخص خاصي صفر را ابداع و ديگران از آن زمان به بعد از آن استفاده مي كردند.

اولين نكته شايان ذكر در مورد عدد صفر اين است كه اين عدد دو كاربرد دارد كه هر دو بسيار مهم تلقي مي شود يكي از كاربردهاي عدد صفر اين است كه به عنوان نشانه اي براي جاي خالي در دستگاه اعداد (جدول ارزش مكاني اعداد) بكار مي رود. بنابراين در عددي مانند 2106 عدد صفر استفاده شده تا جايگاه اعداد در جدول مشخص شود كه بطور قطع اين عدد با عدد 216 كاملاً متفاوت است. دومين كاربرد صفر اين است كه خودش به عنوان عدد بكار مي رود كه ما به شكل عدد صفر از آن استفاده مي كنيم.

هيچكدام از اين كاربردها تاريخچه پيدايش واضحي ندارند. در دوره اوليه تاريخ كاربرد اعداد بيشتر بطور واقعي بوده تا عصر حاضر كه اعداد مفهوم انتزاعي دارند. بطور مثال مردم دوران باستان اعداد را براي شمارش تعداد اسبان، ... بكار مي برند و در اينگونه مسائل هيچگاه به مسئله اي برخورد نمي كردند كه جواب آن صفر يا اعداد منفي باشد.

بابليها تا مدتها در جدول ارزش مكاني هيچ نمادي را براي جاي خالي در جدول بكار نمي بردند. مي توان گفت از اولين نمادي كه آنها براي نشان دادن جاي خالي استفاده كردن گيومه (") بود. مثلاً عدد6"21 نمايش دهنده 2106 بود. البته بايد در نظر داشت كه از علائم ديگري نيز براي نشان دادن جاي خالي استفاده مي شد وليكن هيچگاه اين علائم به عنوان آخرين رقم آورده نمي شدندبلكه هميشه بين دو عدد قرار مي گيرند بطور مثال عدد "216 را با اين نحوه علامت گذاري نداريم. به اين ترتيب به اين مطلب پي مي بريم كه كاربرد اوليه عدد صفر براي نشان دادن جاي خالي اصلاً به عنوان يك عدد نبوده است.

البته يونانيان هم خود را از اولين كساني مي دانند كهدرجاي خالي ,صفر استفاده مي كردند اما يونانيان دستگاه اعداد (جدول ارزش مكاني اعداد) مثل بابليان نداشتند. اساساً دستاوردهاي يونانيان در زمينه رياضي بر مبناي هندسه بوده و به عبارت ديگر نيازي نبوده است كه رياضي دانان يوناني از اعداد نام ببرند زير آنها اعداد را بعنوان طول خط مورد استفاده قرار مي دادند.

البته بعضى ازرياضي دانان يوناني ثبت اطلاعات نجومي را بر عهده داشتند. در اين قسمت به اولين كاربرد علامتي اشاره مي كنيم كه امروزه آن را به اين دليل كه ستاره شناسان يوناني براي اولين بار علامت 0 را براي آن اتخاذ كردند، عدد صفر مي ناميم. تعداد معدودي از ستاره شناسان اين علامت را بكار بردند و قبل از اينكه سرانجام عدد صفر جاي خود را بدست آورد، ديگر مورد استفاده قرار نگرفت و سپس در رياضيات هند ظاهر شد.

هنديان كساني بودند كه پيشرفت چشمگيري در اعداد و جدول ارزش مكاني اعداد ايجاد كردند هنديان نيز از صفر براي نشان دادن جاي خالي در جدول استفاده مي كردند.

اكنون اولين حضور صفر را به عنوان يك عدد مورد بررسي قرار مي دهيم اولين نكته اي كه مي توان به آن اشاره كرد اين است كه صفر به هيچ وجه نشان دهنده يك عدد بطور معمول نمي باشد. از زمانهاي پيش اعداد به مجموعه اي از اشياء نسبت داده مي شدند و در حقيقت با گذشت زمان مفهوم صفر و اعداد منفي كه از ويژگيهاي مجموعه اشياء نتيجه نمي شدند، ممكن شد. هنگاميكه فردي تلاش مي كند تا صفر و اعداد منفي را بعنوان عدد در نظر بگيريد با اين مشكل مواجه مي شود كه اين عدد چگونه در عمليات محاسباتي جمع، تفريق، ضرب و تقسيم عمل مي كند. رياضي دانان هندي سعي بر آن داشتند تا به اين سئوالها پاسخ دهندو در اين زمينه نيز تا حدودى موفق بوده اند .

