رياضي

يكي از نكات مهمي كه پايه هاي پيشرفت علوم مختلف را شامل مي شود اصول اوليه و فرضياتي است كه بر اساس آن نظريه ها ارائه مي شوند. اقليدس و تني چند از پيشينيان او كه در فلسفه فعال بودند به اين نتيجه رسيده بودند كه هرگز نمي توان همه چيز را ثابت كرد.
آنها معتقد بودند كه در ساخت هر نهاد منطقي بايد يك يا چند گزاره را بعنوان فرض در نظر گرفت و ساير احكام را بر اساس آنها اثبات كرد. آنها تجربه كرده بودند كه اگر سعي كنند تمام گزاره ها را به اثبات برسانند بدون شك به يك دور باطل خواهند رسيد. فرضيات تجربي و رياضي
فرضيات معمولا” از طريق مشاهده و احساس عمومي انسان بعنوان يك مطلب درست و منطقي به شمار مي آيند و دانشمند بر اساس فرضياتي كه ارائه مي كند مي تواند قضايايي را ارائه، اثبات كند و بر اساس اين دو علمي را پايه ريزي نمايد. تفاوت مهم ميان علوم تجربي و علوم رياضي در آن است كه اثبات قضايا در علوم تجربي از راه تجربه و مشاهده بوده در حالي كه در علوم رياضي از طريق استدلال و محاسبه مي باشد.
بعنوان مثال يك زيست شناس پس آنكه توانست قسمت هاي مختلف يك گياه را شناسايي كند از راه آزمايش و تجربه به كشف وظايف هر قسمت مي پردازد. در حالي كه يك رياضي داي دان حتي اگر موضوعي با مشاهده براي او يقين شود مجبور است كه آنرا با استدلال ثابت كند. يعني صرف مشاهده براي به يقين رسيدن كافي نيست يك رياضي دان هرگز نمي تواند بگويد كه : “بنا براين همانطور كه مي بينيد، ديده مي شود كه اين زاويه قائمه مي باشد.”
اصل
استدلال منطقي در وهله اول نياز به همان فرضيات اوليه يا اصول دارد. يك اصل بنا به تعريف عبارت است از حكمي كه نتوان براي صحت آن دليل يا اثباتي ارائه كرد. يعني اصول به اين دليل صحيح هستند كه اصلا” مخالف آنرا عقل نمي پذيرد و آنها كاملا” با واقعيات و تجربيات دنياي ما منطبق مي باشند. بعنوان مثال مي گوييم دو مقدار مساوي با مقدار سوم، خود با هم مساوي هستند و يا در هندسه مي گوييم : “به هر مركز مي توان دايره اي به شعاع دلخواه رسم كرد”. همانطور كه مشاهده مي شود صحت اين دود گزاره بوضوح توسط عقل تاييد مي شوند.
قضيه
قضيه حكمي است كه با استدلال مي توان از اصول پذيرفته شده از قبل به آن رسيد. بعنوان مثال اينكه مي گوييم : “اگر رقم سمت راست عددي زوج باشد آن عدد زوج است” مطلبي نيست كه بتوان آنرا پذيرفت بلكه بايد بر اساس اصولي كه در تئوري اعداد وجود دارد آنرا ثابت كرد.
همانطور كه مي دانيد هر قضيه دو قسمت دارد يكي فرض و يكي حكم. دقت كنيد كه فرض با اصول اوليه حاكم بر علمي كه در آن قضيه مطرح مي شود متفاوت مي باشد. مثلا هنگامي كه مي گوييم : “مجموع دو زاويه مجانب معادل دو قائمه مي باشد” فرض آن است كه دو زاويه مجانب مي باشد و حكم آن است كه ثابت كنيم مجموع آنها دو قائمه مي باشد