اين نكته نيز قابل ذكر است كه تمدن ماياها كه در آمريكاي مركزي زندگي مي كردند نيز از دستگاه اعداد استفاده مي كردند و براي نشان دادن جاي خالي صفر را بكار مي برند.

بعدها نظريات رياضي دانان هندي علاوه بر غرب، به رياضي دانان اسلامي و عربي نيز انتقال يافت. فيبوناچي، مهمترين رابط بين دستگاه اعداد هندي و عربي و رياضيات اروپا مي باشد.

اعداد پايه

عدد ۱۰به عنوان پايه اي قابل قبول براي شمردن استفاده مي شود .اما طايفه ي«گل»درفرانسه يباستان قبيله ي «مايا»در آمريكاي مركزي ومردم ديگر از عدد ۲۰ به عنوان پايه براي شمارش استفاده مي كردند.

سومري ها،بابلي ها و افراد بعد از آن ها از پايه ي ۶۰ استفاده مي كردند.به اين علت كه عدد ۶۰ مي تواند به۲ ،۳،،۲۰،۱۵،۱۲،۱۰،۶،۵،۴و۳۰تقسيم شود.عدد ۶۰  درتقسيم بندي ساعات به دقايق وثانيه ها ،نيز در تقسيم بندي دايره به ۳۶۰درجه باقي مانده است.

قوانين جادويي اعداد

سياري از رياضيدانان قديم عقيده داشتند كه قوانين جادويي بر اعداد حكمفرماست . ان ها سعي مي كردند به اين قوانين دست يابند و به اين ترتيب بر ديگران برتري پيدا كنند. هنوز هم عده اي از مردم به اين اعداد و نقش جادويي ان ها اعتقاد دارند .

اگر مي خواهيد عدد جادويي نامتان را بدانيد طبق جدول زير عمل كنيد .

الف  1 ب  2 پ  3 ت  4 ث   5 ج    6 چ    7
ح    8 خ    9
د    1
ذ   2
 ر  3
 ز  4
 ژ   5
 س  6
 ش  7
 ص 8
ض  9
ط   1
ظ  2
ع   3
 غ  4
 ف  5
 ق   6
 ك   7
 گ  8
 ل   9
م    1
ن  2
 و  3
 ه   4
 ي  5
       


نام و نام خانوادگي تان را بنويسيد.           محمد خوارزمي

عدد هر حرف را زير آن بنويسيد               ۵۱۴۳۱۳۹۱۱۱۸۱ 

عدد ها را با هم جمع كنيد .

۳۸=۱+۸+۱+۱+۱+۹+۳+۱+۳+۴+۱+۵

رقم هاي بهدست امده را با هم جمع كنيد :      ۱۱=۸+۳

اين كار را ان قدر ادامه دهيد تا يك عدد يك رقمي بين ۱ تا ۹ به دست آوريد.             ۲=۱+۱

اين عدد جادويي نامتان است :         ۲

در رمز نويسي از اعداد به جاي حروف استفاده مي كنند . براي حفاظت ياد داشت هاي امنيتي از جدول هاي مختلف استفاده مي شود . براي خواندن رمز بايد جدول رمز ها را داشته باشيم . رمز نويسي و رمز خواني بخش كوچكي از كار برد حروف است كه به ان جبر مي گوييم .  خوارزمي رياضيدان مسلمان ايراني حدود سال ۱۳۰ هجري شمسي در شهر خوارزم كه امروزه به آن خيوه مي گويند٫ از حروف براي نشان دادن اعداد نا معلوم استفاده مي كرد .

او در كتاب الجبر كه به بيشتر زبان هاي دنيا ترجمه شده است ٫ به نمايش رقم ها با حروف اشاره كرده است .

آيا جوليوس سزار عدد است ؟؟!!؟

  آيا واقعاً ممكن است جوليوس سزار، امپراتور روم، عدد باشد؟ يعني آيا مي شود كه سزار محمول خواصي باشد كه اصالتاً از آن اعداد است (مثلاً زوج بودن، فرد بودن، اول بودن و غيره)؟ آيا ممكن است شيئي انضمامي مثل سزار يا هر شخص ديگري عدد باشد؟ آيا ممكن است سزار مكاني را در دنباله اعداد طبيعي يا حقيقي اشغال كند؟ آيا اصلاً اين پرسش ها معنايي دارند؟ يعني آيا ارزش صدقي (صدق يا كذب) دارند؟ يا بالكل بي معنا هستند؟ هر نظريه اي در فلسفه رياضي كه نتواند به اين پرسش ها پاسخ دهد با «مشكل جوليوس سزار» روبه رو است.

ريشه اين سوال هاي نسبتاً عجيب و غريب برمي گردد به گوتلوب فرگه. فرگه در شاهكارش، بنيادهاي حساب، سعي مي كند كه حساب را به منطق تحويل دهد، و كار خود را با واقعيت بسيار ملموسي در عمل شمارش شروع مي كند.

 
اصل هيوم (HP) عدد مفهوم F (يعني تعداد شيءهايي كه ذيل مفهوم F درمي آين آيا واقعاً ممكن است جوليوس سزار، امپراتور روم، عدد باشد؟ يعني آيا مي شود كه سزار محمول خواصي باشد كه اصالتاً از آن اعداد است (مثلاً زوج بودن، فرد بودن، اول بودن و غيره)؟ آيا ممكن است شيئي انضمامي مثل سزار يا هر شخص ديگري عدد باشد؟ آيا ممكن است سزار مكاني را در دنباله اعداد طبيعي يا حقيقي اشغال كند؟ آيا اصلاً اين پرسش ها معنايي دارند؟ يعني آيا ارزش صدقي (صدق يا كذب) دارند؟ يا بالكل بي معنا هستند؟ هر نظريه اي در فلسفه رياضي كه نتواند به اين پرسش ها پاسخ دهد با «مشكل جوليوس سزار» روبه رو است.

 ريشه اين سوال هاي نسبتاً عجيب و غريب برمي گردد به گوتلوب فرگه. فرگه در شاهكارش، بنيادهاي حساب، سعي مي كند كه حساب را به منطق تحويل دهد، و كار خود را با واقعيت بسيار ملموسي در عمل شمارش شروع مي كند؛

 اصل هيوم (HP) عدد مفهوم F (يعني تعداد شيءهايي كه ذيل مفهوم F درمي آيند) مساوي است با عدد مفهوم G اگر و تنها اگر تناظري يك به يك بين شيءهاي دو مفهوم F و G برقرار باشد.

 HP در واقع معياري براي اينهماني با تفاوت اعداد به دست مي دهد، ولي به هيچ وجه نشان نمي دهد كه اعداد خودشان چه اشيايي هستند. به عبارتي، HP چيزي در مورد تعيين ارزش صدق جمله اي به شكل «عدد مفهوم F = q» (كه q مي تواند هر ثابتي مثل «جوليوس سزار» باشد) به دست نمي دهد. به نظر فرگه، جملاتي مثل HP نمي توانند اينهماني اصيل و دقيق اعداد را نشان دهند. يعني اگر قرار است اينهماني دقيق را به دست دهيم، هم بايد ارزش صدق «عدد F = عدد G» را به دست دهيم و هم ارزش صدق «عدد F = q». و HP فقط ارزش صدق عبارات اول را تعيين مي كند. به اين دليل بود كه فرگه HP را رها كرد و اصل ديگري را به جاي آن نشاند و به پارادوكس راسل اصابت كرد!

 در اين چند سطر، خيلي تند و خلاصه، صرفاً به بعضي از مشكلات نهفته در دل اين مساله اشاره مي كنيم؛

 ما به كمك عقل سليم (common sense) مي دانيم كه سزار عدد نيست و حتي ممكن نيست عدد باشد، ولي اين قطعاً چيزي نيست كه HP به ما مي گويد. اگر بناست ضوابط كافي براي اينهماني اعداد را به دست دهيم، بايد فاعل شناسايي را كه اعداد را مورد شناسايي قرار مي دهد، قادر سازد كه اعداد را از همه انواع ديگر اشيا متمايز كند (discriminate). اما توسل به معيار توانايي تمايز گذاشتن در گرو حل مسائل ديگري دارد؛ كودك مي تواند از طريق تناظر يك به يك به اعداد ارجاع دهد بي آنكه توانايي كاملي براي تمايز گذاشتن ميان اعداد و اشخاص (آنطور كه فرگه داشت) داشته باشد. پس چه بسا HP توانايي اوليه براي ارجاع و معرفي اعداد را به دست دهد. ولي اين مساله به هيچ وجه قطعي نيست. چون به هر حال، هر توانايي اوليه اي براي ارجاع به اعداد و استفاده از آنها در انديشه (thought) و كلام (talk) مستلزم يك درك بنيادين از نوع يا جنس شيءهاي مورد ارجاع يا اشاره دارد. پس شايد به اين راحتي نتوان ادعا كرد كسي كه صرفاًً HP را آموخته مي تواند در مورد اعداد بينديشد يا راجع به آنها صحبت كند؛ چون HP نوع اشياي مورد بحث را مشخص نمي كند (نمي گويد سزار هستند يا مجموعه يا...) از طرفي، فرض كنيم به كودكي صرفاً HP آموخته شده، و كودك، مسلح به تنها همين سلاح، قضاياي بنيادين حساب را مي آموزد و ثابت مي كند و در امتحانات نمرات خوبي هم مي گيرد (چنين چيزي كاملاً ممكن است؛ نگاه كنيد به (Wright۱۹۸۳) و (Boolos۱۹۸۷). اگر او ندانست كه سزار عدد است يا نه ( كه نمي داند)، بايد نتيجه بگيريم كه نمرات او حقه بازي اند؟ يا به صدق قضاياي حساب معرفت ندارد؟ بنابراين، آن كودك توانايي هاي كافي اي براي قضاوت در مورد نسبت هاي عددي دارد ولي انگار فاقد نوعي معرفت متافيزيكي است. پس اجازه دهيد كه كمي راجع به بعد متافيزيكي مساله جوليوس سزار صحبت كنيم؛ در اينجا بايد بگوييم كه چرا محال است كه انواع كاملاً متفاوتي از شيء ها (اعداد و اشخاص) همپوشاني كنند.

 مي توانيم دلايلي بياوريم؛ اعداد انتزاعي اند و اشخاص انضمامي. يك راه اثبات اين خاصيت براي اعداد اين است كه بگوييم اعداد بي نهايت اند و اشخاص متناهي. ولي تنها نتيجه اي كه از اين حرف مي گيريم اين است كه همه اعداد نمي توانند انضمامي باشند، ولي چه بسا بعضي از اعداد انضمامي باشند. استدلال دوم براي اثبات «+» اين است كه بگوييم صدق هاي رياضي صدق هايي ضروري اند، و صدق هاي ضروري مستلزم موجودات ضروري اند. از آنجا كه اشخاص ً انضمامي، از جمله سزار، ممكن هستند، پس شيءهايي كه صدق هاي رياضيات بر آنها دلالت مي كنند ممكن نيست انضمامي باشند. اگر قرار است اين استدلال را به كرسي بنشانيم، بايد ابتدا اين ادعا را اثبات كنيم كه اشياي رياضي، به قول كريپكي، دلالتگر ثابت (rigid designator) اند. پس سوال اصلي «+» اين است كه چرا شيءهاي نوع K۱ نمي توانند خواص شيءهاي نوع K۲ را داشته باشند؟ و اين ما را بلافاصله به مساله سنتي متافيزيك، يعني جوهر(substance)، مي كشاند. و اصلاً معلوم نيست كه دست و پنجه نرم كردن با اين مساله غم انگيزتر از تلاش براي پاسخ به پرسش هاي اول مقاله نباشد.

 

ژول هاري پوانكاره (1912-1854)

در سخنرانيهايش كه توسط دانشجويان او ويرايش شد و به چاپ رسيد با ابتكار و تسلط فني فراوان، درواقع تمامي زمينه هاي معروف رياضيات محض و كار بسته، و بسياري از زمينه هايي را كه قبل از كشف توسط وي ناشناخته بودند، مورد بحث قرار داد. روي هم رفته بيش از ۳۰ كتاب فني درباره فيزيك رياضي و مكانيك سماوي، شش كتاب در سطح عامه فهم، و تقريبًا ۵۰۰ مقاله پژوهشي در رياضيات نوشت. وي متفكرين سريع الانتقال، قوي، و خستگي ناپذير بود كه به جزئيات نمي پرداخت و به قول يكي از معاصرانش «يك فاتح بود، نه يك استعمارگر». از موهبت حافظه عجيبي نيز برخوردار بود، و برحسب عادت، در حين قدم زدن در اطاق مطالعه خود در مغزش ب رياضيات مي پرداخت و فقط پس از آنكه آن را در ذهنش تكميل مي كرد، بر روي كاغذ مي آورد. بيش از ۳۲ سال نداشت كه به عضويت فرهنگستان علوم برگزيده شد.

عضوي از فرهنگستان كه او را براي عضويت پيشنهاد كرد گفت كه «كارش مافوق تمجيد عادي است، و لاجرم آنچه را كه ياكوبي درباره آبل نوشت به يادمان مي آورد: او مسايلي حل كرده كه قبل از خودش به تصور درنيامده بودند.»

نخستين دستاورد بزرگ رياضي پوانكاره در آناليز بود. او ابداع نظريه توابع خود ريخت، مفهوم دوره اي بودن يك تابع را تعميم داد. توابع مثلثاتي و نمايي مقدماتي، دوره اي يگانه و توابع بيضوي دوره اي دوگانه هستند. توابع خد ريخت پوانكاره تعميم گسترده اي از اين توابع را تشكيل مي دهند، زيرا اين توابع تحت يك گروه شماراي نامتنهاهي از تبديلات كسري خطي، پايا هستند و نظريه غني توابع بيضوي را به عنوان جزء دربرمي

گيرند. او از آنها براي حل معادلات ديفرانسيل خطي با ضرايب جبري استفاده كرد و همچنين نشان داد كه چگونه مي توان ار اين توابع در يكنواخت كردن منحنيهاي جبري، يعني، بيان مختصات هر نقطه واقع بر چنين منحني برحسب توابع تك مقداري y(t)، x(t)c از يك پارامتر واحد t، استفاده كرد. در دهه هاي ۱۸۸۰ و ۱۸۹۰ ميلادي توابع خود ريخت به صورت شاخه گسترده اي از رياضيات درآمد كه (علاوه بر آناليز) به قلمروهاي نظريه گروه ها، نظريه اعداد، هندسه جبري، و هندسه غيراقليدسي راه يافته است.

نكته اساسي ديگري از فكر پوانكاره را مي توان در پژوهشهايش درباره مكانيك سماوي يافت (روشهاي نوين مكانيك سماوي‐ در سه جلد ۱۸۹۲-۱۸۹۹ ). در خلال اين كار نظريه بسطهاي مجانبي خود را ارائه كرد(كه باعث توجه به سريهاي وارگا شد)، پايداري مدارها را مطالعه كرد، و نظريه كيفي معادلات ديفرانسيل غيرخطي را پايه گذاري كرد. بررسيهاي مشهورش در بررسي تكامل اجسام سماوي او را به مطالعه اشكال تعادل جرم سيال درحال دوراني كه ذراتش به وسيله جاذبه ثقلي به هم پيوسته است، هدايت كرد، و شكلهاي گلابي واري را كشف كرد كه بعدًا در كار سر ج.ه. داروين (فرزند چارلز داروين) نقش مهمي ايفا كردند.

پوانكاره، در خلاصه اين كشفيات، مي نويسد: « يك جسم سيال درحال دوران را كه در اثر سرد شدن منقبض مي گردد درنظر مي گيريم، ولي فرض مي كنيم كه اين انقباض آنقدر آهسته صورت مي گيرد كه جسم همگن باقي مي ماند و دوران كليه قسمتهاي جسم يكسان است. شكل جسم كه در ابتدا با تقريب زيادي كروي است به يك بيضوي دوار تبديل مي گردد كه پهن تر و پهن تر مي شود، آنگاه، در لحظه خاصي، به يك بيضوي با سه محور نابرابر تبديل مي شود سپس، جسم از صورت بيضي وار خارج و به گلابي وار تبديل مي شود تا سرانجام جرم جسم، كه در ناحيه كمر، بيشتر و بيشتر باريك مي شود، به دو جسم مجزا و نابرابر تجزيه مي شود». اين ايده ها در عصر خود ما بيشتر مورد توجه قرار گرفته است، زيرا اخيراً متخصصين ژئوفيزيك به كمك اقمار مصنوعي دريافته اند كه زمين خود اندكي گلابي شكل است.

بسياري از مسائلي كه پوانكاره در اين دوره با آنها مواجه گرديد بذرهاي شيوه هاي جديد تفكر بودند، كه در رياضيات قرن بيستم رشد كردند و شكوفا شدند. سريهاي واگرا و معادلات ديفرانسيل غيرخطي را قب ً لا متذكر شده ايم. علاوه بر آنها، كوشش او براي درك ماهيت منحنيها و سطوح در فضاهايي با ابعاد بالاتر منجر به مقاله مشهورش تحت عنوان تحليل موضعي (توپولوژي) ( ۱۸۹۵ ) گرديد، كه همه افراد اهل فن متفقًا آن را آغاز تاريخ نوين در توپولوژي جبري مي دانند. همچنين، در مطالعه خود در زمينه مدارهاي دوره اي، رشته ديناميك توپولوژي (يا كيفي) را بنا نهاد.

در اينجا نوعي مسئله رياضي مطرح مي شود كه نمايانگر آن، قضيه اي است كه پوانكاره در سال ۱۹۱۲ ميلادي مطرح كرد، ولي عمرش كفاف نداد تا آن را ثابت كند: چنانچه تبديلي يك به يك و پيوسته، حلقه محصور بين دو دايره متحدالمركز را چنان در خود تصوير كند كه مساحتها حفظ شود و نقاط دايره دوراني را در جهت حركت عقربه هاي ساعت و نقاط دايره بيروني را در جهت خلاف حركت عقربه هاي ساعت به حركت درآورد، آنگاه، در اين تبديل حداقل دو نقطه بايد ثابت بمانند. اين قضيه كاربردهاي مهمي در مسئله كلاسيك سه جسم (و نيز در حركت يك توپ بيليارد برروي ميز بيليارد محدب) دارد. در سال ۱۹۱۳ اثباتي براي اين قضيه توسط يك رياضيدان جوان آمريكايي به نام بيركهوف يافته شد. كشف قابل ملاحضه ديگر پوانكاره در اين زمينه، كه امروزه به قضيه بازگشت پوانكاره معروف است، به رفتار دراز مدت دستگاههاي ديناميكي پايستار مربوط مي شود. به نظر مي رسيد كه اين نتيجه، بيهودگي كوششهاي اخير در به دست آوردن قانون دوم ترموديناميك از مكانيك كلاسيك را نشان مي دهد، و مباحثه ناشي از آن مأخذ تاريخي نظريه ارگوديك نوين بوده است.

يكي از برجسته ترين خدمات فراوان پوانكاره به فيزيك رياضي، مقاله مشهورش در سال ۱۹۰۶ درباره ديناميك الكترون بود. او سالهاي زيادي راجع به شالوده هاي فيزيك فكر كرده بود، و مستقل از اينشتين بسياري از نتايج مربوط به نظريه نسبيت خاص را به دست آورده بود. فرق اساسي در اين بود كه بررسي اينشتين متكي بر ايده هاي مقدماتي مربوط به علامتهاي نوري بود، حال آنكه بررسي پوانكاره بر پايه نظريه الكترومغناطيس بنا شده بود و بنابراين از نر كاربردي به پديده هاي مربوط به اين نظريه محدود بود. پوانكاره احترام زيادي براي استعداد اينشتين قايل بود، و در سال ۱۹۱۱ انتصاب اينشتسن را به اولين سمت دانشگاهي اش توصيه كرد.

در سال ۱۹۰۲ به عنوان يك سرگرمي جنبي، و ضمن كوششي براي سهيم كردن افراد غير متخصص در اشتياق خود به معنا و اهميت انساني رياضيات و علوم، به نويسندگي و سخنراني براي اقشار وسيعتري از مردم روي آورد. اين كارهاي سبكتر او در چهار كتاب تحت عناوين علم و فريضه ( ۱۹۰۳)، ارزش علم (۱۹۰۴)، علم و روش( ۱۹۰۸) و آخرين انديشه ها(۱۹۱۳) گردآوري شده اند. اين كتابها واضح، لطيف، عميق،و روي همرفته لذت بخش هستند، و نشان مي دهند كه پوانكاره يكي از بهترين نثر نويسان فرانسه است.

در مشهورترين اين مقالات، يعني مقاله مربوط به كشف رياضي، او به خويشتن نگريست و فرايندهاي مغزي خود را تحليل كرد، و با انجام ان كار تصاوير نادري از مغز يك نابغه در هنگام كار را، عرضه كرد. همانطور كه ژوردن در سوگندنامه پوانكاره نوشت، « يكي از دلايل فراوان جاودانگي پوانكاره اين است كه با ما امكان داد تا در عين اينكه او را مي ستاييم، وي را بشناسيم».

گفته مي شود كه در حال حاضر دانش رياضي هر ده سال يا در اين حدود، دو برابر مي شود، هر چند كه عده اي راجع به تداوم اين مقدار انباشتگي ترديد دارند. عمومًا اعتقاد براين است كه اكنون براي هر انساني امكان درك كامل بيش از يك يا دو شاخه از چهار شاخه اصلي رياضيات، يعني آناليز، جبر، هندسه و نظريه اعداد، (بدون احتساب فيزيك رياضي) وجود ندارد. پوانكاره تسلط خلاقي بر تمام رياضيات زمان خود داشت، و احتمالاً پس از او هرگز كسي به اين مقام نخواهد رسيد.

هندسه نااقليدسي

هندسه ي اقليدسي، همان هندسه اي است كه شما در دبيرستان و راهنمايي خوانده ايد يا مي خوانيد. هندسه اي است كه بيش تر براي تجسم جهان مادي به كار مي بريم. اين هندسه از كتابي به نام اصول به دست ما رسيده كه توسط اقليدس ، رياضي دان يوناني ، در حدود ۳۰۰ سال پيش از ميلاد مسيح نگاشته شده است . تصوري كه ما بر اساس اين هندسه ازجهان مادي پيدا كرده ايم تا حدي زياد توسط آيزاك نيوتن در اواخر سده ي هفدهم ترسيم شده است. اقليدس شاگرد مكتب افلاطون بود.درحدود ۳۰۰ سال پيش از ميلاد، روش قاطع هندسه ي يوناني و نگره ي اعداد را دراصول سيزده جلديش منتشر كرد. با تنظيم اين شاهكار، اقليدس تجربه وكارهاي مهم پيشينيان خود را در سده هاي جلوتر گردآوري كرد.كار عظيم اقيدس اين بودكه چند اصل ساده ، چند حكم كه بي نياز به توجيهي پذيرفتني بودند را دستچين كرد واز آن ها ۴۶۵گزاره نتيجه گرفت كه بسياري از آن ها پيچيده بودند و به طور شهود ي بديهي نبودند وتمام اطلاعات زمان او را دربرداشتند .

 يك دليل زيبايي اصول اقليدس اين است كه اين همه را از آن اندك نتيجه گرفت .درافسانه آمده است كه يكي از آموزندگان مبتدي هندسه از اقليدس پرسيد : ( از آموختن اين مطالب چه عايد من مي شود ؟ ) اقليدس غلامش را خواند وگفت ((سكه اي به او بده ، چون كه مي خواهد از آن چه كه فرا مي گيرد، چيزي عايدش شود )).

 حال دراين جا به بيان پنج اصل اقليدس مي پردازيم .

 ـ اصل اول اقليدس : به ازاي هر نقطه ي p وهر نقطه ي Q كه با p مساوي نباشد، خط يكتايي وجود داردكه برp و Q مي گذرد.

 اين اصل اغلب به صورت غير رسمي چنين بيان مي شود : "هر دو نقطه يك خط منحصر به فرد را مشخص مي سازند ."

 ـ اصل دوم اقليدس : به ازاي هر پاره خط AB وهر پاره خط CD نقطه ي منحصر به فردي چون E وجود دارد، چنان چه؛ B ميان A وE واقع است وپاره خط CD با پاره خط BE قابل انطباق است .

 اين اصل اغلب به طور غير رسمي چنين بيان مي شود : "هر پاره خط AB را مي توان به اندازه ي پاره خط BE ، كه با پاره خط CD قابل انطباق است امتداد داد ."

 ـ اصل سوم اقليدس : به ازاي هر نقطه ي A كه با O مساوي نباشد، دايره اي به مركز O وشعاع OA وجود دارد .

 ـ اصل چهارم اقليدس : همه ي زاوياي قائمه باهم قابل انطباق هستند.

چهار اصل اول اقليدس هميشه به راحتي مورد قبول رياضي دانان بوده است. ولي اصل پنجم ( اصل توازي ) تا سده ي نوزدهم موجب جدل و چون و چرا بوده است درواقع چنان چه كه بعداً خواهيد ديد توجه به صورت هاي مختلف اصل توازي اقليدس است كه موجب بسط و توسعه ي هندسه هاي نااقليدسي شده است .

دراين جا ما اصل توازي اقليدس را بيان مي كنيم ( به خاطر دشواري هايي كه وجود دارد ) وبه جاي آن اصل پلي فر را كه معادل اصل توازي اقليدس است بيان مي كنيم .

ـ اصل پنجم اقليدس ( اصل پلي فر يا اصل توازي ) : به ازاي هر خط L وهر نقطه ي p غير واقع برآن، تنها يك خط مانند m وجود دارد چنان چه از p مي گذرد و با L موازي است .

اصل پنجم با هر چهار اصل ديگر متفاوت است . بدين معني كه ما نمي توانيم به طور تجربي تحقيق كنيم كه آيا دو خط هم ديگر را قطع مي كنند يانه . زيرا كه ما فقط پاره خط ها را مي توانيم رسم كنيم نه خطها را . مي توانيم پاره خط ها را بيش از بيش امتداد دهيم تا ببينيم كه آيا هم ديگر قطع مي كنند يا نه، ولي نمي توانيم آن ها را تا بي نهايت امتداد دهيم .

رياضي دانان درطول دو هزار سال تلاش كردند تا آن را از چهار اصل ديگر نتيجه بگيرند و يا اصل ديگري را كه به خودي خود بداهت بيش تري داشته باشد، جانشين آن سازند. همه ي تلاش ها براي اين كه آن را از چهار اصل ديگر نتيجه بگيرند به ناكامي انجاميد . رياضي دانان به تدريج نااميد مي شدند . ولي در اوايل سده ي نوزدهم دو هندسه ي ديگري پيشنهاد شد . يكي هندسه ي هذلولوي ( از كلمه ي يوناني هيپر بالئين به معني افزايش يافتن كه در آن فاصله ي ميان نيم خط ها افزايش مي يابد و ديگري هندسه ي بيضوي (از كلمه ي يوناني اليپن به معني كوتاه شدن) كه در اين ، فاصله رفته رفته كم مي شود و سرانجام نيم خط ها هم ديگر را مي برند (قطع مي كنند). اين هندسه هاي نا اقليدسي بعد ها توسط ك. ف . گاؤس و گ. ف. ب ريمان در قالب هندسه ي كلي تري بسط داده شدند.

ما سعي مي كنيم بيش تر بحث مان در حوزه ي هذلولوي باشد، زيرا هندسه ي هذلولوي تنها به تغيير يكي از اصول اقليدس نياز دارد و مي تواند به همان آساني هندسه ي دبيرستاني فهميد ه شود. ولي در مورد هندسه هاي ديگر، مثل هندسه ي بيضوي ، بحث خيلي مشكل تر مي باشد و درك آن نياز به دانستن مفاهيم زيادي دارد كه از حوصله ي بحث ما خارج است.

ـ قضيه ي كلي هذلولوي: درهندسه ي هذلولوي به ازاي هر خط L و هر نقطه ي p غير واقع بر L لااقل دو خط موازي با L ازp مي گذرند .دانش آموزان مي توانند اين قضيه را با اصل پنجم اقليدس كه درصفحات قبل آمده است مقايسه نمايند وتفاوت هاي اين دو هندسه را به وضوح مشاهده كنند .

ـ قضيه : درهندسه ي هذلولوي مستطيل وجود ندارد ومجموع زواياي همه ي مثلث ها از است .

ـ فرع: درهندسه ي هذلولوي همه ي چهار ضلعي هاي كوژ، مجموع زوايايي كم تر از دارند .
 

X